初中数学七年级上册“有理数的乘法（第一课时）”教案

初中数学七年级上册“有理数的乘法（第一课时）”教案

一、设计理念与理论依据

本课设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养为导向，立足于“数与运算”主题的整体性与一致性，致力于超越单一技能训练，引导学生建构对有理数乘法意义的深度理解。设计遵循“情境—问题—探究—概括—应用—反思”的认知路径，贯彻以下核心理念：

1.数学化与再创造原则：借鉴弗赖登塔尔的数学教育思想，为学生创设接近其经验世界的现实与数学情境，引导其通过自主活动，将情境“数学化”，亲身“再创造”出有理数的乘法法则，实现从“算法操作”到“意义理解”的升华。

2.概念发展的连续性：有理数乘法是小学非负整数、小数、分数乘法运算的自然延伸，也是后续学习代数式运算、函数等知识的基础。本设计着力于打通这一脉络，帮助学生构建连贯的、结构化的知识体系。

3.核心素养的深度融合：

1.4.抽象能力：从具体实例中抽象出符号规律，形成一般法则。

2.5.运算能力：在理解算理的基础上，掌握算法，并能合理、简洁地运算。

3.6.推理意识：通过观察、归纳、类比、验证等逻辑活动，发展合情推理与初步的演绎推理能力。

7.学习科学的实践应用：依据认知负荷理论，通过结构化的问题序列和可视化工具（如数轴、面积模型），降低外在认知负荷，增加相关认知负荷，促进图式建构。运用社会建构主义理论，强调合作探究与对话在知识生成中的关键作用。

二、教材与学情分析

（一）教材分析

“有理数的乘法”位于北师大版七年级上册第二章“有理数及其运算”第7节。本章是学生从小学算术迈向初中代数的关键桥梁。此前，学生已学习了有理数的概念、数轴、相反数、绝对值及有理数的加减法，初步建立了符号意识。乘法运算作为四则运算的核心，其法则的探索与确立，不仅是运算技能的扩充，更是对“运算律适用范围扩展”、“运算意义深化”的深刻体现。教材通常通过“水位变化”、“温度变化”或“运动方向”等情境引入负数相乘，意在渗透“负负得正”的现实合理性。然而，仅凭单一情境的直观类比尚不足以支撑严密的数学理解。因此，本设计将整合多种模型（连续变化模型、相反数模型、归纳模式模型），多角度、多层次地揭示法则的本质。

（二）学情分析

七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。

1.认知基础：熟练掌握非负数的乘法运算，理解乘法的“相同加数求和”与“面积”等基本意义；初步掌握了有理数的概念、数轴表示法及加减法法则，对“符号”和“绝对值”有了基本认知。

2.认知障碍与生长点：

1.3.障碍1：意义理解的断层。学生难以将“负数”自然地纳入已有的乘法意义框架。“一个负数乘以一个正数”尚可理解为“多次欠债”等进行牵强类比，但“负数乘以负数”则彻底脱离其日常生活经验，容易导致机械记忆法则。

2.4.障碍2：符号处理的混淆。在加减法中刚建立的“同号相加取原号，异号相减看大小”的符号规则，可能与乘法中“同号得正，异号得负”的新规则产生冲突和混淆。

3.5.生长点：学生具备一定的观察、归纳能力和合作探究的意愿。他们对“规律”有好奇心，乐于挑战认知冲突。通过精心设计的有序探究活动，能够引导他们基于数学内部的逻辑一致性（如运算律的保持、模式的延续），主动建构对新法则的认同与理解。

三、学习目标

基于以上分析，确立本课时的三维学习目标如下：

1.知识与技能

1.经历探索有理数乘法法则的过程，理解有理数乘法法则的合理性。

2.掌握有理数乘法法则，能准确、熟练地进行两个有理数的乘法运算。

3.初步理解倒数的概念，能求一个非零有理数的倒数。

2.过程与方法

1.在探索法则的过程中，体验从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。

2.学会运用观察、归纳、类比、验证等多种方法发现数学规律。

3.尝试运用数轴、算式序列等工具分析和解决问题。

3.情感、态度与价值观

1.感受数学知识之间的普遍联系和逻辑的严谨性，体会法则规定的合理性。

2.在克服认知困难、发现数学规律的过程中，获得成功的体验，增强学习数学的信心和兴趣。

3.养成独立思考、合作交流、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

四、教学重难点

1.教学重点：有理数乘法法则的探索、归纳与应用。

2.教学难点：理解“负数乘以负数得正”的算理，即“负负得正”的合理性。

突破策略：采用“多重模型诠释、逻辑一致性驱动”的策略。通过设计循序渐进的探究活动，让学生在观察算式中发现模式，在现实情境中感受意义，在保持运算律的要求下理解规定的必然性，从而多维度、全方位地攻克难点。

五、教学策略与方法

1.主导策略：启发式讲授与引导探究相结合。

2.主要方法：

1.3.情境创设法：创设“水库水位匀速变化”的连贯情境，贯穿探究始终。

2.4.探究发现法：设计环环相扣的探究问题链，引导学生自主发现规律。

3.5.合作讨论法：在关键难点处组织小组讨论，促进思维碰撞与观点分享。

4.6.讲练结合法：在理解法则后，通过层次分明的练习进行巩固和内化。

7.技术支撑：动态几何软件（如GeoGebra）演示数轴上的点运动，增强直观性；交互式白板呈现学生探究成果，便于对比分析。

六、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含情境动画、探究表格、例题习题）、GeoGebra动态演示文件、小组探究任务卡、课堂反馈器（可选）。

2.学生准备：复习有理数的概念、绝对值及加减法法则；预习课本相关内容；准备练习本、作图工具。

七、教学过程设计与实施（详细展开）

第一阶段：创设情境，孕伏冲突——感知“方向”与“时间”的运算（约8分钟）

1.情境导入，激活旧知

教师呈现动态情境：“某水库水文站为了监测水位变化，规定水位上升为正，下降为负；时间以后为正，以前为负。已知当前（0时刻）水位记为0点。”

1.问题1：如果水位以每小时上升2厘米的速度匀速变化，那么3小时后的水位比现在高多少？如何列式计算？

1.2.学生活动：快速回答：2×3=6（厘米）。复习乘法作为“相同加数求和”的意义：2+2+2=6。

2.3.教师引导：这里的“2”表示上升速度（正），“3”表示未来时间（正），结果“6”表示上升量（正）。我们可以写成：(+2)×(+3)=+6。

4.问题2：如果水位以每小时下降2厘米的速度匀速变化，那么3小时后的水位比现在低多少？如何列式？

1.5.学生活动：尝试列式。可能产生分歧：(-2)×3或2×(-3)？教师引导关注“速度”与“时间”的对应。速度是下降2cm/h，即-2；时间是未来3h，即+3。列式：(-2)×(+3)。

2.6.意义探讨：这个式子是什么意思？引导学生将“(-2)×(+3)”理解为“3个-2相加”，即(-2)+(-2)+(-2)=-6。得出：(-2)×(+3)=-6。

3.7.数轴验证：在数轴上从原点开始，连续向左（负方向）移动3次，每次移动2个单位，终点在-6。

2.引发冲突，提出问题

1.问题3（关键设问）：接上，如果水位仍以每小时下降2厘米的速度（-2cm/h）变化，那么3小时前的水位比现在高还是低？高（或低）多少？你能尝试用一个算式表示这个关系吗？

1.2.学生独立思考与初步表达：这是本课第一个思维引爆点。学生基于生活直觉可能判断“3小时前水位更高”。但如何列式？时间“以前”应用负数表示，即-3小时。速度是-2。算式应为：(-2)×(-3)。

2.3.认知冲突：(-2)×(-3)等于多少？它还能用“几个几相加”来解释吗？“-3个-2相加”没有现实意义。学生陷入困惑，原有乘法意义模型面临挑战。

3.4.教师揭示课题：“这就是我们今天要攻克的核心问题：有理数的乘法，特别是当两个负数相乘时，结果应该是什么？为什么？”

【设计意图】从一个连贯、可扩展的现实情境出发，使有理数乘法的各种情况（正正、负正）自然引出，并复习乘法基本意义。在情境中巧妙嵌入“负负”相乘的物理背景（过去时间的反向变化），制造强烈的认知冲突，激发学生内在的学习动机和探究欲望，明确本课的核心问题。

第二阶段：多维探究，建构法则——揭秘“负负得正”（约22分钟）

这是本节课的核心环节，通过三个层层递进的探究活动，引导学生从不同角度发现并理解法则。

探究活动一：模式归纳——发现“符号”的规律

教师将前面得到和可能想到的算式，以结构化表格呈现：

算式

积

因数的符号特征

积的符号

积的绝对值

(+2)×(+3)=+6

+6

同为正

正

2×3=6

(-2)×(+3)=-6

-6

一负一正

负

2×3=6

(+2)×(-3)=?

?

一正一负

?

2×3=6

(-2)×(-3)=?

?

同为负

?

2×3=6

1.任务1（独立完成）：请根据前两行算式呈现的规律，猜测后两行算式的结果，并填写表格中的“？”部分。

2.学生活动：观察、思考、填写。大多数学生能根据“符号似乎交替变化”的模式，猜测出：(+2)×(-3)=-6，(-2)×(-3)=+6。

3.教师追问：你发现的关于“积的符号”和“积的绝对值”的规律是什么？

4.学生归纳（初步）：

1.5.积的绝对值等于两个因数绝对值的积。

2.6.符号：同号得正，异号得负。

7.教师板书学生发现的规律（暂时作为猜想）。

探究活动二：情境回溯——验证“负负”的合理性

回到“水库水位”情境。

1.问题：我们猜(-2)×(-3)=+6。这个“+6”在情境中是什么意思？（水位比现在高6厘米）这和我们之前“3小时前水位更高”的直觉一致吗？（一致）

2.动态演示与解释：教师用GeoGebra动画演示：一个点以每秒-2单位的速度（向左）在数轴上运动。

1.3.时间+3秒后，它在-6处。对应(-2)×(+3)=-6。

2.4.现在倒放动画，观察时间-3秒时（即3秒前），这个点在哪里？它在+6处！因为如果从现在（原点）倒回去看，点是从左向右（正方向）运动回3秒前的位置。这直观说明了(-2)×(-3)=+6。

5.意义赋予：“负”的速度乘以“负”的时间，可以理解为“向相反方向考察过去的状态”，结果体现了“与现在相比的反向变化量”，因此为正。

探究活动三：逻辑一致性论证——理解规定的必然性（数学内部视角）

这是从数学本身逻辑进行深度理解的环节，是提升思维严谨性的关键。

1.教师提出：数学不仅要看模式和情境，还要保证运算系统内部的和谐统一。我们学过加法运算律，乘法也应满足分配律。让我们用它来检验我们的猜想是否合理。

2.逻辑推导：

1.3.考虑一个具有挑战性的算式：(-2)×(3+(-3))。

2.4.根据乘法对加法的分配律：(-2)×(3+(-3))=(-2)×3+(-2)×(-3)。

3.5.另一方面，括号内3+(-3)=0。所以原式=(-2)×0=0。

4.6.因此，(-2)×3+(-2)×(-3)=0。

5.7.我们已经知道(-2)×3=-6，代入上式：-6+(-2)×(-3)=0。

6.8.请问，(-2)×(-3)必须等于多少，才能使上式成立？

9.学生活动：计算、回答：必须等于+6。因为-6+6=0。

10.教师总结：看，为了保持我们喜爱的、有用的分配律在有理数范围内依然成立，必须规定(-2)×(-3)=+6。这不是随意的规定，而是数学内部逻辑一致性的必然要求！

【设计意图】本环节采用“猜想—验证—论证”的科学研究范式。活动一从已有算式模式进行归纳，获得直观猜想，是合情推理。活动二回到初始情境，借助数轴动画进行直观验证，赋予猜想现实意义，化解理解障碍。活动三引入分配律进行逻辑论证，从数学内部公理体系的高度揭示法则规定的必然性与合理性，将学生的思维从感性经验提升到理性思辨，深刻体会数学的严谨与和谐。三重探究，立体化地攻克了“负负得正”这一核心难点。

第三阶段：归纳概括，形成法则（约5分钟）

1.学生完整表述：请结合以上所有探究，用精炼的语言总结有理数的乘法法则。

2.学生尝试归纳，师生共同完善，形成最终法则：

有理数乘法法则：

1.3.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2.4.任何数与0相乘，积仍为0。

5.教师板书：完整、规范地板书法则。

6.概念明晰：

1.7.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数。例如，因为(-2)×(-1/2)=1，所以-2和-1/2互为倒数。强调：0没有倒数。

2.8.步骤强调：进行有理数乘法运算时，应先确定积的符号，再计算绝对值。

【设计意图】在充分探究的基础上，由学生自主归纳法则，实现知识的主动建构。教师的角色是组织者、完善者和规范者。明确倒数的概念，为后续学习除法做准备。强调运算步骤，培养良好的运算习惯。

第四阶段：分层应用，巩固内化（约8分钟）

设计层次分明、题型多样的练习，促进法则的理解与应用。

层次一：基础辨识与计算（巩固法则）

1.口答下列各式的符号：

1.2.(+5)×(+7)(答：正)

2.3.(-3)×(-6)(答：正)

3.4.(-4)×(+9)(答：负)

4.5.(+2)×(-8)(答：负)

6.计算：

1.7.(-6)×4

2.8.5×(-0.8)

3.9.(-3/4)×(-2/3)（引入分数，强调先定号，再约分）

4.10.0×(-2019)

5.11.(-1)×237（体会“-1”的作用）

层次二：概念理解与应用（深化认识）

3.写出下列各数的倒数：5,-8,1/2,-2/3,1,-1。

4.已知|a|=3，|b|=5，且a×b<0，求a+b的值。

（本题综合绝对值、乘法符号法则和加法，提升思维层次）

层次三：简单实际应用（回归情境）

5.某种股票本周内每股的涨跌情况（元）如下：+0.3，-0.1，-0.5，+0.2，-0.4。如果小王在上周末持有1000股，那么本周五收盘时他的股票市值变化了多少？（假设股价初始为a元/股，只计算变化量：1000×(+0.3-0.1-0.5+0.2-0.4)=1000×(-0.5)=-500元）

【设计意图】练习设计遵循“循序渐进、关注差异、联系实际”的原则。层次一快速巩固运算技能，确保全体学生掌握基本法则。层次二深化对倒数和符号法则的理解，并进行简单的综合，满足学有余力学生的需求。层次三将数学回归生活，体会其应用价值。教师巡视指导，针对共性问题及时点评。

第五阶段：课堂小结，反思提升（约2分钟）

1.学生自主总结：通过今天的学习，你收获了哪些知识？你最大的感悟或体会是什么？

2.教师提炼升华：

1.3.知识线：我们经历了“现实问题→数学算式→归纳猜想→多重验证→逻辑论证→形成法则→应用巩固”的完整过程，掌握了有理数乘法法则。

2.4.思想线：我们运用了从特殊到一般、数形结合、逻辑推理等数学思想方法。

3.5.感悟点：“负负得正”不是空中楼阁，它源于现实模型，成于模式归纳，固于数学逻辑。数学的规定往往是为了保持系统的简洁、和谐与强大。

6.布置作业：

1.7.必做题：课本课后练习相应部分。

2.8.选做题/探究题：尝试用“温度变化”、“运动方向与时间”等其他情境来解释有理数乘法法则。

3.9.预习思考：有理数的乘法满足哪些运算律？和小学学过的有什么异同？

【设计意图】通过学生自评与教师总结相结合的方式，梳理本节课的知识结构与思维脉络，将零散的知识点整合成有序的认知网络。强调探究过程和数学思想，促进元认知发展。分层作业尊重个体差异，预习思考为下节课铺垫。

八、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.观察评价：在探究活动中，观察学生的参与度、思维活跃度、合作交流情况，评价其探究能力和合作精神。

2.3.提问评价：通过阶梯式的问题链，诊断学生对概念的理解层次和思维过程。

3.4.练习评价：通过课堂练习的完成速度与准确率，即时反馈学生对运算技能的掌握情况。

5.终结性评价：通过课后作业和后续单元测试，综合评价知识技能的掌握水平。

6.评价量表（简要）：

评价维度

优秀

良好

需努力

法则理解

能清晰阐述法则来源及合理性

能正确表述并初步理解合理性

仅能记忆法则，理解模糊

运算能力

准确、熟练进行运算，步骤规范

运算基本准确，偶有符号错误

运算错误较多，步骤混乱

探究参与

积极思考，主动提出见解，有效合作

能跟随探究，完成分配任务

参与度低，依赖他人

思维表达

能有条理地表达思考过程，逻辑清晰

能表达主要观点，逻辑基本清楚

表达困难，逻辑不清

九、板书设计

主板书（左侧）：

§2.7有理数的乘法（一）

一、法则探究

情境：水位变化(速度×时间)

1.(+2)×(+3)=+6(同号)

2.(-2)×(+3)=-6(异号)

3.(+2)×(-3)=-6(猜想→验证)

4.(-2)×(-3)=+6(猜想→情境验证→分配律论证)

二