2026届湖南省岳阳市汨罗市高三下学期学情自测数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A=x∣A. B. C. D.2.已知复数的虚部为0，则实数（）A. B. C.－2 D.23.平行四边形ABCD中，为BC边上的三等分点（靠近点），若以为起点，将向量表示为，则的值为（）A. B.1 C. D.4.已知，则（）A.1 B. C. D.05.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（）A.6 B.8 C. D.6.设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（）A.2 B.4 C.5 D.68.已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列说法正确的有（）A.函数的最大值为1B.函数的图象关于直线对称C.D.在上的两根和为10.已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（）A.E的方程为B.若，则的最小值为4C.过作斜率为的直线交于A，B两点，则D.上存在两点关于直线对称11.定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（）A.当时，B.若，则是周期函数C.实数的取值范围是D.不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的定义域为，周期为4，当时，，则______．13.采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：s2=1ni=1knisi2+xi−x2，其中14.在棱长为2的正方体中，点在表面上运动（含端点），且满足，当二面角的正切值为时，三棱锥的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点．（1）证明：平面BCD；（2）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．16.已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：对任意，都有．17.为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下：

第二轮答对第二轮答错合计第一轮答对602080第一轮答错101020合计7030100（1）从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率；（2）正式竞赛则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮（不可查看第二轮题目后再决策）．②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束．已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计．小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程．18.已知函数，其中e为自然对数的底数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若存在两个不同的极值点，且．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明．19.已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积；（3）设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：集合A=x∣x22.已知复数的虚部为0，则实数（）A. B. C.－2 D.2答案：D解析：解答过程：(2+i)(a−i3.平行四边形ABCD中，为BC边上的三等分点（靠近点），若以为起点，将向量表示为，则的值为（）A. B.1 C. D.答案：C解析：思路：用表示出后可得.解答过程：由平行四边形性质，．为BC上靠近的三等分点，故．于是，因此．4.已知，则（）A.1 B. C. D.0答案：D解析：解答过程：因为，所以，而，所以．5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（）A.6 B.8 C. D.答案：B解析：解答过程：由面积公式，解得．由余弦定理，代入，得，即．于是，所以．6.设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：由椭圆方程得，焦距，设，则，若成立，即，解得或，此时三边为，满足，故为直角三角形，即；若成立，即为直角三角形，若直角顶点为，则m2+n2结合得，此时成立，若直角顶点为或，则或，的横坐标为，代入椭圆方程得，此时为43,432mn=569≠8，此时不成立，因此成立时不一定成立，即是的充分不必要条件．7.已知的展开式中项的系数为35，则实数的值为（）A.2 B.4 C.5 D.6答案：A解析：解答过程：已知ax2+x−1(x+1)6即15a8.已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设公切线方程为，分别与的图象切于点x1,x1a，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出k=ax1a−1=ex2,b=(1−a)x1a=ex2解答过程：f'(x设公切线方程为，直线与的图象切于点x1,x1a，与的图象切于点，则，，，所以k=即x1a−1得1−x2=1−aax等式两边取对数得1a令u=x2其定义域为（当）或（当）．则F′当a∈(0,1),u<1时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值；当a>1,u>1时，同理可得在故有唯一极小值点，极小值为F(a)=F(若，则F(u若，则有一个解，即一条公切线；若，则无解，即无公切线．当时，则，分子（因恒成立），故；当时，可得，令Fa<0可得，即，解得．此外，时无公切线，时仅一条．因此，恰好有两条公切线时的取值范围是．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，下列说法正确的有（）A.函数的最大值为1B.函数的图象关于直线对称C.D.在上的两根和为答案：AD解析：解答过程：由正弦函数的性质知，的最大值为1，A正确．由fπ6=因为fπ由，得，即，，而，所以时，时，故，D正确．10.已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（）A.E的方程为B.若，则的最小值为4C.过作斜率为的直线交于A，B两点，则D.上存在两点关于直线对称答案：ABC解析：思路：A选项，设，则，由可列出等式，整理得到的方程为抛物线；B选项，根据抛物线的定义把转为|PM|+d(P,l)，利用几何知识求解；C选项，联立该直线和的方程求解得到交点，再利用弦长公式计算即可；D选项，通过联立方程得到该直线与抛物线解答过程：设，则Q(−1,y由条件得，整理得，A正确；根据抛物线的定义，等于点到准线的距离（记为），因此|PM|+|PF过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，联立方程y2=4得，解得，则|AB|=1+联立方程y2=4xy=x+1得，因为故上不存在两点关于直线对称，D错误．11.定义：若存在常数，对定义域内任意，都有成立，则称是“—阶增长函数”．已知是定义在上的奇函数，当时，，且是“1—阶增长函数”，下列说法正确的有（）A.当时，B.若，则是周期函数C.实数的取值范围是D.不等式的解集为答案：AC解析：思路：对于A，根据奇函数的性质求时的解析式；对于B，当时，，根据周期函数的定义判断；对于C，分段验证，求出的取值范围；对于D，取解不等式.解答过程：已知函数是奇函数，且当时，．对于A，由奇函数性质可得当时，，故A正确．对于B，当时，，不是周期函数，故B错误．对于C，fx验证外侧区间：当x≥a2当x+2≤−a2中间区间要求：当−a若：f(x若：f(x要让对所有−a2<x即，且对恒成立，即，解得，因此，，故C正确．对于D，当，时，fx=x当时，,综上所述，f(所以的解集为，故D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的定义域为，周期为4，当时，，则______．答案：7解析：解答过程：f(2027)=因此f(2027)=713.采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值）答案：21解析：解答过程：依题意，总的样本容量n=10+20+20=50，总样本均值x代入公式计算：s=1=1故方差为21．14.在棱长为2的正方体中，点在表面上运动（含端点），且满足，当二面角的正切值为时，三棱锥的体积为______．答案：解析：思路：建立空间直角坐标系，利用求点的轨迹，再利用二面角的正切值求出点的坐标，最后利用棱锥的体积公式计算即可.解答过程：以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为正方体棱长为2，所以A(0,0,0),设动点P(2,由得：AP⋅BD1即动点的轨迹为线段B1C端点为和C(由于侧面，故且，因此二面角的平面角为，根据题意，tan∠PBC=zy=12，结合轨迹条件又因为，所以VP−四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱锥中，底面，点，分别为棱PC，PB的中点．（1）证明：平面BCD；（2）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先证明，进而求证即可；（2）结合正弦定理分析可得，进而得到，，法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可；法二：连接DF，分析可得为直线CD与平面PBC所成角，进而求解即可.（1）∵点E，F分别为棱PC，PB的中点，为的中位线，且，平面平面BCD，平面BCD．（2）在中，∵BC=由正弦定理，得，即222=∴B又底面，底面，，在中，PD2=P法一：∴以为原点，DB为轴，DP为轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(2,0,0),又，则PB=(2设平面PBC的法向量为，由n⋅PB=0,n⋅PC=0设直线CD与平面PBC所成角为，则sinφ所以直线CD与平面PBC所成角的正弦值为．法二：连接DF，因为底面BCD，所以，又因为BC⊥BD,所以平面PBD，又平面PBD，所以．因为，所以．因为平面，所以平面PBC，所以为直线CD与平面PBC所成角，在中，，所以sin∠DCF=16.已知公差不为0的等差数列满足，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：对任意，都有．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求解即可.（2）求出，利用裂项相消法求出，进一步证明即可.（1）设等差数列的公差为，则a2=2+d由成等比数列，得(2+4d)展开得4+16d+16d2=4+22因为，所以，于是．（2）由（1）知，则bn=又n2n−于是Sn故对任意，都有.17.为强化高三学生的安全防范意识，某市举办校园安全知识闯关竞赛，赛前随机抽取100名参赛学生进行模拟测试，记录两轮答题的通过情况，得到统计数据如下：

第二轮答对第二轮答错合计第一轮答对602080第一轮答错101020合计7030100（1）从参与模拟测试的100名学生中随机抽取1人，已知抽到的学生第二轮答题答对，求他第一轮答题也答对的概率；（2）正式竞赛则如下：①每位选手需先作答第一轮题目：若第一轮答错，直接结束比赛，最终得0分；若第一轮答对，可得9分基础分，同时选手需立刻决定是否继续作答第二轮（不可查看第二轮题目后再决策）．②若选手选择放弃作答第二轮，最终得分即为9分，比赛结束；若选择作答第二轮，第二轮答对则最终得分为10分，答错则最终得分为5分，比赛结束．已知选手小张每轮答题结果相互独立，且他答题答对的概率可近似的用模拟测试的频率来估计．小张希望自己最终得分的数学期望尽可能高，需要在赛前确定“是否作答第二轮”的固定策略，请你通过计算分布列与数学期望，探究小张应该选择哪种策略，写出你的分析过程．答案：（1）（2）小张应选择放弃第二轮的策略，过程见解析解析：思路：（1）利用条件概率公式计算；（2）分别计算两种策略下的得分的分布列，计算出期望后比较.（1）设事件：第一轮答对，事件：第二轮答对．由表中数据，，所以P(（2）由模拟测试频率，小张第一轮答对的概率，第二轮答对的概率p2若选择第一轮答对后放弃第二轮，则最终得分的分布为：第一轮答错（概率0.2），得0分；第一轮答对（概率0.8），得9分．期望E(若选择第一轮答对后作答第二轮，则最终得分的分布为：第一轮答错（概率0.2），得0分；第一轮答对且第二轮答对（概率），得10分；第一轮答对且第二轮答错（概率），得5分．分布列如下：05100.20.240.56期望E(因为E(18.已知函数，其中e为自然对数的底数，．（1）当时，求的单调区间；（2）若存在两个不同的极值点，且．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明．答案：（1）单调递增区间为．（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析解析：思路：（1）求导可得，根据，确定的符号，进而判断原函数的单调性；（2）（ⅰ）由是方程的两根，构造函数，利用直线与的图像有两个交点，利用导数求出范围；（ⅱ）设，由（ⅰ）得，由已知得，令，得，即证(1+t)lnt>2(t−1)．通过构造函数φ(t)=(1+（1）当时，，定义域为．求导得．令则M'(令得当时，，单调递减；当时，，单调递增；M(即恒成立．因此，在上单调递增，单调递增区间为．（2）（ⅰ），若有两个不同的极值点，则方程有两个不同的实数根．显然不是根，故可化为．设，则．当时，单调递减，且；当时，单调递减；当时，单调递增．又时h(x)→+∞,h(1)=e,x→+∞时，故在上从减至e，在因此，当时，直线与的图像有两个交点，分别位于和，对应两个不同的极值点（且）．当时有一个交点，当时无交点，当时有一个交点．故实数的取值范围是．（ⅱ）不妨设，由（ⅰ）得，，，即，两边取对数得．令，则，代入得，解得．于是x1要证