八年级数学下学期期中学情自测-拔尖卷（北师大版第1章-第4章）

八年级数学下学期期中学情自测•拔尖卷

【新教材北师大版】

时间：120分钟满分：120分测试范围：第1章三角形的证明及其应用~第4章因式分解

姓名：班级：考号：

考卷信息：

本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟.本卷题型针对性较高，根盖

面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（24-25八年级下•陕西西安•期中）如图，在△ABC中，乙B=乙（：,AB=25,BC=14,4D平分NB4C交

BC于点D,。七14。于点£则DE的长为（）

A.6B.—C.7D.8

25

2.若关于x的不等式组｛右二/；，的所有整数解的和是18,则m的取值范围是（）

A.2<m<3B.2<m<3

C.2<m<3或一3<m<-2D.2<m<3

3.（25-26八年级上•河北石家庄•期中）若a是整数，则-a一定能被整数「（k是一位整数）整除,整数k的

最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

4.（25-26八年级上•浙江绍兴・期末）如图，在△A8C中，AB=10,AC=6,BC=8；。为8c上一点，连

接/D,把△4BC沿力0折叠，使4B落在直线4C上，则重叠部分（羽影部分）的面积为（）

A.8B.9C.10D.12

5.已知关于x、y的方程组卜：；；；二解都为正数，且满足Q+b=5,b>0,z=2a-3b,fflz

的取值范围是（）

A.-5<z<10B.5<z<10C.-5<z<8D.-5<z<5

6.（25-26八年级上•山东泰安・期末）如图所示,在一ABC中,AB=4,BC=6,Z-B=60°,将△48C沿射

线BC的方向平移，得到△4夕厂，再将△4夕C'绕点4逆时针旋转一定角度，点夕恰好与点C重合，则平移

A.2,30°B.1,30°C,2,60°D.1,60°

7.小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息a-儿x-3,%+3,a+b,x2-9,

Q2-〃分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将（/—^^—（/一叼/因式分解，结果呈现

的密码信息可能是（）

A.我爱美B.德州游C.我爱德州D.美我德州

8.（25-26八年级上•江西赣州•期末）如图，在四边形48co中，AB=AD=12,BC=DC,LA=60°,点

E在力D上，连接8D,CE相交于点八CEWAB.若CE=7,则CF的长为（）

A.4B,3.5C.2D.1

9.（25-26八年级上•河南南阳・期末）如图，长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm,。是BC边的中点,

在长方体下底面的点4处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点。处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最

A.12cmB.V365cmC.V221cmD.15cm

10.（25-26八年级上•湖南长沙•期末）如图，在△力8c中（4C＞乙4BC）,4和471BC的平分线力E,8r相

交于点。，AE交BC于E,BF交AC于F,过点。作0。18c于。，下列结论：①若A8=BC,^\LAFB=90°：

©LAOB=90°+^C；③若OD=a,AB+BC+CA=b,则SABC=：Q从其中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

"•计算：（10）（1-）（1_3（1-同…（1_专）（1-壶”--------

12.如图，已知△48C为等边三角形，BD为中线,延长BC至点E,使CE=6/）=1,连接DE,则8E=

13.（25-26九年级下.河南商丘・月考）如图，矩形48CD的边力8在工轴上，且过原点，连接。C.将△。"沿

15.（25-26八年级上•广东江门・月考）如图，点。在直线［上，点八在直线矽卜.若直线I上有一点P使得△APO

为等腰三角形，则满足条件的点P位置有一个.

.A

OP

16.（25-26八年级上•山东济宁•月考）如图,点。是等边△48C内一点,DA=8,B5=10,CD=6,则乙4。。

的度数是.

BAC

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25八年级下•四川达州•期中）如图，在RS4BC中,ZC=90°,将绕着点5逆时针

旋转得到△F8E,点C,A的对应点分别为七，F.点七落在84上，连接4户.

（1）若/B4c=40。,求心B4F的度数;

（2）若AC=8,BC=6,求的长.

18.（6分）（25-26八年级上•重庆・开学考试）某学校为改善办学条件，计划采购八、8两种型号的空调，

已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元：4台A型空调和5台3型空调，共需费用35000

元.

（1）求A型空调和3型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A、8型号空调共40台，且A型空调的台数不少于8型空调的一半，两种型号空调的采

购总费用不超过152000元，该校共有哪几种采购方案？

19.（8分）如图，△力BC是等边三角形，。为BC边延长线上一点，CE平分乙4CD,CE=BD.

（1）求证：Z-BAD=£.CAEx

⑵判别△力。E是什么特殊三角形？并说明理由.

20.(8分)(25-26八年级上•山西晋中•期末)某社区计划在健身活动区安装照明设施.社区内有两个健身

活动区A和8,它们之间的距离AB为250米.社区小路AC紧邻活动区，计划在小路AC上选一点E安装总电

箱，并由此分别铺设地下电缆到A和&勘测人员测得点E到直线/W的垂线段E尸的长度为⑵米，且线段

BE的长度为150米.规划示意图如下.

(I)请计算从电箱安装点£到健身区A需要铺设的电缆£4的长度.

(2)判断线段8E的长度是否是健身区8到小路AC的最短距离？并说明你的理由.

21.(10分)我们定义：如果两人一元•次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”,

其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式，，.

(1)不等式x-5>0x-5<0的“同根不等式“(填“是”或“不是”)

不等式x-1>01-x<。的“同根不等式“(填“是”或“不是”).

(2)若关于x的不等式％+2m>0不是弱-l<x+5的“同根不等式”，求根的取值范围；

(3)若QH0,关于％的不等式:％+。>3与不等式QX—QW0互为“同根不等式”.直接写出Q的取值范围.

22.(10分)(25-26八年级上•四川泸州•期末)已知是等边三角形，点。是AC的中点，点E在射线

8c上，点厂在线段48上，LFDE=120°.

(1)如图I，若点尸与点8重合，

①求证：CD=CE：

②当△力8。的面积为S时，用含S的代数式表示△OCE的面积.

(2)如图2,若点E在线段8C上，当48=8时，求AF+CE的值.

23.(12分)25-26八年级上•黑龙江齐齐哈尔・期末)“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过

恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分

解.

例如：x2+4%-5=x2+4x+22-22-5=(x+2)2-9=(^+2)2-32=(x+2+3)(%+2-3)=

(%+5)(x-1).

(I)运用配方法将多项式进行因式分解：X2-6X-7；

(2)试说明多项式/一8x+17的值总是一个正数；

(3)当％=,多项式/+6x-2有最小值，且最小值为.

24.(12分)(25-26八年级上.百林长春.期末)在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,请

在给定网格中按下列要求画图并回答问题：

示例：比较/+3与的大小

如图①，在正方形网格中作△(?尸。，使0P=&，PQ=3,0Q=",

•••在AOPQ中，OP+PQ>0Q,

:啦+3><17.

图①图②图③

(1)参考示例的方法，在图②中构造图形，比较&+m与VTU,并说明理由；

(2)如图③，点A、B、C、。均在格点上，点M是AB上任意一点，若满足MC+MC取最小值，在图③中画

出点M(保留作图痕迹)，直接写出MC+MD的值为:若连接AC、AD,直接写出乙。/8+乙C4B的

度数为.

八年级数学下学期期中学情自测•拔尖卷

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参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分)

I.(24-25八年级下•陕西西安•期中)如图，在△48C中，ZF=zC,AB=25,BC=14,40平分交

BC于点D,DEIAC于点E,则DE的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.由等腰三角形

的性质可得力。_L8C,由勾股定理即可求出力。的长度，最后用面积法求得DE的长.

【详解】解：•••乙8=乙。，力5=25,BC=14,4。平分4821c交8C于点。，

-AD18c且点。是BC的中点，

：zADB=90°,BD=CD=\BC=7,

MD=7AB2-BD?=V252-72=24,

:SADC=-CD=1x24x7=84,

•:DE1AC,

0ADC=14c.0E=3x25.OE=84,

2.若关于x的不等式组「弓二器的所有整数解的和是18,则m的取值范围是（）

A.2<m<3B.2<m<3

C.2<m<3或—3<m<-2D.2<m<3

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，利用含m的式子表示出来,

根据整数解的和就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关的不等式，从而求出m的范围.

【详解】解：解不等式组偌二卷“得7n<%W6,

•••不等式组的所有整数解的和是18,

•••不等式组的整数解为6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、-1、-2,

•••2<m<3或一3Wm<-2,

故选：c.

3.（25・26八年级上.河北石家庄•期中）若a是整数,则M一。一定能被整数上（々是一位整数）整除,整数k的

最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】本题考查因式分解的应用，先将a?-。因式分解为三个连续整数的乘积，利用连续整数的性质可得

结论.掌握因式分解的方法及三个连续整数的积必能被6整除是偶数是解题的关键.

【详解】解：；a3-a=a（a2-1）=a（a-l）（a+1）,a是整数，

••.a,a-1,Q+1为三个连续整数，其中必有2的倍数和3的倍数，

•••a（a-l）（a+1）能被乘积一定能被2x3=6整除，

・•.整数k的最大值为6.

故选：D.

4.（25-26八年级上•浙江绍兴•期末）如图，在A/IBC中，AB=10,AC=6,BC=8；D为BC上一点,连

接把△ABC沿折叠，使48落在直线4c上，则重叠部分（羽影部分）的面枳为（）

8'

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等,

并利用勾股定理列方程求解是解题的关键.

先利用勾股定理逆定理判断△48c为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长度,

在Rta80。中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（△/1OC）的面积.

【详解】解：•MB=10,AC=6,BC=8,

--.AC2+BC2=62+82=100=AB2,

./C=90°.

由折叠性质可知：AB'=AB=10,B'D=BD,

：.BlC=ABf-AC=10-6=4,

设。D=x,则BD=8-x,B'D=8-x.

在RS8DC中，B'D2=B'C2+CD2,

.••(8-x)2=42+x2,

••.64-16x+x2=16+/,

•••16x=48,

.-.x=3,即CO=3,

••,S&ADC=gxACxCD=1x6x3=9.

故选:B.

5.已知关于x、'的方程组二:;fi解都为正数，且满足Q+b=5,b>0,z=2Q-3b,则z

的取值范围是()

A.-5<z<10B.5<z<10C.-5<z<8D.—5<z<5

【答案】A

【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于〃的不等式红解出即可得到。的范围；根据题意得出b=

5-a>0,即可得到2VQV5,代入z=2a-3b得到z=5Q-15,根据a的取值可得结论.

【详解】解：解这个方程组的解为：^=a-2f

由题意，得俨+

(Q-2>0

则原不等式组的解集为a>2：

,••a+b=5,b>0,

=5-Q>0,

,•,Q>2，

二2<a<5,

:.z=2a-3b=2a—3(5—a)=5a—15

/.-5<z<10

故选:A.

【点睛】本题考查了含有字母系数的二元一次方程组和不等式组的应用，解答关键是用字母参数表示未知

量，构造不等式组解答问题.

6.(25-26八年级上•山东泰安・期末)如图所示，在△ABC中，AB=4,BC=6,4B=60。，将△力3。沿射

线EC的方向平移，得到△小"再将△4夕。绕点4逆时针旋转一定角度，点夕恰好与点C重合，则平移

的距离和旋转角的度数分别为()

A.2,30。B.1,30"C.Z,60uD.1,6UU

【答案】C

【分析】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角膨的判定与性质等知识，得出△4夕C是等边三角

形是解题关键.

利用旋转和平移的性质得出‘^A'B'C=60°,AB=A,B,=A,C=4,进而得出△A'B'C是等边三角形,即可

得出88'以及乙BWC的度数.

【详解】解：必8=60。,将△ABC沿射线8C的方向平移,得到△AB'C',再将△A8'C'绕点上逆时针旋转

一定角度后，点夕恰好与点。重合，

"EC=60°,AB=A'B'=A'C=4,

••.△AB'C是等边三角形，

:.B'C=4/夕力'。=60°,

=6—4=2,

.••平移的距离和旋转角的度数分别为：2,60。.

故选：C.

7.小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息a-七x-3,%+3,a+b,x2-9,

分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美,现将(无2一9加2一(》2一9冲2因式分解，结果呈现

的密码信息可能是()

A.我爱美B.德州游C.我爱德州D.美我德州

【答案】C

【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式因式分解，再根据密码时应关系得到结果即可.

【详解】解：(x2-9)a2-(x2-9)b2

=(x2—9)(a2—b2)

=(x+3)(x—3)(a+b)(a—b)

vx+3对应我，x-3对应受,a+6对应德,a-b对应州，

・••因式分解结果对应的密码信息是我爱德州.

8.（25・26八年级上.江西赣州.期末）如图，在四边形48CD中,AB=AD=12,BC=DC,乙4=60。，点

E在40上，连接BD,CE相交于点心CEWAB.若CE=7,则仃的长为（）

A.4B.3.5C.2D.1

【答案】C

【分析】连接4。交8D于点。，由题意可证4c垂直平分8D,△力80、是等边三角形，△4EC是等腰

三角形可得AE=CE=7,易得EF=DE=5,再根据线段的和差计算即可.

【详解】解：如图：连接力C交3。于点O,

•••48=40=12,BC=DC,/.BAD=60°,

•.♦4C垂直平分BD,△48。是等边三角，称，Z.CAB=Z.CAD=^Z-BAD=30°,

.­^ADB=60°,

••♦CEII4B,

.-./-BAD=乙DEF=60°,乙CAB=^-CAE=/.CAD=30°,

.•.△DE/是等边三角形，△AEC是等腰三角形，

ME=CE=7,

:.EF=DE=AD-AE=12-7=S,

:.CF=CE-EF=7-5=2.

9.（25-26八年级上.河南南阳・期末）如图，长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm,。是BC边的中点，

在长方体下底面的点A处有一只蚂蚊，它想吃到上底面点。处的面包屑，沿着该长方体的表面需要爬行的最

短路程为（）

A.12cmB.V365cinC.V221cmD.15cm

【答案】C

【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开,

根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可.

【详解】解：当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和右面）爬行的展开如图所示：

BDC

,长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm,。是8c边的中点,

•■.BD=2-BC=2cm,

"D=J92+（10+2/=15cm,

・•・沿着表面需要爬行的最短路程为15cm,

当蚂蚁沿着该长方体的表面（左而和上面）爬行的展开如图所示:

•••长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm,。是BC边的中点,

--BD==2cm,48=10+9=19（cm）

：.AD=V192+22=V365cm,

・•・沿着表面需要爬行的最短路程为尽cm,

当蚂蚁沿着该长方体的表面（前面和上面）爬行的展开如图所示:

A

MBDC

,•,长方体的长为10cm、宽为4cm、高为9cm,。是BC边的中点，

'-AM=10cm,DM=2+9=11(cm)

MD=V102+ll2=V22lcm,

••・沿着表面需要爬行的最短路程为短Tcm,

,.7221cm是最小的数，

即沿着该长方体的表面需要爬行的最短路程为团cm,

故选:C.

10.(25-26八年级上•湖南长沙♦期末)如图，在△力BC中(ZC>LABC),284c和乙ABC的平分线AE,8尸相

交于点0,AE交BC于E,BF交AC于F,过点。作0D1BC于。，下歹U结论：①若48=BC,则工力FB=90。；

②乙4。8=90°+：NC；③若。D=Q,AB+BC+CA=b,则&BC=：Q氏其中正确的结论是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形

的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键.

利用等腰三角形的三线合一可判断①正确；根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知②正确；根据

三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积公式可知③正确.

【详解】解：•.•在△/18C中，AB=BC,B尸平分乙48C,

:.BF171C,

:&FB=90。，

故①正确；

•••在△48C中，^.ABC+LBAC=180°-zf,

A-LABC+-Z-BAC=90°--ZC,

222'

•••4E和BF是/8AC和乙ABC的平分线，

•••△OBA=-/-ABC,乙OAB=-Z-BAC,

22

•zOBA+WAB+Z.AOB=180°

山OB=180°-（/.OBA+zOAB）

=180°-（90。-

=90°+-zC,

2

故②正确；

作OM1A8于M,ON14c于N,

•••zBAC和/ABC的平分线AE,Br用交于点。，OD=a,

.•.OM=ON=OD=a,

,:AB+BC+CA=b,

:.S&ABC=S^AOB+S^BOC+^bAOC

111

=-AB-OM+-BCOD+-AC-ON

222

=l（AB+BC+AC）OD

乙

1

=-ba

L

故③正确.

故选:D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.计算：（1—分（1-翥）（1一W）（1-劫…。一专）（1一七卜

【答案】景）.55

【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可.

【详解】解：原式=(1项)(1/)(1/)(1一品...(1盗)(1_圭)

=(1+3(1-9(1+9(1->…+(1+》(1-3(1+冷(1々)

81

31425312x9

=­X—X-X—X—X—X9-O-

2233449To

111

=2X10

11

-20,

故答案为:苏

【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算.

12.如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线,延长8c至点E,使CE=CD=1,连接Z)E,则8E=

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出71C=2CD,再根据等边三角形的性

质得出风?=力。，从而求出8E即可.

【详解】解：•••△力8。为等边三角形，8。为中线，

'.AC=2CD,BC=AC,

:.BC=2CD,

•:CE=CD=1,

'.BE=BC+CE=2CD+CE=2CE+CE=3CE=3.

故答案为：3.

13.(25-26九年级下•河南商丘・月考)如图，矩形/18C0的边/1B在工轴上，且过原点，连接0C.将△08C沿

0c翻折，点8的对应点夕恰好落在边40上.若点方的坐标为(34),则点。的坐标为.

【答案】(-5JU)

【分析】由点夕的坐标得到4夕和/.0的长，根据勾股定理求出。夕=5,由折置得到08=。夕=5,CB=CB，,

设C8=CB'=x,根据勾股定理计算即可.

【详解】解：•••点"的坐标为(3,4),

"夕=4,A0=3,

在Rt△40B'中，OB'=，4夕2+。/=5,

0BC沿0C翻折，点8的对应点B'恰好落在边AD上，

.­.03=OB'=5,CB=CB',

­-AB=。8+。力=5+3=8,

.••在矩形力BC。中，ZD=90°,CD=AB=8,,

设C8=CB'=x,贝IjD"=AD-AB1=x-4,

•.•在Rta20C中，CD2+DB,2=CB,2,

.-.82+(x-4)2=x2,

解得％=10,

:=10,

.••点C的坐标为(一5,10).

14.如果关于l的方程：一手=＞一手的解不大于I,且m是一个正整数，则X的值为__________.

63N

【答案】：或1

【分析】利用解一元一次方程的步骤表示出％=手，然后根据题意列出不等式，求出?n的取值，最后代数

求值即可.

【详解】解：：一手=%-手

632

x-12m+2=6x-15m+3

x-6x=12m—15m+3—2

-5x=-3m+1

—3m+1

X=-5

3m—1

x=~r~

解得m<2,

•即是一个正整数，

••.m的值为1或2,

当加=1时，x=

当m=2时，、=经二=1；

S

故答案为：（或1.

15.（25-26八年级上•广东江门・月考）如图，点。在直线I上，点4在直线矽卜.若直线［上有一点P使得A/IP。

为等腰三角形，则满足条件的点P位置有一个.

.A

OP1

【答案】4

【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点.

根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解.

【详解】解：A4P。为等腰三角形,

①以。为圆心，04氏为半径画弧，与直线/交于点R、P）,

此时。力=OPi=OP2,△4「10和4力2。为等腰三角形，

②以力为圆心，。力长为半径画弧，与直线!交于点P3，

此时。力=。。3，△力。3。为等腰三角形，

③年04的垂直平分线，与直线，交于点。4，

此时。「4=力24，△A&。为等腰三角形，

即满足条件的点P位置有4个，

故答案为:4.

16.（25-26八年级上•山东济宁・月考）如图，点。是等边△ABC内一点，DA=8,BD=10,CD=6,则44DC

的度数是.

【答案】150。/150度

【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形、直

角三角形.

将4DBC绕点C顺时针旋转60。得4PAC,根据旋转的性质可证ACDP为等边三角形、△ADP是直角三角形,

即可求出N4OC的度数.

【详解】解：如图,将AOBC绕点。顺时针旋转60。得△7MC,

:.PC=CD/DCP=60。,4P=BD=10.

••.△CDP为等边三角形，

"PDC=乙PCD=60。，P0=CD=6,

•MD=8,AP=10,PD=6,

：.AD2+DP2=PA2,

.•.△力00是直角三角形，Z.ADP=90°,

•"DC=^.ADP+乙PDC=150°.

故答案为：150°

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25八年级下•四"I达州•期中）如图，在Rt△助。中，ZC=90°,将△4BC绕着点8逆时针

旋转得到AFBE,点C,A的对应点分别为E,立点£落在84上，连接AF.

C1-----------0A

（I）若N84C=40。，求乙B力尸的度数；

（2）若AC=8,BC=6,求Ar的长.

【答案】（1）65。：

（2）475.

【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到乙4BC=50。，根据旋转的性质得到"8F=41BC=50。，AB=

3P,根据二角形的内角和定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到力8=10,根据旋转的性质得到BE=BC=6,EF=AC=8,根据勾股定理即可得

到结论.

【详解】（1）解：在Rta/IBC中，zC=90°,ABAC=40°,

“ABC=50°,

•.•将△ABC绕着点、4逆时针旋转得到^FBE,

:/EBF=Z.ABC=50°,AB=BF,

：.LBAF=Z.BFA=1(180°-50°)=65°；

(2)解：vzC=90°,AC=8,BC=6,

■,-A3=10,

•••将△ABC绕着点、3逆时针旋转得到&FBE,

:.BE=BC=6,EF=AC=8,

：.AE=AB-BE=10-6=4,

MF=JAE?+"2=716+64=4V5.

18.（6分）（25-26八年级上•重庆・开学考试）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，

已知采购3台A型空调和2台3型空调，共需费用21000元；4台A型空调和5台B型空调，共需费用35000

元.

（1）求A型空调和8型空调每台各需多少元;

（2）若学校计划采购A、6型号空调共40台，且A型空调的台数不少于3型空调的一半，两种型号空调的采

购总费用不超过152000元，该校共有哪几种采购方案？

【答案】（1）A型空调每台需5000元，8型空调每台需3000元

⑵见解析

【分析】本题考查了销售、利润问题（二元一次方程组的应用），不等式组的方案选择问题，解题关键是掌握

上述知识点并能运用求解.

（1）设力型空调单价为X元，8型空调单价为y元，根据题意，列出方程组求解；

（2）设小型空调购Q台，则8型空调购40-a台，根据题意，列出不等式组求解，再求出正整数解即可得方

案.

【详解】（1）解•：设A型空调单价为4元，B型空调单价为y元,

+2y=21000

+5y=35000

%=5000

解<得:

y=3000

答：A型空调每台需5000元，8型空调每台需3000元;

（2）解:设4型空调购Q台，则B型空调购40—Q台，

、40-a

则a~~,

（5000a+3000（40-a）<152000

解得：三工QW16,

对应方案为：

①a=14,b=26,费用：5000x14+3000x26=70000+78000=148000（元）；

@a=15,b=25,费用：5000x15+3000x25=75000+75000=150000（元）；

@a=16,b=24,费用：5000x16+3000x24=80000+72000=152000（元），

因此共有三种采购方案.

19.（8分）如图，Zi/BC是等边三角形，。为BC边延长线上一点，CE平分NACD,CE=BD.

（1）求证：乙840=4CAE；

（2）判别△40E是什么特殊三角形？并说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）等边三角形，理由见解析

【分析】（1）通过等边三角形性质、角平分线性质得到相等的边和角，证明△力8。毛AACE,从而得对应

角相等；

（2）利用全等三角形性质得到AD=4E及角关系，计算w/X4E=60。，判定△4DE为等边三角形.

【详解】（1）证明：•・・△4BC为等边三角形，

:=乙ACB=Z.CAB=60°,48=AC=BC,

心CD=120°,

•••CE平分41m

心CE=LDCE=60°,

:•乙3=Z.ACE,

在△43。和中，

AB=AC

4B=Z.ACE>

BD=CE

.•.△4BO三△4CE（SAS）,

.,./.BAD=Z.CAE.

（2）解：△4DE为等边三角形，

•••△48。ACE,

''-AD=AE,/.BAD=/.CAE,

+乙CAD=LDAE+Z-CAD,

•••/D4E=Z-BAC=60°,

△力DE为等边三角形.

20.（8分）（25-26八年级上•山西晋中•期末）某社区计划在健身活动区安装照明设施.社区内有两个健身

活动区A和B,它们之间的距离45为250米.社区小路4c紧邻活动区，计划在小路4c上选一点七安装总电

箱，并由此分别铺设地下电缆到人和8,勘测人员测得点E到直线48的垂线段EF的长度为120米，且线段

BE的长度为150米.规划示意图如卜二

(1)请计算从电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆EA的长度.

(2)判断线段BE的长度是否是健身区B到小路4c的最短距离？并说明你的理由.

【答案】(l)200m

(2)BE的长度是健身区4到小路4c的最短距离，理由见解析

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理.

(1)根据勾股定理求出命二90m,得到4尸=160»1,进而根据勾股定理即可求出电缆的长度;

(2)根据勾股定理逆定理得出AAEB是直角三角形，得到BE1AC,根据垂线段最短作答即可.

【详解】(1)-EF1AD,

.-./.AFE=乙BFE=90°,

在Rt△EFB中，BF=>JBE2-EF2=V1502-1202=90(m),

.•/F=AB-BF=250-90=160(m),

.•.在Rl△力EF中，EA=y/EF2+AF2=V1202+1602=200(m).

答：电箱安装点E到健身区A需要铺设的电缆£71的长度200m：

(2)解：8E的长度是健身区4到小路4C的最短距离，理由如下：

'：AB=250m,EA=200m,BE=150m,

.'.BE2+EA2=2002+1502=62500,AB2=2502=62500,

.'.BE2+EA2=AB2,

是直角三角形，

:•乙AEB=90°,

•••BE1AC,

・••BE的长度是健身区B到小路AC的最短距离.

21.(10分)我们定义：如果两人一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”,

其中一个不等式是另一个不等式的，，同根不等式，，.

(1)不等式％-5>0x-5<0的“同根不等式”(填“是”或“不是”)

不等式％-1>01-x<0的“同根不等式“(填“是”或“不是“).

(2)若关于"勺不等式x+2m>0不是勿-l<x+5的“同根不等式“，求m的取值范围；

(3)若a*0,关于x的不等式+a>3与不等式ax-a<0互为“同根不等式”.直接写出a的取值范围.

【答案】(1)不是，是

(2)m<-3

(3)a<0或Q>|

【分析】本题根据新定义“同根不等式“，即两个一元一次不等式有公共整数解•，分别解不等式，再结合定义

判断是否满足条件，求解参数范围.

(1)直接解不等式判断是否有公共整数解即可；

(2)根据没有公共整数解列不等式求m范围；

(3)分a大于0和小于。两种情况讨论，得到Q的取值范围.

【详解】(I)解：解不等式X—5Z0得XZ5

解不等式％-5<0得x<5

两个不等式没有公共解,因此没有公共整数解，

故。一5N0不是x-5<0的“同根不等式”

解不等式％—120得%之1

解不等式1一%V0得%>1

两个不等式的公共解为x>l,存在无数个公共整数解，

故《-1N0是1-xV0的“同根不等式“

(2)解不等式无+2m>0得x>-2m

解不等式2%-1<x+5得x<6

vx+2m>。不是2%-1<x+5的“同根不等式“

.••两个不等式没有公共整数解，

二-2m>6

解得m<-3

（3）解不等式J%+Q>3,整理得%>6-2a

解不等式QX-aWO,整理得以"-1）工0

①当Q>0时，不等式化简为％W1

要使两个不等式有公共整数解，需满足6-2a<l

解得a冷，符合条件；

②当Q<0时，不等式化简为XN1

va<0,

6—2a=6—2xa>6>l

两个不等式的公共解为％>6-2G,

因此所有a<0都符合条件

综匕a的取俏范闱是aVO或a

22.（10分）（25-26八年级上•四川泸州•期末）已知△48C是等边三角形，点。是AC的中点，点E在射线

上，点尸在线段4B上，ZFDE=120°.

图1图2

（1）如图I,若点F与点B重合,

①求证：CD=CEx

②当△ABC的面积为S时，，用含S的代数式表示△"CE的面积.

（2）如图2,若点E在线段BC上，当/8=8时，求/尸+CE的值.

【答案】（1）①见解析；②ADCE的面积为:S（2）4

【分析】（1）①利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出相关角的度数，即可得证；

②艰据等边三角形的性质得出80J.4C,^DBC=^ABC=30°,S"CD=8c=白，根据含30度角的

直角三角形的性质得出CD从而得出=即可得出答案；

（2）过点。作OGIIBC,构造全等三角形，将AF和CE转化到同一直线上即可解答.

【详解】⑴①证明：是等边三角形，点。是47的中点,

•••BD1AC,乙ACB=60°,

•心DC=90°,

•.•”7)E=120。，点尸与点B重合，

：ZBDE=120°,

•kCDE=120°-90°=30%

:2DEC=乙ACB-Z-CDE=60°-30°=30°,

:.乙CDE=乙DEC,

，CD=CE；

②解：•••△ABC是等边三角形，点。是AC的中点，

乙

:*BD1ACyDBC=-Z-ABC=30°,ShBCD=-S^ABC=-S>

：/3DC=90°,

••.CD=-BC,

2

-CD=CE,

•.・以=2

:SacDE=3s△88=1S.

（2）解：过点。作OG|山C交AB于点G,

二Z.A=乙B=Z.C=60°>

vDG\\BC,

二Z.AGD=乙B=60°,Z.ADG=ZC=60°»

••・△4DG是等边三角形,

AD=DG=AGf

•.•点。是4c的中点,

二AD=-AC=-AB=4,

22

•••DG=4,

•:乙FDE=120°,乙GDC=180°-60°=120°,

•••Z.FDE=