小学四年级数学上册（北师大版）核心知识清单：参观花圃（第2课时）-除数是两位数的除法（试商与调商）

小学四年级数学上册（北师大版）核心知识清单：参观花圃（第2课时）——除数是两位数的除法（试商与调商）一、核心素养导向的课时目标解读本课时“参观花圃”是北师大版小学数学四年级上册第六单元“除法”的核心内容，是在学生掌握了除数是整十数的除法基础上，将除数扩展到任意的两位数。本节课不是简单的计算技能训练，而是承载着发展学生数感、运算能力和推理意识的关键载体。教学目标的确立必须超越“会算”的层面，上升到“理解算理、掌握算法、灵活试商”的思维高度。【核心目标1】★【基础】理解并掌握“四舍五入”法试商的数学原理。能够根据除数的个位数字，将其看作与之接近的整十数（用“四舍”法或“五入”法），从而快速定位初商。这是本节课的知识基点，也是后续所有计算活动的逻辑起点。【核心目标2】★【难点】【高频考点】经历探索“调商”过程，理解“初商”可能偏大或偏小的算理，并能根据运算结果进行正确调整。具体表现为：用“四舍”法试商，除数看小，初商易偏大，需调小；用“五入”法试商，除数看大，初商易偏小，需调大。这是本课时教学的重中之重，是衡量学生是否真正掌握除法计算精髓的分水岭。【核心目标3】【重要】能够规范、熟练地笔算除数是两位数（商是一位数或两位数）的除法，掌握“一看（除数是几位数）、二试（用四舍五入法试商）、三乘（用原除数乘商）、四减（求余数）、五比（余数与除数比大小）”的计算程序。并能运用除法解决简单的实际问题，在问题解决中检验计算的正确性，培养验算习惯。二、知识体系建构与核心概念辨析（一）算理深化：从“估算”到“试商”的思维跨越第1课时学生已经初步感知了将除数看作整十数进行估算。第2课时则要求将此估算过程内化为一种系统的、有意识的“试商”策略。这里的核心转变在于：估算的结果（如154÷22≈7）不再仅仅是一个近似值，而是成为精确计算的第一步——试探性的商（初商）。教师需要引导学生建立“估算服务于精算”的观念，理解“试商”本质上是一种有根据的猜测，而这种猜测需要根据精确计算的结果进行验证和修正。（二）算法建模：除数是两位数除法的通用计算程序无论除数是否接近整十数，无论商是一位数还是两位数，其计算程序具有高度的一致性。这一程序必须模型化、步骤化，深植于学生的认知结构中，形成自动化技能。1.【非常重要】确定商的位数：先看被除数的前两位。如果前两位大于或等于除数，则商是两位数（如856÷34）；如果前两位小于除数，则商是一位数（如154÷22，120÷18）。这是防止计算中漏掉商中间或末尾“0”的前提。2.【核心步骤】试商：用“四舍五入”法把除数看作整十数，利用乘法口诀想这个整十数乘以几最接近被除数（或被除数的前几位）。3.【验证与修正】乘减比：用试出的初商与原除数相乘。如果乘积小于等于被除数，且余数小于除数，则商合适；如果乘积大于被除数（说明商偏大），或余数大于等于除数（说明商偏小），则需要调商。4.【书写规范】除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。每次除得的余数必须比除数小。（三）【难点】调商的本质是“补偿”与“回归”调商是本节课最核心的思维活动，其本质是对“四舍五入”法带来的误差进行补偿。1.四舍法调商（除数看小，商易大）：原理：例如，计算154÷22，将22看作20（四舍），20比原除数小。用20试商时，商7（20×7=140）。但实际要用原除数22乘7，22×7=154，正好。但若将23看作20试商154÷23，20×7=140，试商7，但23×7=161，161＞154，说明初商7偏大。为什么？因为除数被看小了，商就有可能被估大。此时需要将商调小，改商6，23×6=138，=16，余数16<23，正确。结论：【重要】用“四舍”法试商，初商可能偏大，需要将初商调小后再试。2.五入法调商（除数看大，商易小）：原理：例如，计算120÷18，将18看作20（五入），20比原除数大。用20试商，20×6=120，试商6，用原除数18×6=108，=12，余数12<18，正确。但若计算197÷28，将28看作30，30×6=180，30×7=210太大，试商6，但28×6=168，=29，余数29>28，说明初商6偏小。为什么？因为除数被看大了，商就有可能被估小。此时需要将商调大，改商7，28×7=196，=1，余数1<28，正确。结论：【重要】用“五入”法试商，初商可能偏小，需要将初商调大后再试。三、典型例题深度解析与考点透视（一）【高频考点】商是一位数，用“四舍”法试商且无需调商例1：室内培育22种花，共154盆，每种花的盆数相同，每种花各有多少盆？（154÷22）【考查方式】直接给出情境列式，或直接给出算式计算。【解题步骤】1.定商位：被除数154的前两位“15”＜除数22，所以商是一位数。2.试商：将除数22用“四舍”法看作20。想20×7=140，20×8=160（太大），所以初商定为7。3.计算：用原除数22乘7，22×7=154，与被除数相等。4.作答：154÷22=7（盆）。【解答要点】重点展示试商过程，明确“把22看作20”。此处无需调商，是基础巩固题。【易错点】部分学生可能直接口算22×7=154，跳过了“看作整十数”的思维过程，不利于后续复杂题目的学习。（二）【高频考点】【重点】商是一位数，用“五入”法试商且需调商例2：园艺师要用120盆花布置广场，每个图案用18盆花，可以组成几个图案？还剩几盆花？（120÷18）【考查方式】情境应用题，考察学生处理有余数除法的能力。【解题步骤】1.定商位：被除数前两位“12”＜除数18，商是一位数。2.试商：将除数18用“五入”法看作20。想20×6=120，所以初商为6。3.计算与判断：用原除数18乘6，18×6=108。=12。4.比较：余数12＜除数18，说明商6合适。5.作答：120÷18=6（个）……12（盆）。【思维延伸】如果此题改为“197÷28”，则需要展示调商过程：初商6（28×6=168），余数29＞28，说明商6偏小，需调大为7。（三）【难点】【挑战】商是两位数，涉及连续调商或商中间、末尾有0的情况例3：计算856÷34和600÷29。【考查方式】直接列竖式计算，考察计算程序的完整性和对特殊情况的处理能力。【解题步骤】（以856÷34为例）1.定商位：被除数前两位“85”＞除数34，商是两位数。2.第一次试商：将34看作30，试除85。30×2=60，30×3=90（太大），初商2。用34×2=68，8568=17。余数17＜34，第一次商2合适。3.落下下一位：将个位上的6落下来，组成新的被除数176。4.第二次试商：将34看作30，试除176。30×5=150，30×6=180（稍大，但接近），初商5。用34×5=170，=6。余数6＜34，第二次商5合适。5.结果：856÷34=25……6。【特殊考点】（600÷29）1.定商位：前两位60＞29，商是两位数。2.第一次试商：将29看作30，试除60。初商2，29×2=58，6058=2。3.关键一步：落下个位0，组成20。20＜29，不够除。4.商0占位：在个位上商0。5.结果：600÷29=20……20。【解答要点】必须强调“除到哪一位不够商1，就在那一位上商0”。这是极易出错的高频考点。四、计算法则与策略优化（一）【非常重要】除数是两位数除法试商口诀除数两位看两位，两位不够看三位。除到哪位商哪位，不够商1就商0。每次除后要比较，余数要比除数小。四舍五入来试商，初商偏大要调小（四舍），初商偏小要调大（五入）。（二）【解题技巧】灵活试商的策略除了基本的“四舍五入”法，还可以引导学生根据数据特点，发展更为灵活的试商技巧，提升运算速度。1.同头无除商八、九：当被除数和除数的最高位相同（同头），且被除数的前两位比除数小（无除）时，商通常可以试8或9。例如，312÷39，被除数前两位31小于39，且最高位都是3，可以大胆试商8或9。2.除数折半商四、五：当被除数的前两位（或前三位）正好是除数的一半左右时，商可以试4或5。例如，330÷68，被除数前两位33约是除数68的一半，可以试商5。（三）验算意识的培养1.无余数除法：商×除数=被除数。2.有余数除法：商×除数+余数=被除数。3.【重要】估算验算：在精确计算前进行估算，可以对计算结果的范围有一个预判，避免出现离错误。例如，856÷34，估算约等于850÷30≈28，实际结果25……6，在合理范围内。五、易错点深度剖析与教学警示【易错点1】商的位置写错现象：如计算856÷34，用85除以34，商2，却把2写在百位上。归因：对数位的意义理解不清，没有理解“除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面”。85中的5在十位上，表示85个十，除以34得到2个十，所以2应该写在十位上。对策：强化“数位对齐”的概念，在竖式中用不同颜色的笔标出每一次除法的被除数部分和对应的商的位置。【易错点2】【高频易错】忽略余数必须比除数小现象：在调商环节，计算出28×6=168，=29，直接写结果197÷28=6……29。归因：机械执行计算程序，缺乏对结果合理性的反思，没有进行最后的“比大小”环节。对策：将“余数VS除数”作为计算流程中强制性的最后一步，养成习惯。发现余数≥除数，立即启动调商程序。【易错点3】“五入”法试商后，乘法计算仍用整十数现象：如计算197÷28，把28看作30试商6后，在竖式中计算30×6=180，导致计算错误。归因：混淆了“试商”与“计算”的角色。试商是寻找可能商的过程，可以用整十数估算；但一旦确定了商，必须用题目中的原除数进行精确乘减。对策：强调“试商看大数，相乘用原数”。在竖式板书中，明确标注：试商时心里想的是30×6，但写下来的乘法必须是28×6。【易错点4】商中间或末尾的0漏写现象：计算600÷29，得到商2余2，然后直接认为结果是2。归因：对“0占位”的作用理解不足，当某一位不够除时，不知道必须用0来占据这个数位。对策：从“位值制”的高度进行讲解。600÷29，我们先用60个十除以29，得到2个十，商写在十位上，余2个十。然后我们把2个十看成20个一，除以29，不够除，那么个位上就没有，必须用0来占位。所以20后面的单位是“个一”，即20个一，也就是20。六、跨学科融合与实际应用（一）与语文学科的融合在解决“参观花圃”的实际问题时，可以让学生先阅读理解题目，找出关键数学信息（总数、每份数、份数），并用自己的语言复述题意。这不仅是数学问题解决，更是语文阅读理解和信息筛选能力的培养。（二）与科学学科的融合结合植物生长规律，创设问题情境。例如：“一棵树苗30元，学校绿化带预算450元，最多可以买多少棵树苗？如果每排种15棵，可以种几排？”将除法计算与植树问题、排列问题相结合，体会数学在规划与设计中的应用。（三）【实践拓展】生活中的数学1.购物预算：妈妈带了300元去超市，牛肉每斤42元，大约能买几斤？先估算，再精确计算。如果买7斤，钱够吗？还差多少？2.班级活动：春游租车，全班42人，每辆车限乘18人，需要租几辆车？这涉及“进一法”取近似值，是对除法知识的深化应用。3.阅读统计：一本故事书共216页，小明计划每天看24页，几天能看完？如果实际每天看了18页，需要多看几天？考察学生对数量关系的理解。七、思维进阶与挑战（供学有余力者探索）【思考1】为什么“四舍”法试商，商容易偏大？为什么“五入”法试商，商容易偏小？你能用自己的话解释其中的道理吗？【解析】这是一种反向关联。当我们把除数“四舍”变小后，意味着我们用一个比实际小的数去试商，那么被除数里可以容纳更多个这个“小除数”，所以估出的商容易偏大。反之，“五入”把除数变大，被除数里能容纳的“大除数”的个数自然就少，所以商容易偏小。【思考2】如果不计算，你能快速判断下面这道题需要调商吗？272÷34。【解析】将34看作30试商9，但9×34=306，306＞272，说明初商9偏大，需要调商为8。如果不计算，可以通过估算：30×9=270，非常接近272，但原除数是34，比30大，34×9肯定比30×9大，所以34×9肯定大于270，很可能大于272，因此需要调小。【挑战题】在算式“3□2÷34”中，要使商是一位数且不需要调商，□里可以填哪些数字？要使商是一位数但需要把商调小，□里可以填哪些数字？【解析】这是一道考查逆向思维和综合理解的好题。1.商是一位数，说明被除数的前两位“3□”＜34，所以□里可以填0、1、2、3。2.不需要调商，意味着用“四舍五入”法试出的初商就是准确的。将34看作30。当被除数为32□时，前两位32，30×？最接近32？30×1=30，商1。用34×1=34，34＞32□？这里需要具体分析。更严谨的方法是，不需要调商，即用原除数34乘试出的商，结果不大于被除数且余数小于除数。这需要逐一验证，对学生要求较高，但能极大锻炼其数感和推理能力。八、考点归纳与命题趋势【基础必考点】1.直接写出得数：如180÷60=，420÷70=。2.估算：如721÷89