2026届四川省南充市西充县高三下学期5月质量检测数学试卷-含解析

/数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数z满足，则复数z的虚部是（）A. B. C. D.3.已知数列是等差数列，，则（）A. B.2 C.3 D.44.已知点，，O为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.已知定义在上的函数满足，且，则（）A.是偶函数 B.的最小正周期是2C.关于点中心对称 D.是奇函数6.如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（）A. B. C. D.7.已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为（）A. B. C.3 D.8.若函数，，则（）A.函数，的图象关于直线对称B.，使得C.若，则D.若，则二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中，真命题的是（）A.一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小B.数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点C.若随机变量服从正态分布，，则D.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.B.点是函数的图象的对称中心C.函数在区间上是增函数D.将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为11.如图，在棱长为2的正方体中，P（与点不重合）是正方体侧面内的动点，下列说法正确的是（）A.平面平面B.若动点P到直线AB的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分C.当BP=13PD.线段AD绕旋转一周的过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______.13.过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________.14.如图，是等边内的动点，四边形是平行四边形，.则的最大值______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）求证：当时，1−12（2）利用（1）的结论，比较，，的大小.16.在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点.（1）证明BDDC（2）若BD=2,CD=1,17.把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AC=AB=3,∠DAC=30∘（1）若二面角为直二面角，求四面体外接球的表面积；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的余弦值.18.已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求直线的方程；（3）MNFT19.某生鲜电商平台销售一款时令水果，其每日市场需求量（单位：千克）为离散型随机变量，所有可能取值为，记P(X=k)=pk(k=1,2,⋯,M（1）若M=100,n=50,pk=1（2）（i）当n=2,3,…,M时，证明：（ii）根据历史销售数据，该水果每日需求量满足P(X=k)=C(45−|k−45|)，k

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得，所以，所以，所以.2.设复数z满足，则复数z的虚部是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：依题意，，所以复数z的虚部是.3.已知数列是等差数列，，则（）A. B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：，，4.已知点，，O为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：利用向量夹角的条件结合充分性和必要性的定义即可判断.解答过程：由和的夹角为锐角得且故“和的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件5.已知定义在上的函数满足，且，则（）A.是偶函数 B.的最小正周期是2C.关于点中心对称 D.是奇函数答案：A解析：解答过程：由，得，周期为2，但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误；由于周期为2，所以，，又，得，所以是偶函数，A正确；由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误；令，由是偶函数且，得，又，所以，所以为偶函数，D错误.6.如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算.解答过程：，又为中点，，.故选：B7.已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为（）A. B. C.3 D.答案：A解析：思路：过点作底面的射影，利用条件推理证明点为的中点，利用求出即得.解答过程：如图，过点作底面的射影，因，则点为的外心，又因，，故点为的中点，连接，则三棱锥的外接球的球心必在上，连接，则，，在中，，因平面，故球心到平面的距离为.故选：A.8.若函数，，则（）A.函数，的图象关于直线对称B.，使得C.若，则D.若，则答案：C解析：思路：根据函数图象的特点判断A；设，分析函数的单调性，求出函数的最值判断B；对于C，由同构结合函数的单调性可得，，可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求解判断即可；对于D，由同构结合函数的单调性可得，结合可得，进而判断即可.解答过程：对于A，当时，函数单调递增，且增长速度比快，，即在时的图象在上方；同理，当时，函数单调递增，且增长速度比快，，则在时的图象在上方，所以函数，的图象关于直线对称是不可能的，故A错误；对于B，设，，则，而在上单调递增，因为，，所以存在唯一的，使得，即，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，（因为，故不能取等号），则在上恒成立，故B错误；对于C，因为，，则，因为在上单调递增，且，所以，即，则，设，，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，故C正确；对于D，由C知，，因为在上单调递增，且，所以，又，则，故D错误.二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中，真命题的是（）A.一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小B.数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点C.若随机变量服从正态分布，，则D.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；答案：BD解析：思路：选项A：利用平均数公式计算新样本平均数，再利用方差公式分析方差变化；选项B：结合回归直线必过样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证是否为给定的点；选项C：结合正态分布关于均值对称，利用对称性求出和，再计算；选项D：将数据排序，再根据百分位数的计算规则确定位置，进而找到对应数值.解答过程：选项A，设原样本有个数据，原平均数，总和为；添加数据后，新总和为，新平均数，平均数不变.当原方差为0时，每个数据为3，由新增数据也为3，可知新方差；当原方差不为0时，原方差，新方差，方差变小，错误.选项B，原回归直线必过原样本中心点，代入，得原.原10个点总，总；去掉异常点后，新样本中心点：，，即新中心点为，回归直线必过样本中心点，正确.选项C，，正态曲线对称轴为，，则，由对称性得，因此：，错误.选项D，将数据从小到大排序：，共个数据，计算，不是整数，根据百分位数计算规则，向上取整得第个数据为第70百分位数，第6个数据，正确.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.B.点是函数的图象的对称中心C.函数在区间上是增函数D.将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为答案：ABD解析：思路：对A：根据函数的最大值，最小正周期，特殊点处的函数值，数形结合，即可求得函数解析式；对B：求得所有的对称中心的横坐标，再检验点是否满足即可；对C，根据的范围，求得的范围，再根据正弦函数的单调性，即可判断；对D，求得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求解即可.解答过程：对A：由图可知的最大值为，又，故；的最小正周期，又，故可得；又过点，由五点作图法可知，，故；故，A正确；对B：令，解得，当时，解得，故是函数的图象的对称中心，B正确；对C：当，，而在不单调，故C错误；对D：将函数的图象向右个单位后所得的函数解析式为，因为其为偶函数，故，解得，又，故当时，取得最小值为，故D正确.11.如图，在棱长为2的正方体中，P（与点不重合）是正方体侧面内的动点，下列说法正确的是（）A.平面平面B.若动点P到直线AB的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分C.当BP=13PD.线段AD绕旋转一周的过程中，AD与所成角的正切值的取值范围为答案：ABD解析：思路：对于A，连接，先证明平面，可得，同理可证平面，可得，进而得到平面，进而求证即可判断；对于B，先证明，结合题设可得点P到点B的距离等于它到直线的距离，再根据抛物线的定义即可判断；对于C，由向量关系找到点的位置，因为球心到截面的距离最大时，截面面积最小，所以为截面圆心，结合勾股定理求出得到截面圆半径，求得最小截面面积即可判断；对于D，旋转得到的圆锥与旋转轴夹角恒为，在正方体中求出角的正切值，从而找到旋转过程中形成的最大角和最小角，从而求出范围即可判断.解答过程：对于A，连接，在正方形中，，在正方体中，平面，∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，同理可证平面，∵平面，∴，又，平面，平面，∴平面，∵平面，所以平面平面，故A正确；对于B，在正方体中，平面，∵平面，∴，则点P到直线AB的距离，即为点P到点B的距离，由于点P到直线AB的距离等于它到直线的距离，∴点P到点B的距离等于它到直线的距离，又P（与点不重合）是正方体侧面内的动点，因此，根据抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线的一部分，故B正确；对于C，当BP=13PC1时，易知正方体的外接球的球心为正方体的中心，外接球的半径，设中点为，连接，则，易得，，则，若要截面面积最小，需球心到截面的距离最大，最大为OP，因此，截面面积最小为，故C错误；对于D，线段绕旋转一周后得到一个母线与旋转轴所成的角为的圆锥，设，，，在旋转过程中，与所成的角在如图所示的轴截面内分别取得最值，则，，所以在旋转过程中，与所成角的正切值的取值范围为，故D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______.答案：1解析：解答过程：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴.13.过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________.答案：解析：思路：求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而可求出的值，即可得答案.解答过程：由题意可得，所以直线的方程为，由，得或，不妨设，则，所以.14.如图，是等边内的动点，四边形是平行四边形，.则的最大值______.答案：2解析：思路：建立平面直角坐标系，设的边长为，Dcosα,sinα，，利用OA=OD=解答过程：以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，因为四边形是平行四边形，，则OA=OD=设的边长为，显然，，Ca2,32设Dcosα,sinα故cosα−a因为，所以，设，由OA=CD，OA所以OA=1+，因为，所以，显然当，即时，取得最大值，最大值为4.所以的最大值为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）求证：当时，1−12（2）利用（1）的结论，比较，，的大小.答案：（1）证明见下详解；（2）解析：思路：（1）分别构造两个函数，利用导数研究函数的单调性，即可对两个不等式作出证明；（2）利用（1）的结论，估计三角函数值并比较大小即可.解答过程：（1）解：设，，则，又，所以单调递增，即，所以在单调递增，因此，所以；再设，，则，，由，则，所以，则单调递减，所以，因此在单调递减，则，所以，即，因此，当时，1−12（2）由（1）知当时，1−12取，则，，又，所以，因此.16.在中，的平分线交边于点的外角平分线交直线于点.（1）证明BDDC（2）若BD=2,CD=1,答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）在、中分别对、应用正弦定理，结合是内角平分线的角度关系推得，同理在、中推得​，即可证；​（2）结合已知边长及（1）结论求出的长度，进而得到，再利用勾股定理计算得到的长.（1）已知平分，平分的外角，因此

即，在中：​，得，​在中：​，得，​因为，所以；又，故，所以；​同理，在中：，在中：，​，，故，又，所以；​因此​，原等式得证.（2）已知，，因此，由(1)得，解得，所以，又由（1）证明过程知，，所以，所以即的长为.17.把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AC=AB=3,∠DAC=30∘（1）若二面角为直二面角，求四面体外接球的表面积；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）通过将几何体补成长方体即可求解；（2）建系，设锐二面角的大小为，进而确定坐标，再结合线面夹角公式即可求解.（1）因为，则，即，因为二面角为直二面角，即平面平面，又，平面，平面平面，故平面，平面，所以，故两两互相垂直，将四面体放入长方体中，长、宽、高分别为，外接球直径等于长方体体对角线：，因此外接球表面积：.（2）以为坐标原点，分别为轴建系，设点在平面的投影为，连接，则平面，又平面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，则，平面，平面，则即为锐二面角的平面角，设，因为，所以，又所以，又，，，向量，，平面的一个法向量为，则令，则，则设直线与平面所成角为，则，即，平方后代入，整理得一元二次方程：，因为锐角，，解得.即锐二面角的余弦值为.18.已知双曲线：的离心率为2，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为.过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求直线的方程；（3）MNFT答案：（1）（2）（3）MNFT为定值，证明见解析解析：思路：（1）根据离心率及焦点到渐近线的距离求解即可.（2）设出直线方程及，，与双曲线方程联立，求出和，求出直线、方程，联立求出，同理求得，即