2026届陕西西安铁一中滨河高级中学高三下学期考前自测数学试卷-含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（）A.2.5 B.3 C.3.5 D.42.已知i为虚数单位，若复数，则复数z在复平面上对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知，则（）A. B. C. D.5.如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（）A.4 B.3 C. D.6.已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.7.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.8.在中，分别为角的对边，已知，则（）A.5 B.8 C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等比数列中，，，则（）A.的公比为 B.的前项和为C.的前项积为 D.10.已知三次函数，则（）A.函数一定有两个极值点 B.当时，C.当时，的极小值为0 D.在区间上的值域为11.已知A为双曲线C：上位于第一象限内的一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦点，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，则的面积为9C. D.的最小值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若与垂直，则____________.13.已知函数在处取得极值，且函数有三个零点，则实数的取值范围为___________14.已知正三棱柱的底面边长为2，以为球心、为半径的球面与底面的交线长为，则三棱柱的表面在球内部分的总面积为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，数列的前项和为，满足.（1）求数列与的通项公式；（2）设，求.16.如图，直角梯形中，分别为边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点．（1）证明：平面；（2）当，且二面角为锐二面角时，求平面与平面夹角的余弦值．17.已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.18.2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立．（1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．（i）为多少？（ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率．（2）在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？19.已知函数，且.（1）求;（2）已知为函数的导函数，证明：对任意的，均有；（3）证明：对任意的，均有.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（）A.2.5 B.3 C.3.5 D.4答案：C解析：思路：根据百分位数的定义求分位数.解答过程：由，结合已知数据从小到大，分位数是第3、4位两个数字的平均数，所求分位数为.故选：C2.已知i为虚数单位，若复数，则复数z在复平面上对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：利用复数乘方运算得到，从而得到对应的点的坐标，得到所在象限.解答过程：，故复数z在复平面上对应的点坐标为，故对应的点在第三象限.故选：C3.设，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：利用充分必要条件的定义进行判断即可.解答过程：当时，令，，满足，此时，所以由“”不能推出“”；反之，当时，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以由“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4.已知，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得，结合，利用二倍角公式可求出.解答过程：，，得，得，可得，，，，又，得，解得.故选：A5.如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（）A.4 B.3 C. D.答案：B解析：思路：根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比.解答过程：对抛物线，焦点，准线：.如图：过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以；过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以.所以，所以.故选：B6.已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可.解答过程：设中点为C，则，∵，∴，∴，∵，即，又∵直线与圆交于不同的两点，∴，故，则，.故选：C．7.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据函数的奇偶性可推出函数的周期，进而求出a的值，再利用函数的周期求值，即得答案.解答过程：因为为奇函数，所以，则；因为为偶函数，所以，即即得，结合，可得，即，即，则，即函数的周期为4，又时，，且，即得，即，则，故，即时，，故，故选：B8.在中，分别为角的对边，已知，则（）A.5 B.8 C. D.答案：A解析：思路：设外接圆半径为，根据正弦定理和二倍角公式化简求出，即，再根据余弦定理，求得，即得答案.解答过程：设外接圆半径为，由正弦定理得，，因为，所以，即，即，在，，，所以，所以，即，所以，即，解得或（舍），故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在等比数列中，，，则（）A.的公比为 B.的前项和为C.的前项积为 D.答案：AB解析：思路：对A，根据等比数列的基本量关系，结合等比数列的定义判断即可；对B，由A可得，再根据等差数列求和公式求解即可；对C，根据求解即可；对D，代入求解即可.解答过程：对A，设等比数列的公比为，则，得，所以，所以，所以，所以数列的公比为，故A正确对B，因为，所以的前项和为，故B正确；对C，的前项积为，故C错误对D，因为，所以的前项和为，故D错误．故选：AB10.已知三次函数，则（）A.函数一定有两个极值点 B.当时，C.当时，的极小值为0 D.在区间上的值域为答案：BCD解析：思路：对于AD，利用特例法可判断其正误，对于B，利用作差法可判断其正误，对于C，判断导数的符号可判断其正误.解答过程：对于A，当时，，该函数在上为增函数，无极值点，故A错误；对于B，，而，故，故，所以，故B正确；对于C，，若，则，此时当或时，，当时，，故在处取极小值；若，则，此时当或时，，当时，，故在处取极小值；故C正确；对于D，当，时，则当或时，，当时，，故在为减函数，在上为增函数，取，则，考虑方程在上是否有解，设，则，，由零点存在定理可得在上存在零点，设该零点为，则,则在上的值域为，故D成立，故选：BCD.方法提示：关键点点睛：对于三次函数中定义域与值域一致的问题，我们先利用导数判断函数的单调性，再结合函数在闭区间上端点处、在区间内的最值的关系来判断处理即可.11.已知A为双曲线C：上位于第一象限内的一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦点，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，则的面积为9C. D.的最小值为8答案：ABD解析：思路：根据已知，结合四边形的形状判断AB；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，结合与之间的关系求最值判断D.解答过程：设双曲线的右焦点为，依题意，四边形为平行四边形，如图：由双曲线C：知，对于A，，则为矩形，，A正确；对于B，由双曲线定义得，而，，则，即，于是，因此的面积，B正确；对于C，在中，，双曲线C：的渐近线方程为，直线的斜率，即有，，C错误；对于D，，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若与垂直，则____________.答案：解析：思路：由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得，再应用坐标公式求.解答过程：由题设，又与垂直，所以，可得.所以.故答案为：13.已知函数在处取得极值，且函数有三个零点，则实数的取值范围为___________答案：解析：思路：求导根据极值点得到，求导得到函数的单调区间，计算最值，画出函数图像，根据图像得到范围.解答过程：容易知当时，递增，当，为极值点，，得，此时，，而当时，，当时，，在上递增，在上递减，在上递增，，，画图可知，使函数有三个零点，即函数与的图像有三个交点，则实数满足，即.故答案为：.14.已知正三棱柱的底面边长为2，以为球心、为半径的球面与底面的交线长为，则三棱柱的表面在球内部分的总面积为________．答案：解析：思路：根据题意结合球的性质求正三棱柱的高和球面与底面的交线半径，进而分析各面与球的截面，结合扇形面积运算求解.解答过程：记以为球心，为半径的球面与底面的交线半径为，正三棱柱的高为，则，且，解得，，可知：底面在球内部分是以半径为，圆心角为的扇形，面积为，底面在球内部是以半径为，圆心角为的扇形，面积为，侧面在球内部分如图（阴影部分）所示，因为，可知，所以面积为，同理侧面在球内部分面积为，显然侧面与球不相交，所以三棱柱的表面在球内部分的总面积为.故答案为：.方法提示：关键点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，数列的前项和为，满足.（1）求数列与的通项公式；（2）设，求.答案：（1），；（2）.解析：思路：（1）设公差为，由已知列式即可求出首项和公差，得出通项公式，利用可得为等比数列，即可求出通项公式；（2）利用错位相减法可求出.解答过程：（1）设数列的公差为d，则，解得，所以，对于数列，当时，，所以.当时，由，即，故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）①②①-②得，，.方法提示：方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.16.如图，直角梯形中，分别为边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点．（1）证明：平面；（2）当，且二面角为锐二面角时，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用中位线性质作，由线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用三角函数值求出各点坐标，再求得平面的法向量即可计算两平面夹角的余弦值.（1）取的中点为，边的中点为，连接；由题意可知，直角梯形中，可得四边形为正方形，又为边的中点，所以，所以四边形为平行四边形，即又平面，平面，可得平面；（2）由，二面角为锐二面角可得，又，所以为等边三角形；因此，又，，且平面，即可得平面，又平面，所以，即可得两两垂直，易知，因此以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知二面角为锐二面角时，其平面角即为，则，所以,设平面的一个法向量为，则，取，可得，即即为平面的一个法向量；易知平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，所以.因此平面与平面夹角的余弦值为.17.已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.答案：（1）（2）是定值，理由见解析解析：思路：（1）根据椭圆的离心率以及点左､右顶点可以构成等腰直角三角形，即可求得的值，从而得椭圆的标准方程；（2）根据直线与椭圆相交，联立直线与椭圆得交点，的坐标关系，利用直线，的斜率之积等于，可得，分别求与原点到的距离，求的面积，即可判断其是否为定值.（1）解：椭圆离心率为，即，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形，，，，故椭圆的方程为.（2）解：由直线与椭圆交于，两点，设，，则联立得，，则，.，.原点到的距离，为定值.18.2024年巴黎奥运会上网球女单决赛中中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！习近平总书记在接见郑钦文等体育代表时，赞叹“国家荣誉永远超过个人”、“我的这块金牌献给伟大的祖国”等誓言掷地有声，展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．网球比赛为三局两胜制，设郑钦文与维基奇的单局比赛获胜概率为，且每局比赛相互独立．（1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．（i）为多少？（ii）请利用上述数据计算郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率．（2）在中是否存在一个实数使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率？答案：（1）（i）0.4；（ii）0.352；（2）不存在.解析：思路：（1）（i）根据过往比赛中郑钦文胜负情况估算概率求；（ii）法一：用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，再应用二项分布的概率求法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求郑钦文在此次奥运会决赛中战胜维基奇获得冠军的概率；（2）法一：三局两胜制中，设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，五局三胜制中，设赛满5局，用表示5局比赛中郑钦文胜的局数，其中，进而有求概率范围，即可得结论；法二：应用独立事件乘法公式、互斥事件的加法求出不同赛制下郑钦文获胜的概率，列不等式求概率范围，即可得结论.（1）（i）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为0.4．（ii）法一：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中郑钦文胜的局数，则，则郑钦文在决赛中获得冠军的概率，即．法