2026届湖南省衡阳市第七中学高三下学期全真模拟（考前测试）数学试卷-含解析

/数学满分：150分2026.4一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，则（）A. B. C.1 D.53.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.84.已知，则（）A. B. C. D.5.已知为等比数列的前项积，若，且（）A. B. C. D.6.若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在区间上单调递增 B.的最小值为C.方程的解有个 D.导函数的极值点为11.棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（）A.B.若直线AK与平面PQR的交点为M，则C.四面体ABCD外接球的表面积是D.四面体KPQR的体积是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为____________．13.记为正项数列的前n项积，已知，则________；________．14.已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，E，F分别是，的中点，记平面与平面的交线为l．（1）证明：直线平面；（2）求与平面的正弦值．16.已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中．（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.17.某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立.（1）求的分布列；（2）记随机变量.已知，；（ⅰ）证明：，；（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.18.已知函数．（1）若，，求证：有且仅有一个零点；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；（3）若满足第（2）问所得的取值范围，且gx=fx+sinx⋅19.在直角坐标平面内，设P是圆上的动点，轴，垂足为点Q，点M在的延长线上，且，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设l是过点的动直线．①当直线l的斜率为时，曲线C上是否存在一点D，使得点D到直线l的距离最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；②若直线l与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，直线与x轴的交点为F，求面积的最小值．

数学满分：150分2026.4一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：解不等式化简集合A与B，然后利用交集运算求解即可.解答过程：因为，，所以.故选：C2.若，则（）A. B. C.1 D.5答案：A解析：思路：先由求出复数，从而可求出，进而求出.解答过程：由，得，所以，所以，故选：A3.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.8答案：A解析：思路：先应用向量垂直数量积为0求参，再根据模长公式求模长即可.解答过程：因为所以,所以,因为，所以.故选：A.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.解答过程：因为，所以.故选：B.5.已知为等比数列的前项积，若，且（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用等比中项的性质求解即可.解答过程：由等比数列的性质，得，所以.故选:B.6.若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据点在圆外即可求解.解答过程：圆，即圆，则，解得．过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得．故．故选：C7.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由复合函数的单调性分析得在上单调递减，根据单调性即可得到答案.解答过程：设，易知函数是增函数，因为在区间上单调递减，所以由复合函数单调性可知，在上单调递减.因为函数在上单调递减，所以，即.故选：D.8.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据空间向量法求线线角即可.解答过程：以为原点，在平面内过作的垂线交于，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱中，，，，所以，所以，设异面直线与所成角为，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用对立事件、互斥事件，条件概率的概率公式逐项计算即可得.解答过程：对A：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故A正确；对B：∵，∴，又∵解得，，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D正确；故选：ABD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在区间上单调递增 B.的最小值为C.方程的解有个 D.导函数的极值点为答案：ABD解析：思路：利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项.解答过程：因为，该函数的定义域为，，令，可得，列表如下：减极小值增且当时，；当时，，作出函数的图象如下图所示：对于A选项，在区间上单调递增，A对；对于B选项，的最小值为，B对；对于C选项，方程的解只有个，C错；对于D选项，令，该函数的定义域为，，令，可得；令，可得.所以，函数的单调递减区间为，递增区间为，所以，函数的极值点为，D对.故选：ABD.11.棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（）A.B.若直线AK与平面PQR的交点为M，则C.四面体ABCD外接球的表面积是D.四面体KPQR的体积是答案：ABD解析：思路：根据正四面体的结构特征可判断A,将四面体放入正方体中，利用正方体的外接球即可求解C，利用向量共面即可求解B，利用等体积法，结合比例关系即可求解D.解答过程：由于点K为BCD的重心，所以点K为BCD的中心，故平面，平面，所以，A正确，由于该正四面体的棱长为，将该正四面体放入棱长为1的正方体中，则正方体的外接球即为四面体的外接球，故外接球的直径为正方体的体对角线，故,故表面积是，C错误，由于三点共面，点K为BCD的重心，所以,又四点共面，所以,由于共线，所以，解得，故，B正确，由于是的中点，所以，由选项B，可知，所以，所以,,D正确，故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为____________．答案：解析：思路：利用导数判断出函数的单调性与极值，作出函数和圆的图象，结合图象可得的取值范围．解答过程：，则，，当时，；当时，；可知函数在上单调递减，在上单调递增，，当时，，当时，，在同一坐标系作出函数和圆的图象，如图：可知函数在处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，则当，即时，圆与函数的图象有且只有一个交点，当，即时，圆与函数的图象有两个交点，可得的取值范围为．故答案为：13.记为正项数列的前n项积，已知，则________；________．答案：①.2②.2027解析：思路：根据的定义，令，结合求解；根据，将已知等式转化为关于与的关系式，确定数列的类型，求出数列的通项公式求出解答过程：为正项数列的前n项积，；，，解得或；数列为正项数列，，.当时，，；，即；数列是以为首项，1为公差的等差数列，则；.14.已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______．答案：解析：思路：利用正方体的空间垂直关系去证明平面内的点都满足，再去证明动点M在以为圆心，以为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题.解答过程：如图所示，设，在正方体中，平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，因为是线段的中点，，则，所以点在平面内，即，又因为，所以点在以点为球心，1为半径的球面上，而，则平面，所以到平面的距离为，由正方体的边长为1，则，因为平面，所以，则，所以在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上，则到平面的距离的最小值为，最大值为1，而正方形的面积为1，所以四棱锥体积的最小值为13×1×最大值为，则四棱锥体积的取值范围为13−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，E，F分别是，的中点，记平面与平面的交线为l．（1）证明：直线平面；（2）求与平面的正弦值．答案：（1）证明见解析；（2）1.解析：（1），分别是，的中点，；平面，平面，平面；平面平面，平面，.平面底面，平面底面，，平面，平面，平面.（2）设与平面的夹角为.是的中点，平面即平面；由（1）可知，平面，，平面.与平面的夹角，.即与平面的正弦值为1.16.已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中．（1）分别求数列和的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）由可得，进而是以3为首项，3为公比的等比数列，可求出，再根据与的关系求解，数列利用累乘法即可求，最后验证是否符合即可；（2）由题意，由等差数列的性质得an+1−an（1）由，得，而，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，则，当时，an=显然满足上式，则.由，得：，，以上个式子相乘，可得bnb1=又满足上式，所以.（2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则an+1−整理得，所以，=41⋅则3T两式相减得：−2T所以Tn17.某区域中的物种拥有两个亚种（分别记为种和种）.为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉个物种，统计其中种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共次，记第次试验中种的数目为随机变量.设该区域中种的数目为，种的数目为，每一次试验均相互独立.（1）求的分布列；（2）记随机变量.已知，；（ⅰ）证明：，；（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为.数据的平均值，方差.采用和分别代替和，给出，的估计值.答案：（1）分布列见解析（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），解析：思路：（1）根据条件，判断服从超几何分布，再利用超几何分布的分布列即可求出结果；（2）（ⅰ）直接利用均值和方差的性质即可证明结果；（ⅱ）先利用第（ⅰ）中的结论，求出，，再结合条件建立方程组，从而求出结果.（1）依题意，均服从完全相同的超几何分布，故的分布列为.（2）（ⅰ）由题可知，，故，（ⅱ）由（ⅰ）可知的均值先计算的方差所以依题意有解得，．所以可以估计，．方法提示：本题的关键在于利用超几何分布的分布列、均值和期望.18.已知函数．（1）若，，求证：有且仅有一个零点；（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；（3）若满足第（2）问所得的取值范围，且，求在时的最小值，并指出取到最小值时的取值．答案：（1）证明见解析（2）（3）最小值为；当或（）时取到最小值。解析：思路：（1）代入，求出与F'x，再分x≥3π4，0≤x<3（2）先由和上推出必要条件f'0≤0，得；再对x≤−π4与−π4≤（3）利用第（2）问结论可知，再把化为1+sinxf（1）由题意，当时，fx=ex因此Fx=e当x≥3π4时，有−sin故在3π4又F3所以当x≥3π当0≤x<3π4令Hx=ex−13又，所以．当时，；当时，，从而．故当0≤x<3当−π4≤x<0时，有ex≥故在−π4又F−π4=e−π综上，当，x≥−π4时，（2）因为f0若对任意，恒成立，则是在区间上的最小值点，因此f'0≤0．又f'x=−ae−ax故是必要条件．下面证明也是充分条件．当x≤−π4时，因为且，所以e令，则t≥π4，于是因为sint+cost=2sin当−π4≤x≤0因为p'在−π4,0上，x且e−x≥1，所以p'x又，所以当−π4≤x≤0时，综上，实数的取值范围为．（3）由第