2025-2026学年江苏省盐城市响水县清源高级中学、滨海县东坎高级中学高二下学期期中考试数学试卷-含解析

/数学考试时间：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（）A.0 B. C. D.22.用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（）A.14 B.26 C.38 D.483.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知则（）A. B. C. D.6.已知空间中三点，，，则（）A.与是共线向量B.的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是7.某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（）A.105种 B.168种 C.210种 D.273种8.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的概率为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知离散型随机变量的分布列如下表所示:012则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.10.给出下列命题，其中正确的是（）A.向量，．若夹角为钝角，则实数t的取值范围为B.在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是C.平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2D.在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为11.已知，则（）A.B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边（可以不相邻），则所有不同排法的种数是________．13.计算______.14.在菱形中，，线段，的中点分别为，．现将沿对角线翻折，则异面直线与所成角的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在棱长为1的正方体中，P为的中点，，，分别是平面、平面平面ABCD的中心．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求的长．16.在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球.（1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；（2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值.17.有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）．（1）排成前后两排，前排3人，后排4人；（2）全体排成一排，女生必须站在一起；（3）全体排成一排，女生互不相邻；（4）全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾；18.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．（1）求证:;（2）求二面角的余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.甲､乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲､乙的概率各为.（1）已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；（2）求第2次答题的人是乙的概率；（3）求第次答题的人是甲的概率.

数学考试时间：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（）A.0 B. C. D.2答案：D解析：思路：利用空间中四点共面的推论可求的值.解答过程：由条件可知，四点共面，又因为，所以，解得，故选：D.2.用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（）A.14 B.26 C.38 D.48答案：C解析：思路：就3的使用次数分类讨论后可求解答过程：因为数字最多用次（其中），故至少出现1次.若出现次，则不同的四位数的个数为，若出现次，则1和2各出现1次，或2出现2次，则不同的四位数的个数为，若出现次，则必然1出现1次，2出现2次，则不同的四位数的个数为，故满足条件四位数的个数为，故选：C.3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由已知，正态曲线的对称轴是，由，可得，根据正态分布的对称性即可求得答案.解答过程：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是，则，又，所以，所以，故选：A.4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.解答过程：向量，，则，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.5.已知则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得.解答过程：由题知，，，，又，则.故选：C方法提示：关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得.6.已知空间中三点，，，则（）A.与是共线向量B.的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是答案：D解析：思路：根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.解答过程：对于A，由

，，，所以与不共线，所以A错误；对于B，的单位向量为，所以B错误；对于C，，所以，所以C错误；对于D，设平面的法向量是，则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确．故选：D7.某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（）A.105种 B.168种 C.210种 D.273种答案：D解析：思路：利用平均分组与不平均分组法计算可求得总的分组方法.解答过程：将10人平均分成两个组有种，其中3名女生在同一组的分法有，故将10人平均分成两个组，3名女生不在同一组的分法有种，将10人按一组4人，一组6人分成两个组有，其中3名女生在4人组中的分法有，其中3名女生在6人组中的分法有，故故将10人按一组4人，一组6人分成两个组，3名女生不在同一组的分法有种，综上所述：将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有.故选：D.8.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.解答过程：解：设这个球落入④号球槽为时间，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，所以.故选：D.方法提示：本题主要考查独立重复试验，属于基础题.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知离散型随机变量的分布列如下表所示:012则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误.解答过程：由题知，解得，所以选项A错误，选项B正确，对于选项C，，所以选项C正确，对于选项D，因为，所以选项D正确，故选：BCD.10.给出下列命题，其中正确的是（）A.向量，．若夹角为钝角，则实数t的取值范围为B.在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是C.平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2D.在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为答案：BD解析：思路：应用向量夹角为钝角列式计算判断A，应用点关于面对称判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，应用投影向量计算判断D.解答过程：向量，，若夹角为钝角，则且不共线，所以且，则实数t的取值范围为，A选项错误；在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是，B选项正确；平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，四边形为平行四边形，，又，，，，因为在空间四边形中，与成角，或，又，，当时，，，即此时两点间的距离为；当时，，，即此时两点间的距离为；综上所述：两点间的距离为或，C选项错误；在空间四边形ABCD中，，，则与的夹角为，则在上的投影向量为，D选项正确；11.已知，则（）A.B.C.D.答案：AC解析：思路：利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D.解答过程：A.的展开式中含的项为，所以，A正确；B.令，得，令，得，两式相加得，，B错误；C.令，得，所以，C正确；D.等式两边对求导得：，令，得，D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边（可以不相邻），则所有不同排法的种数是________．答案：72解析：思路：先从剩余的4人中任选2人，再对选出的4人进行全排列，结合对称性运算求解即可.解答过程：因为甲、乙必入选，则从剩余的4人中任选2人，可知不同的选法种数为，对选出的4人进行全排列，不同排法的种数为，且甲在乙左侧与甲在乙右侧的排列数相等，则符合甲在乙左边的不同排法的种数为，所以排法种数为.13.计算______.答案：35解析：思路：根据组合数的性质计算可得；解答过程：解：故答案为：方法提示：本题考查组合数的性质，属于中档题.14.在菱形中，，线段，的中点分别为，．现将沿对角线翻折，则异面直线与所成角的取值范围为______．答案：解析：思路：根据向量的线性运算，可得，进而利用夹角公式即可结合求解.解答过程：设菱形的边长为，则，，，，．因为,所以，所以，即，故异面直线与所成角的取值范围是．故答案为：方法提示：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在棱长为1的正方体中，P为的中点，，，分别是平面、平面平面ABCD的中心．（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求的长．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）应用空间向量法求出点的坐标，再应用向量垂直的坐标运算计算证明；（2）应用异面直线夹角余弦公式计算求解；（3）应用向量坐标模长公式计算求解.（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，；（2），，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为；（3），，．16.在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球.（1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列；（2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值.答案：（1）分布列见解析（2）分布列见解析，解析：思路：（1）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果；（1）若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为，取到小球的个数∴∴的分布列为0123（2）若每次抽取后都不放回，取到小球的个数服从超几何分布∴的分布列为012317.有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）．（1）排成前后两排，前排3人，后排4人；（2）全体排成一排，女生必须站在一起；（3）全体排成一排，女生互不相邻；（4）全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾；答案：（1）5040（2）720（3）1440（4）3720解析：思路：（1）应用排列数，全排列公式及分步乘法原理计算求解；（2）应用排列数，全排列公式及捆绑法计算求解；（3）应用排列数，全排列公式及插空法计算求解；（4）分类讨论甲的位置应用排列数及特殊位置优先计算求解；（1）先选3人站前排有种方法，余下4人站后排有种方法，共有（种）．（2）捆绑法，将3名女生看成一个整体有种，再与4名男生进行全排列有种，共有（种）．（3）插空法，先排男生，再在5个空位中插入3名女生，有种，所以共有（种）．（4）分为两种情况：①甲在排尾时有种，②甲不在排尾时有，从非甲乙5人中选1人排尾，甲从中间5个位置中安排一个，剩下5人排列，则种，所以共有（种）．18.如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点．（1）求证:;（2）求二面角的余弦值;（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）证明见解析；（2）；（3）在线段EC上存在点P,理由见解析.解析：思路：（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明．（2）推导出，，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且．解答过程：证明：Ⅰ，M是AB的中点，，平面平面ABCD，平面平面，平面ABE，平面ABCD，平面ABCD，解：（2）平面ABCD，，是正三角形，、MC、ME两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系则0，，0，，0，，，0，，，0，，设y，是平面BCE的一个法向量，则，令，得，轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一