高考数学一轮复习 课后习题 课时规范练19　利用导数研究函数的极值、最值（黑龙江版）

课时规范练19利用导数研究函数的极值、最值(分值:71分)(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)基础巩固练1.(2025·吉林长春模拟)函数f(x)=x+2cosx在区间[0,π2]上的最大值为(A.π2 B.C.π6+3 D.2.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知x=1是函数f(x)=(ax2+3x-3)ex的极值点,则函数f(x)的极小值为()A.-3 B.-e C.0 D.e3.(多选题)(2025·海南海口模拟)f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,其导函数f'(x)的图象如图所示,则在区间[a,b]内,下列选项正确的是()A.函数f(x)有三个极值点B.函数f(x)的单调递增区间为(x1,x5)C.函数f(x)的最大值可能为f(x5)D.函数f(x)的最小值可能为f(a)4.(2025·上海模拟)已知函数f(x)=lnx-ax-2在区间(1,2)内存在最大值,则实数a的取值范围是.

5.(15分)(2025·安徽黄山一模)已知函数f(x)=12x2-alnx-12a(1)当a=1时,求函数f(x)在12,(2)若f(x)有极值且极小值大于0,求a的取值范围.综合提升练6.(2025·河北张家口二模)已知正三棱柱的表面积为63,则当其体积取得最大值时,该三棱柱的高为()A.3 B.233 C.4337.(2025·江西南昌一模)我们约定:若两个函数的极值点个数相同,并且图象从左到右看,极大值点和极小值点分布的顺序相同,则称这两个函数的图象“相似”.已知f(x)=ex-12ex2+(x-1)2,则下列给出的函数其图象与y=f(x)的图象“相似”的是(A.y=x2 B.y=-x2C.y=x3-3x D.y=-x3+3x8.(2026·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=exx+lnx-x-m,g(x)=-2x3+6x+1,若对任意的x1∈[12,1],总存在x2∈[1e,e2],使得f(x2)≤g(x1),则实数m的取值范围是9.(15分)(2025·河北石家庄一模)已知函数f(x)=e2x-ax,a∈R.(1)讨论y=f(x)的极值点个数;(2)若存在实数b,使得x轴为曲线g(x)=f(x)-b的切线,求b的最大值.创新应用练10.(2025·山东日照模拟)若定义在D上的函数f(x),对于任意x1,x2,x3∈D,f(x1),f(x2),f(x3)可以作为一个三角形的三条边长,则称f(x)是D上的“三角形函数”.已知函数f(x)=xlnx+t是定义在区间1e2,e2上的“三角形函数”,则tA.(2e2+2e,+∞) B.(2e2+1e,+C.(2e+1e,+∞) D.(e+1e,+

参考答案1.C解析f'(x)=1-2sinx,x∈[0,π2],令f'(x)>0,解得0≤x<π6,令f'(x)<0,解得π6<x≤π2,所以函数f(x)在[0,π6)内单调递增,在(π6,π2]内单调递减,所以f(x)的极大值也是最大值为f2.A解析函数f(x)的定义域为R,f'(x)=(ax2+2ax+3x)ex,由x=1是函数f(x)的极值点,得f'(1)=(3a+3)e=0,解得a=-1,则有函数f(x)=(-x2+3x-3)ex,f'(x)=(-x2+x)ex=-x(x-1)ex,当x<0或x>1时,f'(x)<0;当0<x<1时,f'(x)>0,所以函数f(x)的极小值为f(0)=-3.故选A.3.BC解析由题目中的图象可知,当a<x<x1,或x5<x<b时,f'(x)<0,当x1<x<x5时,f'(x)≥0,所以函数f(x)的单调递减区间为(a,x1),(x5,b),单调递增区间为(x1,x5),所以函数f(x)只有两个极值点,A错误;函数f(x)的单调递增区间为(x1,x5),B正确;函数f(x)的最大值可能为f(x5),C正确;因为函数f(x)在[a,x1]上单调递减,则f(x1)<f(a),故函数f(x)的最小值不可能为f(a),D错误.故选BC.4.(12,1)解析由f(x)=lnx-ax-2,得f'(x)=1x当a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递增,不符合题意;当a>0时,令f'(x)>0,得0<x<1a;令f'(x)<0,得x>1a.所以f(x)在0,1a内单调递增,在1a,+∞内单调递减,所以f(x)在x=1a处取得极大值,所以1<1a<2,则a5.解(1)当a=1时,f(x)=12x2-lnx-12,则f'(x)=x-1x=x2-1x,x>0,由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,可得0<x<1,所以f(x所以f(x)min=f(1)=0.因为f(3)=4-ln3,f12=ln2-3又4-ln3-ln2-38=4+38-ln所以f(3)>f12,所以f(x)max=f所以f(x)在区间[12,3]上的最大值为4-ln3,最小值为0(2)f'(x)=x-ax=x2当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,+∞)内单调递增,无极值;当a>0时,由f'(x)=0,得x=a,当0<x<a时,f'(x)<0,f(x)在(0,a)内单调递减,当x>a时,f'(x)>0,f(x)在(a,+∞)内单调递增,所以当x=a时,f(x)有极小值,极小值为f(a)=12a(1-lna-a2)由f(a)=12a(1-lna-a2)>0,得1-lna-a2>0令F(a)=1-lna-a2,a>0,则F'(a)=-1a-2a<0,所以函数F(a)在(0,+∞)内单调递减,又F(1)=由F(a)>F(1),得a<1,则0<a<1.综上,a的取值范围是(0,1).6.B解析设正三棱柱的底面边长为a,高为h,则其表面积S=2×34a2+3ah=63,得h=12-a223a,又h>0,所以0<a<23,故正三棱柱的体积V(a)=34a2h=12a-a38,则V'(a)=32-38a2,当2<a<23时,V'(a)<0,V(a)单调递减,所以当a=2时,该正三棱柱体积取得最大值,此时三棱柱的高为233.7.C解析由f(x)=ex-12ex2+(x-1)2,得f'(x)=ex-ex+2x-2,则f'(1)=0.令f'(x)=0,则ex=(e-2)x+2如图,作出函数y=ex,y=(e-2)x+2的大致图象.由图可知函数y=ex,y=(e-2)x+2的图象有两个交点,即函数y=f'(x)有两个零点1,x0,且x0<0.令f'(x)>0,则x>1或x<x0,令f'(x)<0,则x0<x<1,所以f(x)在(-∞,x0),(1,+∞)内单调递增,在(x0,1)内单调递减,所以f(x)的极大值点为x0,极小值点为1.对于A,函数y=x2在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,所以函数有极小值点,无极大值点,故A不符合题意;对于B,函数y=-x2在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,所以函数有极大值点,无极小值点,故B不符合题意;对于C,y'=3x2-3,当x<-1或x>1时,y'=3x2-3>0,当-1<x<1时,y'=3x2-3<0,所以函数y=x3-3x的极大值点为-1,极小值点为1,故C符合题意;对于D,y=-x3+3x=-(x3-3x),则函数y=-x3+3x的极小值点为-1,极大值点为1,故D不符合题意.故选C.8.[e-194,+∞)解析由题意得,f(x)min≤g(x)min其中f(x)min是f(x)在[1e,e2]上的最小值,g(x)min是g(x)在[12,1]由f(x)=exx+lnx-x-m,x∈[1e,e则f'(x)=(x-1)e设h(x)=ex-x,x∈[1e,e2]则h'(x)=ex-1>0,所以函数h(x)在[1e,e2]上单调递增,则h(x)≥h(1e)=e令f'(x)<0,得1e≤x<1,令f'(x)>0,得1<x≤e所以函数f(x)在区间[1e,1)内单调递减,在区间(1,e2]上单调递增所以f(x)min=f(1)=e-1-m.由g(x)=-2x3+6x+1,x∈[12,1],则g'(x)=-6x2+6=-6(x+1)(x-所以函数g(x)在区间[12,1]上单调递增,则g(x)min=g(12)=154,由f(x)min≤g(x)min,得e-1-m≤154,即所以m的取值范围是[e-194,+∞)9.解(1)由题意得f'(x)=2e2x-a.若a≤0,则f'(x)>0,y=f(x)在R上单调递增,无极值点;若a>0,令2e2x-a=0,得x=12lna2,由于f'(x)=2e2x-a是增函数,所以当x∈-∞,12lna2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈12lna2,+∞时,f'(x)>0,f(综上,当a≤0时,y=f(x)无极值点;当a>0时,y=f(x)有唯一极小值点,无极大值点.(2)设切点为(x0,g(x0)),由(1)知a>0,因为x轴为曲线y=g(x)的切线,则g'(x0)=0,g(x0)=0,即2解得x令h(a)=a2-a2lna2,则h'(a)=12-(12ln当a∈(0,2)时,h'(a)>0,h(a)单调递增,当a∈(2,+∞)时,h'(a)<0,h(a)单调递减,故a=2是h(a)=a2-a2故h(a)≤h(2)=1,所以b的最大值为1.10.A解析由题意知f'(x)=lnx+1,令f'(x)=lnx+1>0,得1