《离散数学》平时作业-2026年秋季华南理工大学网络教育学院

《离散数学》平时作业课程名称：离散数学年级/专业：2026级计算机科学与技术（网络教育）姓名：[请在此处填写]学号：[请在此处填写]提交日期：[请在此处填写]---作业说明1.本次作业旨在帮助同学们巩固课堂所学的离散数学基础知识，检验对核心概念的理解与应用能力。2.请独立完成作业，严禁抄袭。如遇疑问，可与授课教师或同学讨论，但最终答案需体现个人思考。3.作业需手写或电子录入后提交，要求字迹清晰、排版整洁。若为手写，请注意扫描或拍照的清晰度。4.请在规定时间内提交，逾期提交将酌情扣分。---一、命题逻辑（共40分）1.（10分）将下列自然语言命题符号化，并指出其真值（假设当前语境下相关事实明确）。(1)张三学习努力且李四不喜欢唱歌。(2)或者明天不下雨，或者我们取消野餐；除非天气转晴。(3)如果2是偶数，那么3是奇数；反之亦然。(4)并非所有的鸟都会飞。（提示：使用量词）2.（10分）已知命题公式G=¬(P→Q)∨(R∧¬P)。(1)构造公式G的真值表。(2)根据真值表判断公式G的类型（重言式、矛盾式或可满足式）。(3)求出公式G的主析取范式和主合取范式（如果存在）。3.（10分）使用等值演算法证明下列等值式，并注明每一步所用的等值式名称。(1)(P→Q)∧(P→R)⇔P→(Q∧R)(2)¬(P↔Q)⇔(P∨Q)∧¬(P∧Q)4.（10分）构造下列推理的自然推理证明，要求写出前提、结论及推理过程，并注明每一步所用的推理规则。(1)前提：P∨Q,P→¬R,S→T,¬S→R,¬T结论：Q(2)如果今天是星期一，则要进行英语或数学考试；如果英语老师有会，则不考英语；今天是星期一，并且英语老师有会。所以今天考数学。（请先将命题符号化，再进行证明）---二、集合论初步（共30分）5.（8分）设全集U={a,b,c,d,e,f}，集合A={a,c,e}，B={b,c,d,f}，C={a,b,f}。求：(1)A∪(B∩C)(2)(A⊕B)-C（其中⊕表示对称差）(3)P(A)中元素的个数，并列出P(A)中所有元素（若A元素较多，可只列出部分关键元素示意）。6.（10分）设A={1,2,3,4}，R是A上的二元关系，定义为：R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>}(1)写出R的关系矩阵MR。(2)画出R的关系图。(3)判断R是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，并简述理由。(4)R是否为等价关系？若是，求出其所有等价类。7.（12分）设函数f:A→B和g:B→C，其中A={a,b,c},B={1,2,3},C={x,y,z}。f(a)=2,f(b)=3,f(c)=1;g(1)=x,g(2)=y,g(3)=z。(1)求复合函数g∘f，并判断其是否为单射、满射或双射。(2)判断f和g是否存在逆函数，并说明理由。若存在，写出其逆函数。(3)举例说明，若f和g均为满射，则g∘f也为满射。---三、证明与分析题（共30分）8.（15分）证明题：(1)证明：对于任意集合A,B,C，有(A∪B)∩C⊆A∪(B∩C)。(2)设R是集合A上的二元关系，证明：R是对称的当且仅当R=R⁻¹。(3)证明：在任何简单无向图中，度数为奇数的顶点个数必为偶数。（提示：使用握手定理）9.（15分）分析题：(1)某班有学生50人，其中30人喜欢篮球，25人喜欢足球，18人喜欢排球。有10人既喜欢篮球又喜欢足球，8人既喜欢篮球又喜欢排球，5人既喜欢足球又喜欢排球，还有4人三种球都喜欢。问：有多少人三种球都不喜欢？（请使用容斥原理求解，并写出详细步骤）(2)设A={1,2,3,4}，请给出A上的一个关系R，使其同时具有自反性、反对称性，但不具有传递性，并简要说明理由。(3)简述“命题”与“谓词”的联系与区别，并各举一个例子说明。---作业提交要求1.请将所有题目的解答过程写