2025-2026学年宁夏永宁上游高级中学高一下学期月考（二）数学试卷-含解析

/数学分值:150分第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）A.与互为对立事件 B.C.与相等 D.与互斥3.在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（）A.250 B.220 C.30 D.204.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若则C.若，则 D.若，则5.已知，，与的夹角为，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.6.若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（）A.据的平均数为13 B.数据的方差为12C. D.7.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.8.如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数B.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“恰好摸出1个红球”，事件“恰好摸出2个红球”，则事件与事件是互斥事件C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是；D.样本的方差，则这组样本数据总和等于6010.已知事件发生的概率分别为，则（）A. B.C.若，则 D.一定有11.已知正方体，分别为，的中点，下列说法正确的是（）A.B.C.直线与直线所成角的大小为D.直线与平面所成角的大小为第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为_________．13.某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________.14.如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤.）15.如图，正方体的棱长为2.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.16.甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为．（1）求这组数据的分位数；（2）求这组数据的平均数和标准差；（3）求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比．参考数据：．17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；（2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围．18.为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰.（1）估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）；（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由.19.已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长.

数学分值:150分第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：利用复数的几何意义求解.解答过程：复数在复平面内对应的点的坐标为，故复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）A.与互为对立事件 B.C.与相等 D.与互斥答案：B解析：解答过程：由题意得，，.选项A，因为事件可能同时发生，即，所以不是对立事件，故A错误；选项B，，即B正确.选项C，第一枚硬币正面朝上并不能得到第二枚硬币反面朝上，二者相互独立，所以并不相等，故C错误.选项D，由A项知，即两者并不互斥，故D错误.3.在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（）A.250 B.220 C.30 D.20答案：B解析：思路：根据分层抽样的每层中抽取样本比例相同，列式计算即可.解答过程：设本科生抽取的人数为人，由分层抽样每层中抽取样本比例相同，可得，解得.故选：.4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若则C.若，则 D.若，则答案：D解析：思路：根据空间中直线与平面以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.解答过程：对于A,若，则或者相交或者异面，故A正确，对于B,若则或者，故B错误，对于C,若，则或者或者相交，故C错误，对于D,若，则,D正确，故选：D5.已知，，与的夹角为，则在上的投影向量是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据投影向量公式计算即可.解答过程：在上的投影向量为.故选：D.6.若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（）A.据的平均数为13 B.数据的方差为12C. D.答案：B解析：思路：由平均数以及方差计算公式可得，由平均数性质可得A正确，由方差性质计算可得B错误，计算易知C正确，结合平均数与方差公式计算可得D正确.解答过程：依题意可得；对于A，易知，即A正确；对于B，依题意，所以数据的方差为，即B错误；对于C，由可得，即C正确；对于D，由可得，‘即，可得，即D正确.故选：B7.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据题意，计算出，再根据向量的坐标运算法则计算出点P的坐标.解答过程：因为,所以，将向量顺时针方向旋转，即逆时针旋转，得到化简得，所以P点坐标为；故选：C.8.如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．解答过程：如下图所示，分别取棱，的中点、，连，，，，，分别为所在棱的中点，则，，，又平面，平面，平面.，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是侧面内一点，且平面，点必在线段上.在中，.同理，在中，可得，为等腰三角形.当点为中点时，，此时最短；点位于、处时，最长.，.线段长度的取值范围是.故选：C.方法提示：本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分.）9.下列说法正确的是（）A.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数B.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“恰好摸出1个红球”，事件“恰好摸出2个红球”，则事件与事件是互斥事件C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是；D.样本的方差，则这组样本数据总和等于60答案：BD解析：思路：A选项，根据频率分布直方图的特点可判断中位数与平均数位置，比较大小；B选项，根据互斥事件积事件概率为0的特点判断；C选项，利用古典概型的计算公式计算即可；D选项，根据平均值与数据个数计算数据总和．解答过程：根据频率分布直方图的特点，中位数在面积为0.5的分界点，而平均数则会偏移到长拖尾一边，故平均数比中位数大，A错误；事件“摸出一个红球，两个白球”；事件“摸出两个红球，一个白球”，，故两个事件为互斥事件，B正确；根据古典概型的计算公式可知概率为，C错误；由方差公式可知，共有20项，且平均数为3，故样本数据总和等于，D正确．10.已知事件发生的概率分别为，则（）A. B.C.若，则 D.一定有答案：AB解析：思路：对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断.解答过程：对于A：因为，故A正确；对B：因为，所以，所以.故B正确；对C：由，所以，所以C错误；对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误.故选：AB11.已知正方体，分别为，的中点，下列说法正确的是（）A.B.C.直线与直线所成角的大小为D.直线与平面所成角的大小为答案：BCD解析：思路：根据异面直线的定义可判断A；连接，取中点，设正方体的棱长为2，在中由余弦定理求出可判断B；设正方体的棱长为2，直线与直线所成的角即为，求出可判断C；连接、相交于点，利用线面垂直的判定定理得即为与平面所成的角，设正方体的棱长为2，求出可判断D.解答过程：对于A，因为平面，平面，，平面，所以与是异面直线，故A错误；对于B，连接，取中点，连接，可得，所以平面，设正方体的棱长为2，则，，，，由余弦定理得，所以，所以，故B正确；对于C，由B，，，所以，设正方体的棱长为2，所以直线与直线所成的角即为与直线所成的角，即为，因为，平面，所以，即直线与直线所成角的大小为，故C正确；对于D，连接，因为分别为，的中点，所以，连接、相交于点，则，因为平面，平面，所以，且，平面，所以平面，所以等于与平面所成的角，设正方体的棱长为2，则，，所以，，所以，所以与平面所成的角大小为，故D正确.故选：BCD.第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为_________．答案：解析：思路：利用对立事件的概率计算公式和独立事件的乘法公式即可得到答案.解答过程：设事件为院校A，B至少有一所被选择，则其对立事件为两人均选择院校，甲选择院校的概率为，乙选择院校的概率为，则甲乙同时选择院校的概率为，则.则院校A，B至少有一所被选择的概率为.故答案为：.13.某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________.答案：2.14解析：解答过程：由题意，总体的均值为，根据分层抽样的性质，则总体的方差为.14.如图，正三棱柱的底面边长为2，与平面所成角的大小为，则线段在平面内的射影长为______.答案：3解析：思路：取的中点为，连接，，证明平面，所以为与平面所成的角，在直角三角形中求解即可.解答过程：在正三棱柱中，设的中点为，连接，，平面，平面，所以，，，平面，平面，则平面，所以为线段在平面内的射影，为与平面所成的角，所以，所以在中，.故答案为：3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤.）15.如图，正方体的棱长为2.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）由线面平行的判定定理即可得证；（2）设，首先证明即为二面角的平面角，再由解三角形的知识求解即可得答案.（1）在正方体，且，∴为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵在正方形ABCD中，设，连接，∴，，∵中，，∴为等腰三角形，∴，∴即为二面角的平面角，∵在中，，∴，即二面角的正弦值为.16.甲机床一天内生产的零件的重量（单位：）从小到大为．（1）求这组数据的分位数；（2）求这组数据的平均数和标准差；（3）求零件重量位于和之间的个数及所占的百分比．参考数据：．答案：（1）10.5（2）10，（3）6个，解析：思路：（1）利用总体百分位数的估计求解分位数即可.（2）利用平均数公式求解平均数，利用标准差公式求解标准差即可.（3）结合题意求出和，再求出其中的零件个数和百分比即可.（1）因为，所以这组数据的分位数为．（2）由题意得，由标准差公式得．（3）由题意得，则零件重量位于和之间的有，共6个，可得所占的百分比是．17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A的大小；（2）已知，若A为钝角，求面积的取值范围．答案：（1）或；（2）解析：思路：（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出或；（2）由得到，故，以由（1）知，，且，由余弦定理，由基本不等式得，求出，得到面积的取值范围.（1）由正弦定理，，则有，因为在△ABC中，，所以化简得：，又，解得：或；（2）由得：，则，从而，因为A为钝角，所以由（1）知，，且，由余弦定理可得：，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，又b，c可以无限接近0，所以，从而，故△ABD面积的取值范围为．18.为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生有参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰.（1）估算这名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少（结果保留整数）；（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由.答案：（1）分（2）分（3）选择方案二，理由见解析解析：思路：（1）计算成绩大于或等于分的学生频率，再求频数即得结果；（2）根据组中值计算平均数；（3）分别计算两个方案进入复赛的概率，比较大小确定最终方案.（1）平均成绩为：因此该名学生平均成绩为分.