2026届山东省烟台市招远市高三下学期5月模拟预测数学试卷-含解析

/数学满分150分，考试时间为120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.满足的集合A的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.42.若复数满足，则（）A. B.2 C. D.33.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示：总人数（单位：万）样本平均分样本方差科技创新从业者109036传统行业从业者107064根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（）A.148 B.150 C.152 D.1545.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点（在第一象限），若，则的斜率为（）A.-1 B.-2 C. D.6.已知函数，则（）A.2025 B.2026 C.2027 D.20287.在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（）A. B. C. D.8.已知函数，，若，，有，则的最大值为（）A.1 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.已知点，圆，则下列结论正确的有（）A.点在圆内部B.点与圆上的点之间距离的最大值为C.以为中点的弦所在的直线方程为D.若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为10.在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（）A. B.C.外接圆半径为 D.11.已知点是棱长为2的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（）A.当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围为C.当在底面上运动，且的中点为，若，则的最小值为D.使直线与平面所成角的大小为的点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，，则的值为______．13.已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______．14.已知有穷数列（且）是1，2，…，的一个排列．对进行一次变换得到，记的各项之和为．若，则的最小值为______；对任意的，的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在数列中，，．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．16.如图，在正三棱柱中，，分别为和的中点．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个零点．（i）求实数的取值范围；（ii）证明：，．18.已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4．（1）求的标准方程；（2）设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标：（3）设（2）中求得的定点为，求面积的最大值．19.某商场为吸引顾客，推出“幸运大转盘”活动．转盘分为三个区域：红色、黄色、蓝色，指针指向各区域的概率分别为、、．活动规则为：顾客每转动一次转盘，记录颜色后再次转动转盘，直到三种颜色均至少出现过一次为止，活动结束，根据转动次数，顾客可获得相应等级的奖品．设表示活动结束时顾客转动转盘的次数．（1）求的概率；（2）求且的概率表达式：（3）设表示出现两种不同颜色之后到出现第三种颜色所需的转动次数（包括第三种颜色出现的那一次），求的数学期望．参考公式：．

数学满分150分，考试时间为120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.满足的集合A的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：D解析：思路：由题意知：A中一定含有元素1，因此A的个数应为集合{2，3}的子集的个数．解答过程：由题意知：A中一定含有元素1，因此A的个数应为集合{2，3}的子集的个数，∴满足的集合A的个数为4个，故选D方法提示：本题主要考查子集、真子集的概念及运算．难度不大，属于基础题．2.若复数满足，则（）A. B.2 C. D.3答案：C解析：思路：解法一：利用求根公式解出z，再求.解法二：方程的两根为共轭复数，利用韦达定理得，再求.解答过程：方法一：由，又因为，可得，所以.方法二：设方程的两根为，由，可知，因为，所以.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：由或或.所以时，必成立；当时，可以不成立，如时，但不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.4.某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示：总人数（单位：万）样本平均分样本方差科技创新从业者109036传统行业从业者107064根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（）A.148 B.150 C.152 D.154答案：B解析：解答过程：由于两类从业者总人数均为10万，权重均为，分别为两组的样本平均，两类职业满意度的总体均值的估计值，又为两组的样本方差，代入数值计算：，因此总体方差的估计值.5.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点（在第一象限），若，则的斜率为（）A.-1 B.-2 C. D.答案：D解析：思路：根据抛物线标准方程确定焦点的坐标，进而利用焦半径公式求的横坐标，代入抛物线方程求纵坐标，再利用两点间斜率公式计算直线的斜率.解答过程：由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为.设，已知，则：，解得，代入抛物线方程得：，由在第一象限，可得，即.因为直线过和，所以斜率：.6.已知函数，则（）A.2025 B.2026 C.2027 D.2028答案：B解析：解答过程：由题意得：当时，，所以，则.7.在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将用和表示出来，利用向量等式进行求解.解答过程：如图所示，因为，所以点为三等分点，且靠近点.设，，，，则，，且由题意得：，，设，，联立，解得：，，所以，由得：，化简得：，所以，令，所以，，即：.8.已知函数，，若，，有，则的最大值为（）A.1 B. C. D.答案：C解析：思路：转化条件得，则，令，利用导数求得的最大值可得解.解答过程：由题意，，，，即，则，，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；作函数的草图如下，由图可知，当时，有唯一解，故，且，，∴，设，，则，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，即的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.已知点，圆，则下列结论正确的有（）A.点在圆内部B.点与圆上的点之间距离的最大值为C.以为中点的弦所在的直线方程为D.若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为答案：AC解析：思路：选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解.解答过程：点代入，，点在圆内部，选项A正确；，点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误；，以为中点的弦所在的直线的斜率为，其方程为，即，以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确；过点的直线截圆的弦长为，由，得，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合；当直线的斜率存在时，设直线为，即，，解得，直线为，即，所以直线的方程为或，选项D错误.10.在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（）A. B.C.外接圆半径为 D.答案：ABD解析：思路：由正弦定理及，得，再由及二倍角公式得，即可求解，再结合选项即可依次判断．解答过程：由及正弦定理得，，，代入得，得，即，在中，有，故A项正确；由，得，得，因，则，得，故B项正确；因为，，及，联立解得，由得，则，，故D项正确；外接圆半径为，故C项错误．11.已知点是棱长为2的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（）A.当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值B.当在线段上运动时，与所成角的取值范围为C.当在底面上运动，且的中点为，若，则的最小值为D.使直线与平面所成角的大小为的点的轨迹长度为答案：ACD解析：思路：根据点到平面的距离为定值可知A正确，由异面直线夹角的求法找出夹角的平面角，可得B错误，建立空间直角坐标系利用长度的坐标运算可知C正确，利用线面角定义可知点的运动轨迹是两段线段和一段圆弧，可知D正确．解答过程：对于A，当点在线段上运动时，点到平面的距离为正方体的棱长，所以，所以三棱锥的体积为定值，A正确，对于B，因为，故与所成角等于与所成角，连接，易知为等边三角形，如下图：与夹角为，当为中点时，，夹角为，故夹角的取值范围为，B错误，对于C，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图：易知,设,则由，得，故,的长度，代入，得，当时，最小，最小值为，C正确.对于D，易知与平面所成的角均为，如下图所示：只需保证点在线段上运动即可，当点在平面内运动时，需满足到点的距离为2即可，此时点的运动轨迹是以点为圆心的圆弧，因此可知点的运动轨迹长度为，即D正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，，则的值为______．答案：##解析：解答过程：因为分子：分母：，.所以原式.已知，两边同时平方可得：，所以.13.已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______．答案：##解析：思路：先根据题意得到所需各点的坐标，再结合即可得到与的关系，进而结合椭圆基本参数的关系即可求其离心率．解答过程：设椭圆的半焦距为，则，依题意可得，，，将代入椭圆，得，又在第一象限，则，四边形的面积为，化简整理得，所以的离心率为．14.已知有穷数列（且）是1，2，…，的一个排列．对进行一次变换得到，记的各项之和为．若，则的最小值为______；对任意的，的最大值为______．答案：①.②.解析：思路：把首尾相接看成一个圆环，就是圆环上每条边两端数字较小者之和．第一空从数字相邻的两条边入手估计下界并构造取等排列；第二空设最大值为，删除数字并连接其原来的两个相邻数字，建立与的关系，再构造排列取到上界．解答过程：把首尾相接看成一个圆环，并规定，则，第一空：当时，数字与两个数字相邻，这两条边对应的较小值都为．圆环共有条边，剩余两条边的两个端点都不小于，所以它们对应的较小值都不小于．因此取则所以当时，的最小值为．第二空：设对的所有圆环排列，的最大值为．任取一个使的圆环排列，设数字的两个相邻数字为．从圆环中删去数字，并把直接相邻，得到由组成的新圆环．原来与数字相邻的两条边对和的贡献为删去数字后，新增加的边对和的贡献为．因此因为，所以，从而再把圆环中的每个数字都减去，得到的一个圆环排列．圆环共有条边，每条边两端数字同时减去后，该边两端数字的较小值也恰好减去，所以由的定义，有．结合上述关系，得即当时，任意圆环排列均有所以．由上述递推不等式依次递推，得又，所以另一方面，取圆环排列则即所以对任意，的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在数列中，，．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）在数列中，，，则，所以，即，解得，，即，解得，，以此类推可知，对任意的，，所以，即，所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为.（2）解析：思路：（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可；（2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式.（1）略（2）由（1）可知，所以，所以，设数列的前项和为，则，①，②，①②得，所以，故.16.如图，在正三棱柱中，，分别为和的中点．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．答案：（1）取中点，连接，因为正三棱柱，所以底面，为的中点，平面，所以，又因为为正三角形，所以，又因为为的中点，所以，所以平面，又平面，，所以平面.（2）解析：（1）略（2）因为两两相互垂直，所以以为原点建立空间直角坐标系如图所示，设，则则，，，在平面中，设法向量为，则,令，则，因为平面在平面内，可设，设二面角的大小为，，所以.17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个零点．（i）求实数的取值范围；（ii）证明：，．答案：（1）时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）（i）（ii）证明：由（i）知，若存在两个零点，则，此时有最小值，只需证即可，因为，令，则，所以在上单调递增，所以，又因为，所以，所以，即当时，存在，使得.解析：思路：（1）先求导可得，分别讨论和的情况，进而求解即可；（2）（i）当时由函数在上单调则不符合题意；当时，分析时，都有，存在两个零点只需，可得；（ii）利用作差法证明极小值，即可得证.（1）由题意得，①当时，，所以在上单调递增；②当时，由，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.（2）（i）由于有两个零点，由（1）可知，当时，在上单调递增，不符合题意；当时，，，因为时，，时，，，即，所以函数存在两个零点，只需，由，所以，令，显然在上单调递增，又，所以由可得.综上，当时，有两个零点.（ii）略.18.已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4．（1）求的标准方程；（2）设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标：（3）设（2）中求得的定点为，求面积的最大值．答案：（1）（2）定点，证明过程如下：设点，则双曲线C在点P处的切线方程为，已知双曲线右焦点，设点，则线段的中点在切线上，且，所以有，即，又因为中点在切线上，所以，化简得，因为在双曲线C上，所以，代入式化简得，因为，所以，则，所以点；则直线斜率，根据点点斜式方程可得直线的方程为,则直线过定点.（3）解析：思路：（1）根据双曲线性质代入计算即可；（2）由垂直+中点在切线求Q坐标，整理PQ方程，令不含参部分为0，得到;（3）MF定长为4，面积转化为，代入Q坐标换元，二次函数顶点取最大值.（1）设等轴双曲线C的标准方程为，因为双曲线焦距为4，所以，则，在双曲线中有，又因为等轴双曲线中，所以代入得，所以双曲线C标准方程为.（2）略（3）由题，，设点，则，由（2）可知，，则，因为，令，因为，所以，代入得，则当时，面积最大值为19.某商场为吸引顾客，推出“幸运大转盘”活动．转盘分为三个区域：红色、黄色、蓝色，指针指向各区域的概率分别为、、．活动规则为：顾客每转动一次转盘，记录颜色后再次转动转盘，直到三种颜色均至少出现过一次为止，活动结束，根据转动次数，顾客可获得相应等级的奖品．设表示活动结束时顾客转动转