专项突破（二）第1节 等差数列、等比数列-2026年高考数学二轮复习

专题突破

专题二数列

第1讲等差数列、等比数列

—■探究真题明确方向■------------------------------------------------------------------------

1.（2023・新课标I卷，T7）记S“为数列｛〃”｝的前〃项利，设甲：｛〃”｝为等差数列；乙：｛+｝为等差数列，则

（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2.（2025•全国II卷,T7）记&为等差数列｛猴｝的前〃项和,若S3=6,SS=-5,则S6等于（）

A.-20B.-15C.-10D.-5

3.（2025•全国I卷，T13）若一个等匕数列的各项均为正数，且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这

个数列的公比等于.

4.（2023♦新课标1卷，T20）设等差数列｛m｝的公差为乩且办1.令仇与3记S”G分别为数列｛呢｝,»〃｝

an

的前n项和.

⑴若3。2=3。1+的，53+73=21,求｛为｝的通项公式；

（2）若也〃｝为等差数列，且599-799=99,求d.

命题热度：

本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，主要以解答题的形式出现，选择题、填空题中也经常

出现.分值约为11〜24分.

考查方向：

考查重点一是等差数列、等比数列的基本运算；二是等差数列、等比数列的性质及其应用；三是等差数列、

等比数列的判定与证明.

1.答案c

解析方法一甲：｛〃”｝为等差数列，设其首项为内，公差为d,

则臂%,1=0咛仁。卅驾汨，

2n222n+1n2

因此｛2为等差数列，则甲是乙的充分条件；

反之，乙:闺为等差数列，

即鬻产端一而为常数，设为,，

即40n+1-Sq_

'n(n+l)'

则Sn-nan+\-t'n(n+\),

有S〃.i=(“-l)a”-/•〃(〃/)，〃22,

两式相减得an=nan^\-(n-\)an-2tn,

即a“+i-an=2t,对〃=1也成立，

因此｛诙｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

方法二甲：｛〃“｝为等差数列，设数列｛〃〃｝的首项为0，公差为力

即&=.筲％,

贝।+("］，号?十〃।慨，

因此｛岬｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

反之，乙：｛雪为等差数列，

设数列｛3｝的公差为。，

则鬻¥。，+=$+(〃-1)。，

即S“=〃Si+〃(〃-1)。，

当〃22时，S”『(〃-l)S+(〃-l)(〃-2)D,

上边两式相减得S,-S.尸S+2(〃-l)£),

所以an=a\+2(n-\)Dy

当〃=1时，上式成立，

又加1心=。1+2〃。・［内+2(〃・1)0=2。为常数，

因此｛痣｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件.

2.答案B

解析设等差数列｛为｝的公差为乩则由题意可得(J?富;±5=«1=5,

a=-3,

所以S6=6m+15d=6X5+15X（-3）=-15.

3.答案2

解析方法一设该等比数列为｛〃“｝,公比为夕（夕>0）,S“是其前〃项和，则S4=4,S*=68,

当q=l时，S4=4«I=4,即4i=l,则Ss=8m=8W68,显然不成立，舍去；

当q工1时，贝Us「一4,s产；向_68,

*l-5q1-q

两式相除得咨7峥=17,

1—q”i-q

则1+/=17,解得4=2（负数舍去），

所以这个数列的公比为2.

方法二设该等比数列为｛〃”｝,公比为以4>0）,a是其前〃项和，

贝S4=m+02+03+44=4,

Ss=〃1+02+43+44+45+06+。升备

=a\+a2+U3+cu+a1

=（。|+口2+。3+。4）（1+g4尸68,

所以4（1+炉）=68,则1+姬=17,解得片2（负数舍去），

所以这个数列的公比为2.

方法三设该等比数列为｛〃〃｝,公比为幽>。），S”是其前〃项和，则S4=4,SS=68,

故58。4=。5+〃6+〃7+。8=（。I+。2+。3+。4娘=68-4=64,

又+02+03+44=4,

所以4^=64,解得g=2（负数舍去）,

所以这个数列的公比为2.

4.解（1）・・・3。2=3。|+6,

.•・3d=ai+2d,解得4i=d,

S3=3a2=3（ai+d）=6d,

a”=ai+（〃-1）d=〃d,

又7>8+也+加光亮吟

.•・S3+A=66号21,

即2"-7d+3=0,

解得d=3或写（舍去），

/.an=nd=3n.

Q），.”瓦｝为等差数列，

：・2b?=b\+b3,

即

«203

\az03/Q2Q3aJ

^Paf-3«ic/+26/2=O,

解得加=〃或41=2",

*.*（/>!,/.«„>0,

又599-799=99,

由等差数列的性质知,

99tf5o-99/>5o=99,

即。5（也0=1,

即o-Wo-2550=0,

解得<750=51或。50=・50（舍去）.

当a\=2d时，。50=。1+49d=5ld=51,

解得d=l,与d>l矛盾，无解；

当。1="时，。50=内+49d=50d=51,

解得晦.

综上，唱•

考点一等差数列、等比数列的基本运算

例1（1）（多选）（2025•全国n卷）记£为等比数列｛服｝的前〃项和,及为｛&｝的公比,q>0,若S3=7,a3=l,

则（）

A.#B.a5=1

C.Ss=8D.a“+S“=8

答案AD

（aiQ2=1,（ai=4,（czi=9,

解析对A,由题意得1"7结合妖0,解得i或1（舍去），故A正确；

lai+aiq+aiq/=7,（7=5（Q=-3

对B,a5=a\qA=4X三，故B错误；

对c,S5智*#4,故C错误；

l-q1-14

对D,z=4X6）=23-〃，ST」-8-23-〃,

则许+£=235+8-23加=8,故D正确.

（2）（2025・唐山模拟）已知等差数列｛〃｝的前〃项和为S”,〃3+禽-03=・120,557-755=70,若SKSm,则〃

等于（）

A.27B.28C.54D.55

答案A

解析设数列｛劣｝的公差为乩

•・•数列｛如｝是等差数列，

。3+。8+。13=3。8=-120,

解得。s=-40,即。i+7d=-40,①

•；5Sr7ss=70,

...5（7。］+^^d）・7（5ai+-^-d）=70,解得d=2,

代人①得勿=-54,

,•*Sk=Sk+1,**•SA=SA+4MI>

即用h=0,:.m+&d=0,

即・54+240,解得上27.

［规律方法］等差数列、等比数列问题的求解策略

（1）抓住基本量，首项.，公差d或公比?

（2）熟悉一些结构特征，如前〃项和为S〃=a〃2+6〃（凡6是常数）的形式的数列为等差数列，通项公式为

1］

ar,=pc/（p,夕W0）的形式的数列为等比数列.

（3）由于等比数列的通项公式、前〃项和公式中变量〃在指数位置，所以常用两式相除（即比值的方式）进行

相关计算.

跟踪演练1（1）（2025・南京模拟）已知等比数列｛小｝的前3项和为168,。2-。5=42,则如等于（）

A.7B.6C.3D.2

答案C

解析设数列｛〃”｝的公比为夕，

贝I]$3=0+。2+。3=4|(1+</+/)=168,

。2-〃5=。[夕(1-q3)=“]夕(]]+[+夕2)=42,

••・g（i-g）W

即4小4夕+1=0,则<7=1,

「・a\=2=］68X^=96,

l+q+q"7

aa=a炉=96X盘=3.

（2）（2025・九江模拟）为备战某次马拉松，某同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计戈J第1周跑步2

公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多

跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（42.195公里）后，保持这个周训练量直至训练结束，则训练计

划结束时，该同学跑步的总量是（）

A.736公里B.724公里

C.692公里D.660公里

答案C

解析设该同学每周跑步量构成数列他〃｝,由题意得，。1-2,<72-4,£73-8,44-16,的-32,

第5周跑步量首次超过30公里，前5周跑步总量为驾3=62,

1-Z

46=32+2=34,…，

6710=32+5X2=42,t?i1=42+2=44,

第11周跑步量首次超过全马里程，

故第6周到第11周的跑步量为空警=234,

第12周到第20周每周的跑步量为44公里，总和为396公里，所以该同学跑步的总量是

62+234+396=692(公里).

考点二等差数列、等比数列的性质

例2(1)(多选)(2025•厦门模拟)记等差数列｛&｝的前〃项和为S”,公差为"，若吟18>0,$9<0,则

()

A.S20<0B.671]>0

C.d>0D$2So

答案BCD

解析由。3+。18>0,得S20-10(〃1+。20尸1053+。18)>0,故A错误；

由Si•><(),得$19-19@119)19'；01[01%八0(0,即〃10<0,“lo+m产。3+〃18>0,所以故R正确；

因为。10<0,4">0,所以d=4[i・mo>O,故前10项为负数，从第11项开始为正数，故S”的最小值为Sio,故

C,D正确.

(2)(2025・赣州模拟)设正项等比数列｛〃”｝的前〃项和为S”,若％o=21,《30=49,则So等于()

A.7B.9

C.63D.7或63

答案A

解析由等比数列片段和的性质知，

5io»S20-S10,So-Szo成等比数列,

所以(S20・S10)2=S10(S30・S20),

贝I」(2I5O)2=SO(49・21),

所以公O-70SO+441=(SO-7)(SIO-63)=0,

贝Sio=7或5io=63,

因为数列｛m｝为正项等比数列，所以。〃>0,故｛&｝为递增数列，

所以Sio=7.

[规律方法]等差数列、等比数列的性质问题的求解策略

(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.

(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.

跟踪演练2(1)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261,

则此数列的项数为()

A.15B.17C.19D.21

答案C

解析设此等差数列的项数为2〃-1,

设所有奇数项的和为S,

2

设所有偶数项的和为兀

则广01)(2+%一2)_(〃.13,

由解得〃=10,项数为2〃-1=19.

(2)已知正项递增等比数列｛〃〃｝的前〃项之积为乙，且49=7次愣中19),4/15=1,则"产

答案10

解析若标>19,因为｛小｝为递增数列且。15=1,所以当〃216时，若>1,

所以扫=420…8”>1,与719=加矛盾；

*19

若“<19,因为415=1,

所以。1］。［9=。12。18=。13。17=4|4416=。151715=1，

所以T1产0。2a3……。18。19=〃142。3…尸T10,所以加=10.

考点三等差数列、等比数列的判定与证明

例3已知数歹满足。i=l,G=3,a“+2=3a”+i-2a”(〃eN*).

(1)证明:数列｛-+「即｝是等比数列；

(2)求数列5〃｝的通项公式：

(3)若数列｛4｝满足4比一142T…4『1=(服+1卢(〃EN)证明：也｝是等差数列.

⑴证明:。〃+2=3%+\-2an,

=

知+:-如+l2(Un+\-CJn),

V671=1,42=3,

J｛斯丁。〃｝是以42-0=2为首项，2为公比的等比数列.

⑵解由(1)得丽”=2〃(〃£N*),

,。〃=(0广。,川)+(〃〃.1-。小2)+,,•+(。2-。1)+。1

=2叫2〃-2+・.・+2+1

=2”・1(〃'2),

又ai=l符合上式，，a“=2"-l(〃£N").

(3)证明•.•4比一1・4'2T.........4益-1=S〃+1)”

4(上+》2+.“+如)一』2曲，

.,。［(加+岳+…+儿卜川二“儿，①

2［(力+/?2+,,,+儿+瓦+1)-(/?+1)］

=(〃+1)力同.②

②-①，得2(加|-1)=(〃+1)d+E也，

即(〃-1)仇+i-〃》+2=0,③

则nbK+2-(n+1)btt+1+2=0.④

④・③，得〃人/2-2〃仇+i十〃/%=0,

即儿+2-2儿+1+瓦=0,

bn^-bn+\=bn+\-bn(n£N"),

・,・｛儿｝是等差数列.

［易错提醒］(1)成=出一M+1(〃22,是｛如｝为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时,

还要注意各项不为0.

(2)｛%｝为等比数列，可推出0,42,43成等比数列，但。2,。3成等比数列并不能说明｛〃“｝为等比数列.

(3)证明｛小｝不是等比数列可用特殊值法.

跟踪演练3(多选)(2025・贵阳模拟)设首项为1的数列｛〃“｝的前〃项和为S”，已知S”+1=2S,+〃・1,则下

列结论正确的是()

A.数列｛&+〃｝为等比数列

B.数列｛&｝的前n项和Sn=2"-n

n］

C.数列｛々“｝的通项公式为an=2--\

D.数列｛%+1｝为等比数列

答案AB

解析对于A,B,・・5+产25”+〃-1,

/.£+】+(〃+1)=2(5”+〃),

又SrH=2#0,

・,・数列｛&+〃｝是首项和公比都为2的等比数列，

故S〃+〃=2",即S〃=2"-〃，故A,B工确;

nl

对于C,D,当〃22时，a„=Sn-Sn.i=2--l,

1n=1.

当〃=1时，6/1=1,/.«„=.故C错误；

(2'T-1,n>2,

・.・/+1=［2,n=l,.•・哈

L2n-1,n>2,ai+1。2+1

・•・数列｛斯+1｝不是等比数列，故D错误.

专题强化练

［分值:90分］

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.(2025♦荷泽模拟)已知S“为等比数列｛〃“｝的前〃项和，若％=4a、-4s,则一―等于()

A.5B.3C.-3D.-5

答案A

解析由等比数列公式可得，

22

a@=4a]q-4a\q=^q=4q-4=^q=2,

瞰")

所以Q广1+Q2-Q1丁+2al-3；-5.

2.(2025•北京)己知｛出｝是公差不为0的等差数列，m=-2,若必,M四成等比数列,则内。等于()

A.-20B.-18C.16D.18

答案C

解析设等差数列｛%,｝的公差为d(4W0),

因为的，44,46成等比数列，且m=-2,

所以或=。3。6,即(-2+3")2=(-2+2")(-2+5〃)，解得d=2或d=0(舍去)，

所以。10=。1+94=-2+9X2=16.

3.(2025・重庆模拟)已知｛如｝是各项均为正数的等比数列，且m,。9是关于x的方程f-加x+4=0的两个实数根,

则Iog2m+log242+log2a3+…+log249等于()

A.8B.9C.16D.18

答案B

解析由0,49是关于X的方程户4=0的两个实数根，贝|J049=4,

由等比数列的性质可得。1。9=。2。8=—=点=4,所以。5=2(负值舍去)，

所以Iog2a】+log242+log243+…+Iog2a)=log2(ma26…。9)

=log2|(t?Ia9)(a2a3)(a3a7)(a4a6)as]=log：(44X2)

=log229=9.

4.(2025•绵阳模拟)已知等差数列｛%｝,｛儿｝的前〃项和分别为S”，若上2：则J誉等于()

A型B5TD2

入31,8V，13U'14

答案D

解析因为等差数列｛〃”｝,｛儿｝的前〃项和分别为s“，解

由等差数列的性质可得，

%勺+%)

。2+。8_。1+。9_2_Sq

卜3主与白*的一见如；加)石,

因为手W，所以汨号，

Tn3n+l/92814

目口。2+。8―9

用b3+b714"

5.(2025・福州模拟)设伍〃｝是无穷数列，4=4“+g+i(〃£N)则“｛%｝是等差数列”是“｛4｝是等差数列”的

()

A.充分不必要条件

B必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若｛小｝是等差数列，设公差为d,

则4出-4产。用+。〃+2-（即+即+1）=斯+2/〃=2d,

所以｛4｝是等差数列，充分性成立；

若｛4｝是等差数列，设公差为“'，

则4*1-4?=。"+1+。〃+2-（。〃+即+1尸仇+2-&=",

即｛〃“｝的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列，

则｛〃“｝不一定是等差数列，必要性不成立，

所以“｛。〃｝是等差数列”是“｛4｝是等差数列”的充分不必要条件.

6.（2025・长沙模拟）已知数列｛m｝的前〃项和为S”对任意的〃£N*,都有3s〃=m+64.若7；是数列｛端的前〃

项积，则7；的最大值为（）

A.29B.214C.215D.216

答案C

解析当n=\时，四=32,

当〃22时,3S〃=a〃十64,

3S〃-1=。“.1+64,

两式相减得3an=an-afl.\,

即2劣=-。”.1,又41=32^0,

故刍T

a〃—]2

所以数列｛斯｝是以32为首项，斗为公比的等比数列，通项公式为知=32•（—3”：

因为"是数列｛m｝的前〃项积，

z1\0+1+2匕♦・+（九-1）-（n-l）r非。2-1）-n2+lln

所以〃=。必〃3…斯=32”・（—3=（-1）2052=（・1）22~^~.

当〃=5或n=6时，-"：""有最大值15,

所以当〃=5时，7；有最大值2?

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2025•安徽省A10联盟模拟）已知等差数列｛〃”｝的首项为m,公差为小前〃项和为S”，且Ss=4a4-1,｛普｝

是以I为公差的等差数列，则下列结论正确的是（）

Ad=lBS=15

C.a„=nD.STF

答案ABC

解析由条件Ss=4〃4-1可知，5m+10c/=4ai+12d-l,得m=2d-l,①

因为数列｛台｝是以1为公差的等差数列，

所以红亘=1,即出=3,

即4a+2d=3m+3d,即a\=d,②

综合①②可知，a\=d=\,

S5=5s+10d=15,%=〃，，罟⑷，所以A,B,C正确，D错误.

8.（2025・洛阳模拟）在数列｛斯｝中，Q〃=斯+134"+2，。1=2,42=8,S"是数列｛log2即｝的前〃项和，则（）

A.数列｛%+I-2Q〃｝是等比数列

B.数列偿｝是等差数列

…管2044

D.S5<22

答案ABD

解析由以

将"4"+2-2。“+|=2（。〃+[-2。〃），

则数列｛斯+1—2即｝是首项为敢-2劭=4,公比为2的等比数列，A正确;

根据等比数列的通项公式得

。/1・2的=42"=2"|,

即斯+i=2a〃+2"L

则繇争1，

所以数列｛骂｝是首项为货1，公差为1的等差数列，B正确；

根据等差数列的通项公式得占l+（〃-l）Xl=〃，即£=2〃，

所以…046,C错误；

LD1U1-Z

由Iog2a”=log2（〃2'）=〃+log2〃，

S5=1+2+3+4+5+log2（1X2X3X4X5）=15+log2120<15+7=22,D正确.

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.（2024・新课标H卷）记S“为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，若s+w=7,3a2+的=5,则，o=.

答案95

解析方法一（基本量法）

设数列仅〃｝的公差为d,

则.由题意.得14-2d+U]4-3d=7,

（3（a1+d）++4d=5,

%=-4,

解得

d=3,

则SIL10/喈7

=10X（-4）+45X3=95.

方法二（利用下标和性质）

设数列｛小｝的公差为d,

由的+出=。2+。5=7,

3。2+。5=5,

得。2=-1,。5=8,

故d=1一:2=3,。6=11,

则S|Q沿X10=5(冬+俏)

=5X19=95.

10.(2025•杭州模拟)已知数列｛%中,m=l,且?；；-黑丁记数列｛斯-%+i｝的前■项和为中则S2

025一______

答案濡

解析由On+1-n+1

«n2an+n,

得2an+n_n+l

a

n即+1

即巴Ll=2

即+J«n

所以数列｛£｝是以高=1为首项，2为公差的等差数列,

所以:=1+2(〃-1尸2〃-1,

故。尸7巴7，

zn—1

所以$2025=。1-。2+。2田3+…+。2025/2C26=。1026=1洪：.

四、解答题(共27分)

11.(13分)已知数列｛%｝的前〃项和为S,”且S„=2a„-n.

(1)证明:数列｛%+1｝为等比数列;(6分)

(2)求数列｛飙｝落入区间(1,2024)内的所有项的和.(7分)

(1)证明当〃=1时，Si=2a\-\=a\t所以。i=l.

因为Sn=2an-n,

所以S“-i=2a〃-i-(〃-l)(〃22),

两式相减，化简得a”=2〃”-i+1,

所以斯+1=2(。“1+1).

又因为s+l=2关0,

所以｛%+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)解由(1)可知&+1=2"，m=2"-1,

由题意,得1SS2024,

所以1<2M-1<2024,

所以2V2y2025,即14W10.

因为｛〃〃｝落入区间(1,2024)内的所有项为42,。3,。4,as,。6,。7,48,。9,。10,

所以其和为。2+。3+。4+的+。6+。7+。8+。9+。10=22+23+…+209

_4X(I-2^)

_9=2035.

1-2

12.(14分)(2025•泉州模拟)已知数列｛小｝的前n项和为S”，山=1,且出=(〃+1设+〃斗〃.

⑴证明：数列务｝为等差数列；(6分)

n

(2)设力产S己即求数列｛瓦｝的通项公式.(8分)

i=1

⑴证明由已知Sl=M=l,

S怙1_5”十],

n+1n

所以数列｛+｝是首项为千1,公差为1的等差数列.

⑵解由(1)得S尸〃2,当〃22时，

22

an=Sn-Stl-]=n-(n-1)=277