2025-2026学年江苏省扬州市高一下学期期末调研数学试卷-含解析

/数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.（）A. B. C. D.2.若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（）A.平均数为3，方差为5 B.平均数为4，方差为11C.平均数为4，方差为12 D.平均数为3，方差为123.已知，则的取值范围为（）A. B. C. D.4.已知向量，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则6.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（）A. B. C. D.7.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（）A. B. C. D.8.已知正五边形内接于半径为2的圆，则（）A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列关于统计量的说法正确的有（）A.一组数据的众数唯一 B.一组数据的平均数唯一C.一组数据的第60百分位数唯一 D.一组数据的方差越大，数据波动越小10.已知，，，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.C.，，使得 D.的最大值为11.如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（）A.B.平面C.二面角的大小为D.若为线段上的一动点，则的最小值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知事件A，B相互独立，且，则_______．13.在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为_______．14.在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为_______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，，，，且．（1）求的值；（2）若，求的值．16.如图，正方体中，．（1）若点为棱的中点，求证：平面平面；（2）若点为线段上的动点（不包括端点），在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由．17.某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）：使用次数0次1次2次3次4次及以上频率0.1a0.3bc（1）求条形图中的频数m，n；（2）从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率；（3）若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差．18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求的值；（2）已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且．①若，求角的大小；②求面积的最大值．19.如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点G为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积；（3）已知为平面内过点的一条直线，交为，设．是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：应用两角差正弦公式计算求解.解答过程：.2.若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是（）A.平均数为3，方差为5 B.平均数为4，方差为11C.平均数为4，方差为12 D.平均数为3，方差为12答案：D解析：思路：根据给定条件，利用平均数、方差的定义列式求解.解答过程：由一组数据的平均数为2，方差为3，得，因此数据，，的平均数为，方差为.3.已知，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，已知，则，在上单调递减，故，即，．4.已知向量，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，在方向上的投影向量为：．5.已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：应用线面平行判断A，应用线面垂直判断D，应用面面平行判定B，应用面面垂直判定定理判断C.解答过程：若，，则可能在内，A选项错误；当，，不在内，不在内，满足，，但是不平行，B选项错误；若，则存在，又因为，所以，，则，C选项正确；若，不在内，不在内，满足，但是，D选项错误.6.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：在中，利用正，余弦定理计算即可.解答过程：由题意知，，在中，由余弦定理可知，所以.又由正弦定理可知，即，所以.7.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据给定条件，求出圆锥母线及轴截面等腰三角形底角正弦，再利用圆锥及其外接球的关系，结合正弦定理求解.解答过程：由圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，得该圆锥母线长为，令该圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，，由圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，得该圆锥轴截面等腰三角形外接圆为球的大圆，由正弦定理，球的半径等于.8.已知正五边形内接于半径为2的圆，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用向量数量积公式结合正五边形圆心角性质求解.解答过程：由题意可知，正五边形内接于圆，圆心角，，因为，，而，故，令，即，同时除以，即，因为代入上式得，解得，因为，所以，故，.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列关于统计量的说法正确的有（）A.一组数据的众数唯一 B.一组数据的平均数唯一C.一组数据的第60百分位数唯一 D.一组数据的方差越大，数据波动越小答案：BC解析：思路：根据众数、平均数、百分位数和方差的概念判断即可.解答过程：选项A：众数是一组数据中出现次数最多的数据值，可能有多个，故A错误；选项B：平均数是所有数据的总和除以数据的个数，故只有一个，B正确；选项C：一组数据的60百分位数是唯一的，当为整数时，60百分位数是第项和第项数据的平均值，当不为整数时，向上取整后的位置唯一，对应数据唯一，C正确；选项D：方差是衡量数据波动程度的量，方差越大，数据波动越大，D错误.10.已知，，，则下列说法正确的有（）A.若，则 B.C.，，使得 D.的最大值为答案：ABD解析：思路：根据题意，利用和、差的正弦公式将转化为，然后利用和、差的正切公式以及二倍角公式依次判断即可.解答过程：已知，，，由于，，所以，化简得，即，对于A，若，则，，由于，所以，解得，故A正确；对于B，由前面的推导可知，故B正确；对于C，假设存在，使得，代入等式，即，由于，所以，解得，由于，，矛盾，因此不存在，使得，故C错误；对于D，由于，所以，由于，，所以，根据基本不等式，，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，故D正确.11.如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有（）A.B.平面C.二面角的大小为D.若为线段上的一动点，则的最小值为答案：AB解析：思路：根据正四棱台的性质及面面垂直的判定和性质即可判断A；根据面面平行的判定及性质即可判断B；根据二面角平面角的定义即可判断C；根据正四棱台的性质，余弦定理即可判断D．解答过程：对于A，由正四棱台得，平面，底面为正方形，则，因为平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，因为分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，由正四棱台得，，则，又，所以，又点是中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故B正确；对于C，取中点，连接，则，，过点作底面，垂足为，则，二面角的平面角即为，由题可知，，，所以，所以二面角的大小不为，故C错误；对于D，，则，在等腰梯形中，过点作，垂足为，则，在中，，在中，，所以，在等腰梯形中，过点作，垂足为，已知，，，，所以，所以，在中，，则，所以，由题得，将展开在同一平面，则点关于对称，当点共线时，最小，如图所示，此时，，在中，，所以，所以的最小值为，故D错误．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知事件A，B相互独立，且，则_______．答案：0.16解析：思路：根据对立事件及相互独立事件的乘法公式计算即可.解答过程：因为事件A，B相互独立，所以事件也相互独立.因为，所以所以.13.在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为_______．答案：解析：解答过程：由，可知E在线段上，且，在平行四边形中，，由，结合已知，得，故.14.在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为_______．答案：解析：思路：利用正弦定理求解，先求解，再取倒数.解答过程：设，由，故，在由正弦定理得，在由正弦定理得，，可得，分别在，，由正弦定理得，所以，同理可得，所以，在中，由正弦定理，得，所以，所以.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，，，，且．（1）求的值；（2）若，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量共线建立方程，再根据三角恒等变换化简求值；（2）结合同角三角函数基本关系式求解，，再根据两角差的正弦展开公式求解.（1），，且，，即，整理得，所以；（2）由，，可得，即，则，解得，，，，则，，．16.如图，正方体中，．（1）若点为棱的中点，求证：平面平面；（2）若点为线段上的动点（不包括端点），在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由．答案：（1）如图，连接，，．正方体，四边形为正方形，平面，平面，且，平面，，平面.，平面，.设正方体的棱长为2，则，，，由勾股定理得，，，，.（方法一），平面，，平面，平面平面平面.（方法二）由得二面角的大小为，所以平面平面.（2）如图，连接，过点作交于，则为平面与正方体上表面的交线．正方体，平面平面，且，∴四边形为平行四边形，，平面平面，平面平面，，.解析：思路：（1）连接，，，根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理及勾股定理得，（方法一）利用线面垂直判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（方法二）利用二面角平面角为证明面面垂直．（2）过点作交于，利用面面平行的性质定理证明即可.（1）略（2）略17.某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）：使用次数0次1次2次3次4次及以上频率0.1a0.3bc（1）求条形图中的频数m，n；（2）从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率；（3）若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据频率计算频数即可；（2）先利用分层抽样求得使用自行车1次的居民有人，使用2次的居民人，然后利用古典概型概率公式求解即可；（3）根据分层方差公式求解即可.（1）由题意，总人数为50，0次频数：；2次频数：；3次频数：；4次及以上频数：3；所以1次频数：；（2）用分层抽样法抽取的5人中，使用自行车1次的居民有人，记为，，使用2次的居民有人，记为，，．记“2人使用次数不同”为事件，样本点表示“抽取的两人为，”，则样本空间：，共10种，其中，共6种，所以，；（3）记30名男性样本为，平均数为，方差为；记20名女性样本为，平均数为，方差为；所有样本的总平均数为，方差为，样本容量为50．（次），则.18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求的值；（2）已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且．①若，求角的大小；②求面积的最大值．答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1），先对已知边角关系式子变形，因为式子同时有边和角的余弦，所以用正弦定理将边转化为对应角的正弦，再利用三角恒等变换化简，结合三角形内角和定理，得到边的比例关系，求出的值；（2）①由（1）得，结合为的中点，得，利用正弦定理推出