2026届湖南长沙麓山外国语实验中学高三下学期全真模拟适应性考试数学试卷-含解析

/数学满分150分，考试用时120分钟．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，设，若点D满足，点M为AC中点，则=（）A. B. C. D.3.已知函数，则下列结论正确的个数是（）①的图象关于点对称；②在区间内有2个极大值点；③；④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称．A.1 B.2 C.3 D.44.已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（）A. B.C. D.5.设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（）A.12 B.22 C. D.6.已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.符号表示不超过实数x的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前n项和，则（）A. B. C. D.8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有A，B两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A.复数z的虚部是 B.C.复数z的共轭复数是 D.复数z的共轭复数对应的点位于第四象限10.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则（）A.直线BE与CD所成角的余弦值为B.平面C.点F到直线BE的距离为1D.在上的投影向量为11.过原点的直线与圆交于A，B两点，且不经过点C，则（）A.弦AB长的最小值为.B.当直线的斜率为时，圆C上恰有3个点到的距离为3C.圆C与圆有2条公切线D.圆C在A，B两点处的切线的交点在直线上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.椭圆x24+y213.已知函数的最小正周期是2，则__________；此时函数的定义域为__________.14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，四边形ABCD为菱形，平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于.（1）求证：平面CDE；（2）若平面平面为等边三角形，，求平面ACEF与平面BCE夹角的余弦值.16.在△ABC中，A,B,C的对边分别为，已知向量，，且（1）求的大小；（2）若点D为边AB上一点，且满足，求△ABC的面积.17.全国两会召开前夕，许多人大代表关心雾霾治理，倡导绿色发展，击碎十面“霾伏”.通过不懈努力，近两年某市空气质量逐步改善，居民享受着在藏天白云下出行和锻炼.PM2.5的值是表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高空气污染就越严重，如表是某人朋友圈内室外锻炼的人数与PM2.5值的一组数据.PM2.5的值x110100806050室外锻炼人数y（人）9095100105110（1）请用相关系数r（精确到0.01）说明y与x之间具有线性相关关系；（2）若室外锻炼人数与PM2.5的值存在线性关系，请根据上表提供的数据，当PM2.5的值为40时，估计室外锻炼人数（四舍五入）；（3）将表格中的x与y数据看作五个点的坐标（x，y），从这五个点中任意抽取两个点，求这两个点都在圆（x﹣80）2+（y﹣90）2＝100外的概率.参考公式：，，参考数据：，，，5.10，15.81.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，且.（1）求C的实轴长与虚轴长之积的最大值.（2）若过点的直线与C的右支交于P，Q两点，直线与y轴交于点的内切圆与边相切于点B，且.（i）求C的方程；（ii）记的内切圆面积为的内切圆面积为，求的取值范围.19.设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点x0，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，函数，求证：；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数，且满足.

数学满分150分，考试用时120分钟．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由题意得或，求出即可.解答过程：已知集合，集合．若，则或，而方程无解，方程的解为，经检验当时，满足集合中元素的互异性，且.故选：D.2.在中，设，若点满足，点M为AC中点，则=（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：作出图形，结合平面向量的线性运算求解.解答过程：根据题意，.故选：B3.已知函数，则下列结论正确的个数是（）①的图象关于点对称；②在区间内有2个极大值点；③；④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称．A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：先用辅助角公式把函数化成的形式，再结合函数的图象和性质进行判断.解答过程：.对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误；对于②，由，得，，所以，，所以x可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确；对于③，因为，，又在上单调递减，所以，即，故③正确；对于④，把的图象向左平移个单位，可得，当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确.综上，结论正确的个数是3.4.已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：求出函数的导数，借助导数的几何意义求出a值，进而求出切线方程作答.解答过程：函数，求导得：，依题意，，解得，即有，，所以函数的图像在点处的切线为：，即，符合题意.故选：B5.设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出，由椭圆的定义得，，所以为椭圆的通径时最小，此时取得最大值5，即可得，从而求出b的值，最后求出椭圆的离心率解答过程：因为，所以椭圆的焦点在x轴上，可知，因为过的直线交椭圆于A，B两点，所以由椭圆的定义知：，所以，当轴时，最小，的值最大，此时为椭圆的通径，由通径公式可得：所以，解得：，所以，，故选：A方法提示：本题主要考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，属于中档题.6.已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：原不等式可转化为，设，则，结合函数的单调性，进一步可得，令，求出函数在上的最大值即可得解．解答过程：由，得，即，即，设，则，又函数在上单调递增，则，，设当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，则，实数a的取值范围为．故选：B．7.符号表示不超过实数x的最大整数，如，.已知数列满足，，.若，为数列的前n项和，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由已知条件可得数列是首项为，公比为的等比数列，数列为常数列，进而可求出数列的通项公式，从而求出的通项公式，最后再利用裂项相消求和，结合符号的定义，即可求出.解答过程：因为，则，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则①，又由可得，且，所以数列为常数列，则②，由①②可得，因为，，则，所以，所以，则，所以，化简可得，因此.8.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有A，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从A，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：用古典概型，根据组合数算出第一次操作后A盒恰有1个红球的概率和恰有2个红球的概率.用全概率公式得到与的递推关系.对递推式变形，得出数列是等比数列，并确定其首项与公比.依据等比数列通项公式求出的表达式.把代入表达式，算出的值.解答过程：设第次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为.由题意知，，，因为，所以.又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）A.复数z的虚部是 B.C.复数z的共轭复数是 D.复数z的共轭复数对应的点位于第四象限答案：CD解析：思路：根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可.解答过程：，对于A，复数z的虚部是，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，复数z的共轭复数是，故C正确；对于D，，在复平面内，对应点的坐标为，复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确.故选：CD10.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则（）A.直线BE与CD所成角的余弦值为B.平面C.点F到直线BE的距离为1D.在上的投影向量为答案：BC解析：思路：对于A，利用向量的方法求解夹角余弦值.对于B，要判断直线与平面平行，可根据直线与平面内一条直线平行且直线不在平面内来判断.对于C，求点到直线的距离，可利用向量的投影等知识求解即可.对于D，求向量在另一个向量上的投影向量，根据投影向量的定义进行计算.解答过程：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，且E，F分别为棱，的中点，可知，，可得，，，，对于选项A：因为，所以直线BE与CD所成角的余弦值为，故A错误；对于选项B：，，设平面的法向量为，则，令，解得，所以，，因为，所以平面，B选项正确；对于选项C：因为在方向上的投影向量的模长为，且，点F到直线BE的距离为，故C正确；对于选项D：在上的投影向量为，D错误.故选：BC.11.过原点的直线与圆交于A，两点，且不经过点C，则（）A.弦长的最小值为.B.当直线的斜率为时，圆C上恰有3个点到的距离为3C.圆C与圆有2条公切线D.圆C在A，两点处的切线的交点在直线上答案：BD解析：思路：A选项，由圆的几何性质得到当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，从而由垂径定理求出答案；B选项，求圆心C到直线的距离与半径比较进行求解；C选项，判断两圆的位置关系进行判断；D选项，设出，求出四点所在圆的方程，从而求出切点弦方程，结合直线AB过原点，将原点代入后得到满足的方程.解答过程：对A，变形为，圆心C为，半径，因为，故原点O在圆内，故当弦AB与直线垂直时，弦AB长取得最小值，其中，故，A错误；对于B，当直线的斜率为时，直线的方程为，即，圆心C到直线的距离为，而圆的半径，则圆C上恰有3个点到的距离为3，故B正确；对于C，圆化为：，则圆心，半径，而，则圆C与圆M内切，得圆C与圆只有1条公切线，故C错误；对于D，设，则四点共圆，且为直径，其中线段的中点坐标为，即圆心坐标为，半径为，故四点所在圆的方程为：，化简得：①，②，①－②得：，则直线AB的方程为，又因为直线AB过原点，将原点代入得：，故A，B两点处圆的切线的交点位于直线上，即直线上，D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.椭圆上的点到直线的最短距离为______.答案：解析：思路：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，再求出平移直线间的距离，即可得解.解答过程：设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程，消去x得整理得，所以，解得，当时，两平行直线的距离为，当时，两平行直线的距离为.所以点到直线的最短距离为.故答案为：13.已知函数的最小正周期是2，则__________；此时函数的定义域为__________.答案：①.②.且解析：思路：根据函数的最小正周期，求得，再利用整体法求函数的定义域即可.解答过程：因为的最小正周期为2，故可得，所以；故，令，解得，且所以的定义域为且.故答案为：；且14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．答案：27解析：思路：方法一：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.方法二：由题意结合列举法和二分法即可求解.解答过程：［方法一］：【通性通法】【最优解】设，则由得，化简得，，解得：，即．所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由即，解得，所以得满足条件的n最小值为.故答案为：.［方法二］：列举法＋二分法与相比，B元素间隔大．因此利用列举法从中元素构成看，分别加了几个B中元素进行考虑．1个：；2个：；3个：；4个：；5个：；6个：．发现当时，发生变号，以下用二分法查找：，所以所求n应在22~29之间．，所以所求n应在25~29之间．，，不符合条件；，，符合条件．因为，而，故答案为：.方法提示：方法一：先由求和公式寻找不等式成立的充分条件，即当第n项的值大于等于时，不等式成立，再寻找第n项的值在与之间时是否也可以有满足题意的解，从而解出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：根据两个集合的特征，一一列举集合中的元素，并研究集合中元素的和与的变化规律，从而找出可能满足不等式的解，再由二分法验证解出，该法计算较为麻烦．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，四边形ABCD为菱形，平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于.（1）求证：平面CDE；（2）若平面平面为等边三角形，，求平面ACEF与平面BCE夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）通过证明平面平面ABF，即可证平面CDE；（2）先证两两互相垂直，再以O为原点建立直接坐标系，求出平面BCE的一个法向量，易得平面ACEF的一个法向量为，再利用平面法向量与平面夹角的关系求余弦值即可.（1）平面ABCD，过EF的平面交平面ABCD于，又四边形ACEF为菱形，平面平面平面ABF.又四边形ABCD为菱形，同理平面ABF平面平面平面ABF，又平面平面CDE.（2）设AC与BD交于点O，连接EO.为等边三角形，四边形ABCD为菱形，为AC的中点，.又平面平面ACEF，且交线为AC，平面ABCD.易知两两互相垂直，故以O为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面BCE的法向量为，则，不妨取x=1，则易知是平面ACEF的一个法向量设平面ACEF与平面BCE的夹角为θ，则，故平面ACEF与平面BCE夹角的余弦值为.16.在中，的对边分别为，已知向量，，且.（1）求的大小；（2）若点D为边AB上一点，且满足，求的面积.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由向量的数量积的运算公式，求得，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，即可求解；(2)由，求得，两边平方化简得，再由余弦定理，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.解答过程：（1）由题意，因为，，可得，在中，由正弦定理得，化简得，又因为，可得，所以，因为，所以.(2)由，可得，所以，两边平方得①又因为，所以.②由①②得，所以.方法提示：本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及合理利用正弦定理的边角互化和三角的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17.全国两会召开前夕，许多人大代表关心雾霾治理，倡导绿色发展，击碎十面“霾伏”.通过不懈努力，近两年某市空气质量逐步改善，居民享受着在藏天白云下出行和锻炼.PM2.5的值是表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高空气污染就越严重，如表是某人朋友圈内室外锻炼的人数与PM2.5值的一组数据.PM2.5的值x110100806050室外锻炼人数y（人）9095100105110（1）请用相关系数r（精确到0.01）说明y与x之间具有线性相关关系；（2）若室外锻炼人数与PM2.5的值存在线性关系，请根据上表提供的数据，当PM2.5的值为40时，估计室外锻炼人数（四舍五入）；（3）将表格中的x与y数据看作五个点的坐标（x，y），从这五个点中任意抽取两个点，求这两个点都在圆（x﹣80）2+（y﹣90）2＝100外的概率.参考公式：，，参考数据：，，，5.10，15.81.答案：（1）说明见解析（2）112（3）解析：思路：（1）由题意，利用相关系数计算公式，利用给定数据，可得答案；（2）利用回归直线方程系数的计算公式，可得答案；（3）根据古典概型的概率计算公式，根据圆的性质以及组合数的计算，可得答案.（1）（110+100+80+60+50）＝80，（90+95+100+105+110）＝100，.∴y与x之间具有较强的负线性相关关系.（2），，∴y与x的线性回归方程为：y＝﹣0.31x+124.8.当x＝40时，y＝﹣0.31×40+124.8≈112.当PM2.5的值为40时，室外锻炼人数估计为112人.（3）5个点中，只有点（80，100）在圆上，其余4点都在圆外，∴这五个点中任意抽取两个点，两个点都在圆外的概率为P.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，且.（1）求C的实轴长与虚轴长之积的最大值.（2）若过点的直线与C的右支交于P，Q两点，直线与轴交于点的内切圆与边相切于点，且.（i）求C的方程；（ii）记的内切圆面积为的内切圆面积为，求的取值范围.答案：（1）8（2）（i）（ii）解析：思路：（1）先计算出，再利用基本不等式即可求解；（2）（i）利用双曲线的定义，等量代换以及切线长定理得出，再计算出，即可求出双曲线方程；（ii）利用双曲线的定义，等量代换以及切线长定理得出切点是C的右顶点，进而得出的横坐标为1，设直线PQ的倾斜角为θ，把用θ的函数表示，最后再利用双勾函数的单调性求出范围.（1）设C的半焦距为.因为，所以，由题可知的实轴长为2a，虚轴长为2b，因为，当且仅当时等号成立，所以C的实轴长与虚轴长之积的最大值为8.（2）（i）设的内切圆