2026届湖南省长沙市望城区第六中学高三下学期全真模拟适应性考试数学试卷-含解析

/数学满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.这一组数据：的中位数为（）A. B. C. D.2.已知是不共线的向量，且，则（

）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.函数在处的切线方程为（）A. B.C. D.5.已知抛物线上的点到抛物线焦点F的距离为5，则（）A.4 B.3 C.2 D.6.已知函数，，若，，则的最小值为（）A. B. C.-1 D.7.已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（）A.10 B.11 C.12 D.138.下列有关排列数、组合数的等式中，，错误的是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式的运算结果是实数的是（）A. B.C. D.10.如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.若平面平面ABCD，则B.四棱锥的体积最大值为C.点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为D.三棱锥的外接球表面积的最小值为11.已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（）A.关于直线对称B.存在点，使得（为坐标原点）C.为定值D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________.13.函数的值域为___________．14.某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为．若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点.（1）求证:；（2）若二面角的大小为且三棱锥M-DFG的体积为设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值.16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求B；（2）若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积.17.某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中.（1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；（2）在模型二的前提下：①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）.②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望.18.对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”.（1）若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程；（2）在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由；（3）已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：）19.已知a为实数，记.（1）当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式；（2）若函数为偶函数，且对于任意，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围；（3）求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件.

数学满分150分，考试用时120分钟.如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.这一组数据：的中位数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：要找这组数据的中位数，首先需要把数据从小到大排序：，这组数据一共有7个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数，也就是．2.已知是不共线的向量，且，则（

）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线答案：C解析：解答过程：假设存在实数，使得，则三点共线，，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误；假设存在实数，使得，则三点共线；，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误；C：，假设存在实数，使得，则三点共线；，同理得，解得，所以假设成立，故C正确；D：，假设存在实数，使得，则三点共线；，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误．3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：计算出集合、后，借助补集定义及交集定义即可得.解答过程：由，即，解得，故，由，可得，即或，故，故.故选：B.4.函数在处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：当时，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.解答过程：因为，则，当时，则，所以，所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即.故选：D5.已知抛物线上的点到抛物线焦点F的距离为5，则（）A.4 B.3 C.2 D.答案：A解析：思路：根据抛物线的定义，结合抛物线的准线方程，即可求得答案.解答过程：由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点F的距离等于点P到准线的距离，抛物线的准线方程为，所以，解得.6.已知函数，，若，，则的最小值为（）A. B. C.-1 D.答案：A解析：思路：利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值.解答过程：函数的定义域为，.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值.又当时，，且，若，，则，所以，即.所以.所以当，即时，取得最小值，最小值为.7.已知数列的前n项和为，且，则满足的最大正整数n的值为（）A.10 B.11 C.12 D.13答案：C解析：解答过程：由于，故为等比数列，，公比，故，．因为，所以，即，当时，不等式不成立，故有，此时的差恒大于1，只需，即得，，解得．因为，所以n的最大值为12．8.下列有关排列数、组合数的等式中，，错误的是（）A.B.C.D.答案：B解析：思路：利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D．解答过程：选项A：由组合数性质知，，故A正确；选项B：当时，，故B错误；选项C：，故C正确；选项D：因为，所以，故D正确．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式的运算结果是实数的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：根据复数加减乘除运算法则逐一计算即可求解.解答过程：A项中，，故A正确；B项中，，故B错误；C项中，，故C正确；D项中，，故D错误.故选：AC.10.如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.若平面平面ABCD，则B.四棱锥的体积最大值为C.点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为D.三棱锥的外接球表面积的最小值为答案：AD解析：解答过程：对于A：因为平面平面，平面平面，因为是中点，，所以，所以，所以，平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于B：由已知梯形的面积为，，直角斜边上的高为，当平面平面时，四棱锥的体积取最大值，故B错误；对于C：如图1，取的中点，则，平行且相等，四边形是平行四边形，所以点的轨迹与点的轨迹形状完全相同，过点作的垂线，垂足为，，点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，从而的中点的轨迹长度为，故C错误；对于D：如图2，的外接圆的半径为，是的中点，外接圆的半径为2，是圆与圆的公共弦，，设三棱锥外接球心为O，半径为，则，因为，所以，所以的最小值为2，所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故D正确．11.已知是曲线上的动点，点，内切圆的圆心记为，直线与直线交于点，则（）A.关于直线对称B.存在点，使得（为坐标原点）C.为定值D.答案：ACD解析：思路：对曲线方程中互换，得出方程不变，从而得出，判断选项A；对曲线方程进行变形，利用基本不等式结合两点间距离公式计算判断选项B；根据两点间距离公式计算得出，从而判断选项C；利用选项C结论，结合内心的性质求出比例关系，判断选项D．解答过程：对于A，由方程中互换后方程不变可得曲线关于直线对称，故A正确；对于B，设，由，得，当且仅当时，等号成立，，从而，故B错误；对于C，，故4，是定值，故C正确；由选项C可知，是以为焦点，4为长轴长，为焦距的椭圆，是的内心，在上，由三角形内角平分线定理得，变形得，是的角平分线，则，令，在中，，即，①在中，，即，②三点共线，则，则，将①除以②，可得，，由等比性质，可得，即，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知F是椭圆和抛物线的公共焦点，是的另一个焦点，是与的交点，若是等腰直角三角形，则的离心率为____________.答案：##解析：思路：利用椭圆与抛物线的定义及几何性质，结合等腰直角三角形的边角关系推导椭圆参数的数量关系，进而求解离心率.解答过程：如图，因为是，的公共焦点，是的另一个焦点，所以的准线经过点.根据对称性，不妨令在第一象限，因为是等腰直角三角形，所以.过作准线的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，则.又，所以.设，则，则的离心率为.13.函数的值域为___________．答案：解析：思路：先将函数平方，转化为关于的函数，再利用换元法，转化为关于的函数，利用导数求出的值域，进而得出函数的值域．解答过程：因为，所以，所以定义域为，由题可知，，令，不妨设，则，令，解得或，当时，，则在单调递增，当时，，则在单调递减，又，所以，即，所以．14.某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为．若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则__________．答案：解析：思路：设事件“一轮答题中系统派出素养题”，事件“该选手在一轮答题中答对”，根据全概率公式求出，设事件“第n轮答题结束时挑战未终止”，则当时，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，求解即可.解答过程：设事件“一轮答题中系统派出素养题”，事件“该选手在一轮答题中答对”，依题意，，因此，所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为．设事件“该选手在第n轮答对”，由于各轮答题正确与否相互独立，所以，设事件“第n轮答题结束时挑战未终止”，当时，第n轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：①第n轮答对，且第轮结束时挑战未终止；②第n轮答错，且第轮答对，且第轮结束时挑战未终止，因此第n轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为，则，而各轮答题正确与否相互独立，因此，即当时，，当时，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点.（1）求证:；（2）若二面角的大小为且三棱锥M-DFG的体积为设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）在原正方形中，分别是，的中点，，，，平面，平面，平面，平面，.（2），，就是二面角的平面角，即，如图，以为原点，为轴，为轴，过作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，原正方形边长为，，分别是，的中点，，，，，，，，即，，，，即，是的中点，，即，设，即，三棱锥的体积为，，,，平面，，，，，解得，即，平面过直线且与直线平行，设平面的法向量，，，，即，令，可得，，即，平面在的平面上，平面的法向量，平面与平面所成角，.16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求B；（2）若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角B可求；（2）结合直角三角形性质和正弦定理求出，列方程求得，再由两角和的正弦公式得，代入三角形面积公式求解即可.（1）因为，所以，由正弦定理可得，所以，所以，又，则，所以，则，，所以．（2）由（1）知，，，在中，由正弦定理得，，所以.又，，，所以，故，即.又，所以，所以.又，所以的面积为.17.某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中.（1）分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；（2）在模型二的前提下：①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）.②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望.答案：（1）；（2）①；②解析：思路：（1）分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进行计算即可；（2）①先算出第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为，则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和；②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值.解答过程：（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况，则；记在模型二下，取到红球的概率为，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况，则；（2）①设第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为，则，则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和，即，利用等比数列求和公式即可得；②由题可知，的取值依次为，当时，，由数学期望的定义和①中的概率公式可知，，设，由错位相减法可得，所以.18.对于双曲线，我们称与互为“交换双曲线”；对于椭圆，我们称与互为“交换椭圆”.（1）若双曲线E的“交换双曲线”为自己本身，且过点，求双曲线E的标准方程；（2）在（1）的条件下，设双曲线E的左顶点为A，斜率为2的直线与双曲线E的右支交于B，C两点，且B，C均不在x轴上.试判断的垂心是否在双曲线E上，并说明理由；（3）已知椭圆W的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为.封闭曲线上任一点满足：当时，点D在椭圆W上；当时，点D在椭圆W的“交换椭圆”上.若矩形关于直线对称且各顶点均在曲线上，求证：矩形的面积小于5.20.（注：）答案：（1）（2）的垂心在双曲线E上，理由如下：，设直线的方程为：，设，，联立可得：，直线与双曲线E的右支交于B，C两点，所以，解得：，又因为，，设垂心为，所以直线的方程为：，又因为，所以直线的方程为：，联立可得：，则因为，所以，，因为，所以，所以，又因为在，所以，所以，又因为：.故的垂心在双曲线E上.（3）证明如下：由长轴为，可得，由离心率，得，所以，不妨设椭圆的焦点在x轴，则方程为，则椭圆的“交换椭圆”方程为，所以曲线的方程为，因为矩形关于对称，设在椭圆W上，则在“交换椭圆”上，则，又直线平行直线，则直线PN的斜率为1，所以直线PN的方程为，即，联立，得，所以，得，所以，所以面积，因为点P在椭圆W上，所以，令，代入可得，取，此时等号成立，且当时，，，，满足，故矩形的面积小于5.20.解析：思路：（1）由题意可得，设出双曲线的方程，代入点坐标，求出，即可得答案.（2）分别表示出直线、直线的方程，两式联立求出，再代入双曲线的方程验证即可证明.（3）求出椭圆的方程与其“交换椭圆”的方程，设，