全等三角形的提高拓展训练经典题型50题

全等三角形的提高拓展训练经典题型50题全等三角形是平面几何的入门与基石，其概念、性质与判定方法贯穿于整个初中乃至高中的几何学习。掌握全等三角形，不仅意味着能熟练运用那几条判定定理，更重要的是培养观察图形、分析条件、构造辅助线以及逻辑推理的能力。这份经典题型50题，旨在帮助同学们在夯实基础之上，进一步提升解决复杂问题的能力，领略几何证明的精妙与乐趣。以下题目按常见辅助线添加方法与解题思路进行分类，希望同学们能举一反三，触类旁通。每道题后附有简要思路点拨，建议先独立思考，若遇瓶颈再参考提示，之后务必自行完整书写证明过程，方能真正内化。一、倍长中线（类中线）与中点相关辅助线1.题目：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，且AF=EF。求证：AC=BE。*思路点拨：延长AD至点G，使DG=AD，连接BG。考虑证明△ADC≌△GDB，将AC转化为BG，再结合AF=EF，寻找角之间的关系，证明BE=BG。2.题目：在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：DE=DF。*思路点拨：欲证DE=DF，可考虑证明它们所在的三角形全等。连接AD，由AB=AC及D为BC中点，可得AD是∠BAC的平分线，或利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF。3.题目：已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F。求证：BE=CF=(AB+AC)/2。*思路点拨：延长FM至N，使MN=FM，连接BN。可证△BMN≌△CMF，得BN=CF。再利用AD∥ME及AD平分∠BAC的条件，证明∠E=∠BNE，从而BE=BN，进而得出结论。4.题目：在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线交于点F。求证：AB+CF=AF。*思路点拨：延长AE交DF的延长线于点G。由AB∥CD及E为BC中点，易证△ABE≌△GCE，得AB=CG。再利用角平分线条件∠BAE=∠EAF=∠G，证明AF=FG，从而AF=FG=FC+CG=FC+AB。5.题目：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，P是BC上任意一点，且PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：DE=DF且DE⊥DF。*思路点拨：连接AD。由等腰直角三角形“三线合一”性质，AD=BD=CD，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°。可尝试证明△ADE≌△CDF（或△BDE≌△ADF），通过全等性质证得DE=DF，再通过角的计算证明∠EDF=90°。二、截长补短与线段和差倍分6.题目：已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求证：AB+BD=AC。*思路点拨：“截长法”：在AC上截取AE=AB，连接DE。证明△ABD≌△AED，得BD=DE，∠B=∠AED。再利用∠B=2∠C，证得∠EDC=∠C，从而EC=DE=BD，故AC=AE+EC=AB+BD。或“补短法”：延长AB至F，使BF=BD，连接DF，证明△AFD≌△ACD。7.题目：如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且∠EAF=45°。求证：EF=BE+DF。*思路点拨：延长CB至G，使BG=DF，连接AG。易证△ABG≌△ADF（SAS），得AG=AF，∠BAG=∠DAF。从而∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF。再证△GAE≌△FAE（SAS），得EF=EG=BE+BG=BE+DF。8.题目：已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AC边上，且BD=CE，AD与BE相交于点F。求证：∠AFE=60°。*思路点拨：先证明△ABD≌△BCE（SAS），得∠BAD=∠CBE。再利用三角形外角性质，∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°。本题虽不直接是截长补短，但涉及等边三角形中线段相等及角度计算，是后续复杂模型的基础。9.题目：在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求证：CD=AB+BD。*思路点拨：“截长法”：在CD上截取DE=BD，连接AE。则AD垂直平分BE，故AB=AE，∠B=∠AEB。再由∠B=2∠C，∠AEB=∠C+∠EAC，可得∠C=∠EAC，故AE=EC=AB。因此CD=CE+ED=AB+BD。10.题目：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在BA的延长线上，且BD=2AC。求证：CD平分∠ACB。*思路点拨：过点C作CE⊥CD交BD于点E。构造等腰直角△CDE（∠DCE=90°）。可证△ACE≌△BCD（需仔细分析角度关系和边的关系，利用已知BD=2AC及AC=BC=AE等条件），从而得出∠ACD=∠BCE，再证∠ACD=45°，即平分∠ACB。或“补短法”：延长AC至F，使CF=AC，连接BF，证明△ACD≌△FBC。三、角平分线的性质与判定及辅助线11.题目：已知AD是△ABC的角平分线，且BD=CD，求证：AB=AC。*思路点拨：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。利用角平分线性质得DE=DF。再证明Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），得∠B=∠C，故AB=AC。本题也可反证法或倍长中线，但利用角平分线性质作垂线是最直接的思路。12.题目：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE交BE的延长线于D。求证：CD=BE/2。*思路点拨：延长CD交BA的延长线于F。易证△BDF≌△BDC（ASA），得CD=DF=CF/2。再证明△ABE≌△ACF（ASA或AAS），得BE=CF，故CD=BE/2。“角平分线+垂线，延垂构成等腰边”是常见辅助线。13.题目：已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。*思路点拨：过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，PG⊥AC于G。根据角平分线的性质定理，点P在∠ABC的外角平分线上，故PE=PF；点P在∠ACB的外角平分线上，故PF=PG。从而PE=PF=PG。14.题目：如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。*思路点拨：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E，DF⊥BC于F。由BD平分∠ABC，得DE=DF。再证Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），得∠EAD=∠C。因为∠EAD+∠BAD=180°，所以∠BAD+∠C=180°。15.题目：已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB>AC，点E在AD上，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，连接FB、GC。求证：FB=GC。*思路点拨：由AD平分∠BAC及EF⊥AB，EG⊥AC，得EF=EG，AF=AG。再证明Rt△AFE≌Rt△AGE（HL）。要证FB=GC，可考虑证明△BFE≌△CGE。已有EF=EG，需证BE=CE或∠EBF=∠ECG。连接EB、EC，由AD是角平分线及AB>AC，可通过面积法或全等间接证明EB=EC（或利用角平分线性质和已知条件构造全等）。四、利用“一线三垂直”模型构造全等16.题目：如图，在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a²-4a+b²-8b+20=0。若点C在第一象限，且AC⊥BC，AC=BC，求点C的坐标。*思路点拨：首先配方求出a=2，b=4，即A（0，2），B（4，0）。过点C分别作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E。易证∠ACD=∠BCE（同角的余角相等），结合AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，可证△ACD≌△BCE（AAS）。设C（m，n），则CD=OE=m，CE=OD=n，AD=n-2，BE=4-m。由全等性质AD=BE，CD=CE（或OD=OE？需仔细对应），得方程组求解。17.题目：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过点C，且AD⊥l于D，BE⊥l于E。求证：DE=AD-BE（或DE=|AD-BE|，取决于直线l的位置）。*思路点拨：证明△ADC≌△CEB（AAS或ASA）。因为∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，所以∠CAD=∠BCE。又AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°。若D、E在点C两侧，则DE=AD+BE；若在同侧，则DE=|AD-BE|。18.题目：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F。求证：PE=PF，AE=CF，BE=AF，S四边形AEPF=S△ABC/2。*思路点拨：连接AP。AP为等腰直角△ABC斜边上的中线，故AP=BP=CP，AP⊥BC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C。可证△AEP≌△CFP（ASA或SAS），从而得出PE=PF，AE=CF，进而BE=AB-AE=AC-CF=AF。四边形AEPF面积等于△AEP+△AFP=△CFP+△AFP=△APC=S△ABC/2。19.题目：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D在AC上，AF⊥BD于F，CE⊥BD交BD的延长线于E。求证：EF=CE-AF。*思路点拨：证明△AFB≌△BEC（AAS）。∠ABF+∠EBC=90°，∠EBC+∠BCE=90°，故∠ABF=∠BCE。AB=BC，∠AFB=∠BEC=90°，所以AF=BE，BF=CE。因此EF=BF-BE=CE-AF。五、手拉手模型与旋转型全等20.题目：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形。求证：AN=BM，∠NOB=60°（O为AN与BM的交点）。*思路点拨：证明△ACN≌△MCB（SAS）。AC=MC，CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°+∠MCN。从而AN=BM，∠CAN=∠CMB。∠NOB=∠OAB+∠OBA=∠CMB+∠MBC=∠ACM=60°（三角形外角性质）。21.题目：在上题中，若连接DE（D、E分别为AN、BM的中点），求证：△CDE是等边三角形。*思路点拨：由上题△ACN≌△MCB，可得AN=BM，∠CAN=∠CMB。D、E为中点，则AD=ME。证明△ACD≌△MCE（SAS），得CD=CE，∠ACD=∠MCE。∠DCE=∠DCM+∠MCE=∠DCM+∠ACD=∠ACM=60°，故△CDE是等边三角形。22.题目：已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE交于点F。求证：BD=CE，BD⊥CE。*思路点拨：证明△ABD≌△ACE（SAS）。AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE。故BD=CE，∠ABD=∠ACE。∠BFC=∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠ACB+∠ACE=∠FBC+∠ACB+∠ABD=∠ABC+∠ACB=90°，即BD⊥CE。23.题目：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P是△ABC内部一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。*思路点拨：将△BPC绕点C顺时针旋转90°得到△AP'C。连接PP'。则CP=CP'=2，∠PCP'=90°，P'A=PB=1。△PP'C是等腰直角三角形，PP'=2√2，∠PP'C=45°。在△APP'中，AP'=1，PP'=2√2，AP=3。满足1²+(2√2)²=3²，故∠AP'P=90°。∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=135°，即∠BPC=∠AP'C=135°。六、综合应用与探究（以下题目将不再细分具体方法，强调多种知识的综合运用和解题技巧的灵活选择）24.题目：在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，延长AD、BC分别交EF的延长线于G、H。求证：∠AGE=∠BHE。*思路点拨：连接AC，取AC中点M，连接EM、FM。利用三角形中位线定理，EM平行且等于BC/2，FM平行且等于AD/2。由AD=BC，得EM=FM，∠MEF=∠MFE。再由平行线性质，∠MEF=∠BHE，∠MFE=∠AGE，故∠AGE=∠BHE。25.题目：已知△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D。求证：AD+BD=BC。*