2026届湖南省长沙市第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）高三下学期全真模拟适应性考试数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（）A.3 B.5 C.7 D.92.在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且.若，其中λ，，则（）A. B. C. D.3.已知集合，，则A∩B=A. B. C. D.4.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.5.已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（）A. B. C. D.6.已知函数，，若，，则的最小值为（）A. B. C.-1 D.7.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（）（参考数据：，，）A.10 B.9 C.8 D.78.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，，则下列说法中正确的有（）A.若，则或 B.若，则C.若，则 D.若，则10.如图，在长方体中，，AD=3，点P是平面上的动点，满足（）A.长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线B.点P在底面上的轨迹是一条直线C.若角是直线和平面所成角,则的最大值是D.不存在点,使得11.已知双曲线C：，则下列结论正确的是（）A.m的取值范围是−1B.C的焦距与m的取值无关C.若C的离心率不小于2，则m的取值范围为D.存在实数，使得点在C上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点在椭圆上，的左焦点为F，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则|PF|的值为_______.13.已知函数，若对任意的实数m，fx在的值域均为，且在上单调递减，则ω的范围为___________.14.牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的n+1次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为______；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数λ的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点.（1）求证:；（2）若二面角的大小为且三棱锥M-DFG的体积为设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值.16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．（1）求角A的大小；（2）求周长的范围．17.市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是110，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．（1）求李先生的小孩按时到校的概率；（2）李先生是否有七成把握能够按时上班？（3）设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．18.对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．（1）在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；（2）设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；（3）点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．19.已知函数和．（1）若曲线数与在处切线的斜率相等，求a的值；（2）若函数与有相同的最小值．①求a的值；②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（）A.3 B.5 C.7 D.9答案：C解析：解答过程：数据共5个，从小到大排列后中间第3个数为7，即中位数是7.2.在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中λ，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，又，则，故.3.已知集合，，则A∩B=A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，，.4.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据导数的几何意义，即可求解.解答过程：由，可得，则，又，则所求切线方程为，即．故选：B．5.已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求得的最大值，再由二倍角公式得出的最小值．解答过程：圆的圆心C的坐标为，半径为1．因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B，所以，，，，所以，．当时，取最小值，，此时取最大值，又，函数y=sinx在0,π2上单调递增，即又，所以．6.已知函数，，若，，则的最小值为（）A. B. C.-1 D.答案：A解析：思路：利用导数分析fx的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合fx的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合fx的最小值，求得的最小值.解答过程：函数的定义域为R，.当时，；当时，.fx在上单调递减，在上单调递增.fx在x=−1又当x<0时，，且，若，，则，所以，即.所以.所以当，即时，取得最小值，最小值为.7.正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（）（参考数据：，，）A.10 B.9 C.8 D.7答案：C解析：思路：设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果.解答过程：设，则，因为，可知数列为递增数列，且，，可知，所以.故选：C.8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线．从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到11的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④答案：A解析：思路：根据题意分析，不难得到，按照规律写出各项，即可判断①，②正确；对于③，结合树状图，考虑对立事件所包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即得，同法求出即可判断.解答过程：由题意可知，则，，则①正确；显然，故②正确；因为，经过数字5的路线共有条.理由:如上树状图所示，分别计算1-5的路线共有5条，5-11的路线共有13条，利用分步乘法计数原理可得，过数字5的路线共有条.则，故③正确；同理可得即有，故④错误.故选:A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，，，则下列说法中正确的有（）A.若，则或 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ABD解析：思路：根据复数的运算法则可判断A；先计算，再求，判断B；用特例验证C；利用说明D正确.解答过程：对于A，或，故A正确．对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．方法二（复数的三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，所以．故B正确．对于C，取，，则，此时，故C错误．对于D，，，所以，故D正确．故选：ABD10.如图，在长方体中，，AD=3，点P是平面上的动点，满足（）A.长方体各棱、体对角线所在的条直线中,共有对异面直线B.点P在底面上的轨迹是一条直线C.若角θ是直线和平面所成角,则的最大值是D.不存在点,使得答案：ABC解析：思路：先按总对数减相交、平行对数算出异面直线对数判断A；再建系用向量垂直得轨迹方程，确定轨迹是直线判断B；线面角正切值与到距离成反比，用点到直线距离求最小值得最大值判断C；最后联立垂直条件与轨迹方程，判别式大于0说明存在点，判断D错误，整体用空间向量与解析几何方法逐一验证选项．解答过程：对于A，长方体共有12条棱和4条体对角线，共16条直线，总直线对：，相交直线对：每个顶点有条棱相交，个顶点共；体对角线相交于中心，共C42=6，每条体对角线与6条棱相交，共，总计平行直线对：每组平行棱有4条，共3组（长、宽、高），每组C42=6所以异面直线对：，A正确；对于B，以为原点，DA,DC,D，，，设Px,y,0，，由，得，化简得，在平面内，这是一条直线方程，所以点P在底面上的轨迹是一条直线，B正确；对于C，直线和平面所成角为θ，设Px,y，要使最大，即求最小，而是Px,y,0到原点的距离的最小值为原点到直线的距离，，此时的最大值是，正确；对于D，，，若，则，即，联立，消去，得，，有实数解，所以存在点，D错误．11.已知双曲线C：，则下列结论正确的是（）A.m的取值范围是−1B.C的焦距与m的取值无关C.若C的离心率不小于2，则m的取值范围为D.存在实数，使得点在C上答案：ABC解析：思路：A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断.解答过程：由题意得，则，A正确．由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确．由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确．假设存在实数，使得点在C上，则，．当时，，则，所以在上无实数解，D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点在椭圆上，的左焦点为F，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则|PF|的值为_______.答案：4解析：思路：连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可.解答过程：由已知得：，设椭圆的右焦点为F′，的中点为Q，连接和OQ（如图所示），因为Q在以为圆心，为半径的圆上，所以，又为的中点，Q为的中点，所以，由椭圆的定义知：.13.已知函数，若对任意的实数m，fx在的值域均为，且在上单调递减，则ω的范围为___________.答案：解析：思路：利用二倍角公式化简fx得到，将对任意的实数，fx在的值域均为转化为对任意的实数m，在内都满足，即可得到，然后根据fx在上单调递减得到，且在fx的递减区间里，最后根据fx的递减区间列不等式求解即可.解答过程：易得，由，有，即对任意的实数m，在内都满足，故，则，由fx在上单调递减，则，即，当ω>0时，由于f（x）在R上的单调递减区间为，令k=0.有，则；令k=1，有，则；令k=2，有，无解，故，同理，当ω<0时，有，综上，.故答案为：.14.牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为，并称为r的1次近似值；在点作曲线的切线，设与轴x交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值.一般地，在点作曲线的切线，记与x轴交点的横坐标为，并称为r的n+1次近似值.设的零点为r，取，则r的1次近似值为______；若为r的n次近似值，设，，数列的前n项积为.若任意，恒成立，则整数λ的最大值为______.答案：①.3②.1解析：思路：利用给定定义，整理出，求值解决第一空即可，利用求出，进而得到，再确定λ的最大值即可.解答过程：易知，设切点为，由切线几何意义得斜率为，故切线方程为，由给定定义知在该直线上，代入直线得，当时，易知，故的1次近似值为，由得，，，而函数的零点为，且，故fx在上单调递增，且，，故，由零点存在性定理得，由题意得会逐渐接近，，结合，而λ是整数，故，故答案为：3；1方法提示：关键点点睛：本题考查数列和导数新定义，解题关键是利用给定定义，然后表示出，求出，得到所要求的参数最值即可．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点.（1）求证:；（2）若二面角的大小为且三棱锥M-DFG的体积为设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值.答案：（1）在原正方形中，F分别是，CD的中点，，，，平面，平面，平面，平面，.（2）解析：（1）略（2），，就是二面角的平面角，即，如图，以F为原点，为轴，FC为轴，过F作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，原正方形边长为4，，F分别是，CD的中点，F，，，，，，，即，，AE=2，，即，是的中点，，即G，设，即，三棱锥的体积为V，，,，平面，，，，，解得t=1，即，平面过直线且与直线GM平行，设平面的法向量，，，，即，令，可得，，即，平面在的平面上，平面的法向量，平面与平面所成角θ，.16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．（1）求角A的大小；（2）求周长的范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由余弦定理变化题中条件，得到边的关系式，再由余弦定理求得的值，即可；（2）根据正弦定理求得，，把周长转化为角的关系式，利用辅助角公式进行变形，最后根据角的范围求解即可.（1）由余弦定理，，化简得，所以，因为，所以（2）由正弦定理：，则，，由（1），故因为，则，所以，即周长范围是．17.市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是110，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．（1）求李先生的小孩按时到校的概率；（2）李先生是否有七成把握能够按时上班？（3）设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．答案：（1）1720（2）没有（3）解析：思路：（1）根据题意结合对立事件求概率；（2）根据题意结合对立事件和独立事件概率的乘法公式求概率，分析判断；（3）根据（1）、（2）中的数据结合求独立事件概率的乘法公式求概率，进而可得分布列和期望.（1）因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是110和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：12×110＋12×＝故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－320＝17（2）甲到丙没有遇到拥堵的概率是1720，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是17甲到乙遇到拥堵的概率是×110＋×110＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝，∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是1720×1720×＝<0.7，所以李先生没有七成把握能够按时上班．（3）依题意X可以取0，1，2.P(X＝0)＝×1720＝，P(X＝1)＝×1720＋×320＝；P(X＝2)＝×320＝.分布列是：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.18.对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．（1）在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系；（2）设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；（3）点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）设上两点的坐标为，，经伸缩变换后变为，，由题意可得，，可得；（2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；椭圆变换得到了以原点为圆心的圆，P，Q，R，S变换得到，，，，可得轨迹方程为：，利用变换可得S的轨迹方程.（3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，点A变换得到了，在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形，可求△ABC面积最大值为．（1）设上两点的坐标为，；经伸缩变换后变为，，则；；，；则．（2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；椭圆变换得到了以原点为圆心的圆；P，Q，R，S变换得到，，，．O，，均在中垂线上，则O，，共线．，，则，则，，则轨迹方程为：，代入，，则S轨迹方程为：．（3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，点A变换得到了，即为，并设B，C变换得到了B'，．熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形．则，分别为绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到．则B'，坐标分别为，．即为，，即B、C坐标分别为，，单位圆内接正三角形面积为，则△ABC面积为．综上，所求B，C坐标分别为，或其交换，△ABC面积最大值为．方法提示：方法点睛：本题考查伸缩变换，利用伸缩变换求轨迹方程，关键是了解变换前后的不变与变，利用变换后的几何关系求变换前的几何关系，考查化归与转化思想，运算求解的核心素养.19.已知函数和．（1）若曲线数与在处切线的斜率相等，求a的值；（2）若函数与有相同的最小值．①求a的值；②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐