2025-2026学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.的值是（）A.11 B.17 C.126 D.1322.下列函数中存在极值点的是（）A.y=x3 B.y=ex-1 C.y=2lnx D.y=sinx3.若水池的排水量V（单位：m3）与时间t（单位：s）满足函数关系式V=f（t），则f′（4）的实际意义是（）A.4秒时水池的排水量 B.4秒内水池的排水总量

C.4秒时水池排水量的瞬时变化率 D.4秒内水池排水量的平均变化率4.在空间直角坐标系O-xyz中，点P（3，2，1）关于平面yOz对称的点的坐标为（）A.（-3，2，1） B.（-3，-2，1） C.（3，-2，-1） D.（-3，2，-1）5.如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有（）A.11条

B.12条

C.13条

D.14条6.在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），D（3，1，0），则点D到平面ABC的距离为（）A. B. C. D.7.甲乙两个学习小组，甲小组中有3名男生和4名女生，乙小组中有3名男生和2名女生.先从甲小组中随机抽出1名学生转入乙小组，然后再从乙小组中随机抽出1名学生，则从乙小组中抽出的学生是女生的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数f（x）=lnx-kx,若存在唯一整数t,使得f（t）＞0，则实数k的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列选项中正确的有（）A.若随机变量ξ～N（5，σ2），P（ξ＜1）=0.1，则P（ξ＞9）=0.1

B.若随机变量ξ的数学期望E（ξ）=4，则E（2ξ-1）=8

C.研究两个变量的相关性时，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的相关性越强

D.进行独立性检验时，统计量χ2的值越大，判断“两个分类变量相关”犯错误的概率越小10.某班级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列选项中正确的有（）A.从中选出2人分别担任组长和副组长，共有28种不同的安排方案

B.从中选4人参加语文、数学、英语知识竞赛，其中语文需要2人，数学和英语各需要1人，共有840种不同的安排方案

C.8人排成一排，甲乙两人之间恰好间隔2人，共有7200种不同的安排方案

D.8人排成一排，女生两两不相邻，且女生甲在排头或排尾，共有4800种不同的安排方案11.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点P，Q，R分别是棱DD1，AD，C1D1的中点，点M在四边形BCC1B1及其内部运动，则下列选项中正确的有（）A.存在点M，使得AR⊥MR

B.存在点M，使得AM+MR=8

C.若A1M∥平面CPQ，则直线A1M与AB所成的角可能为15°

D.三棱锥M-DPQ的外接球半径的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在空间四边形OABC中，，，，若，，则=

（用向量表示）.13.已知函数在（1，3）上单调递增，则实数a的最大值为

.14.从所有的四位正整数中随机取一个，记所取正整数的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,则：

（1）P（a＜b＜c＜d）=

；

（2）P（a＜b＜c＜d|a≤b≤c≤d）=

.（结果用最简分数表示）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知.

（1）求f（x）展开式中含x5项的系数；

（2）求证：f（4）+1能被10整除.16.(本小题15分)

为科学评估施肥对某品种农作物发育情况和产量的影响，某研学小组对劳动实践基地中随机抽取的200株该品种农作物进行了观察，并进行数据分析.

（1）将所抽取的农作物按是否施肥分为两类，并将其分为“发育正常”和“发育不正常”两类，整理得到下表：施肥不施肥合计发育正常7030发育不正常40合计200请补全以上表格，判断能否有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关，并说明理由.

（2）对施肥的农作物进行观察，发现施肥超过某标准量后，产量反而会迅速下降.从施肥的该品种农作物中随机抽取10株，记录它们的过量施肥量x（g）与产量y（g），数据如表：农作物编号12345678910过量施肥量x（g）00.5111.52222.52.5产量y（g）100858585807575707075经计算，=15，=800，=29，=1135，求y关于x的线性回归方程.

附：χ2=P（χ2≥x0）0.0500.0100.001x03.8416.63510.828对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面ABCD⊥侧面MCD，△MCD是正三角形，E是MC的中点.

（1）求证：DE⊥平面MBC；

（2）若，且直线AF与平面MCD所成角的正弦值为.

（i）求λ的值；

（ii）求平面ADF与平面MBC所成的锐二面角的余弦值.18.(本小题17分)

袋中共装有大小相同的20个红球和10个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取1个.

（1）若每次取出小球后放回，连取3次，记取出黑球的次数为X，求X的概率分布和方差；

（2）若每次取出的小球不放回，

（i）记前n次取球中（2≤n≤22），取出黑球次数为2的概率是f（n），求f（n）取最大值时n的值；

（ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是ξ，求ξ的数学期望.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=x2+4x-aln（x+1），a∈R.

（1）若a=4，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）若f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点b,

（i）求a的取值范围；

（ii）求证：ea-4-1＞b.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】BCD

11.【答案】AD

12.【答案】-

13.【答案】2

14.【答案】

15.【答案】由二项式定理可知，在的展开式中，，

令14-3r=5，解得r=3，因此，二项展开式中含x5的项系数为

证明：

=，

因为上式的每一项都能被10整除，所以f（4）+1能够被10整除

16.【答案】根据题意，列联表为：施肥不施肥合计发育正常7030100发育不正常4060100合计11090200零假设为H0=“是否施肥与该品种农作物是否发育正常无关”，

又χ2=≈18.182＞10.828，

则H0不成立，即有99.9%的把握认为“是否施肥”与“该品种农作物是否发育正常”有关

已知=15，=800，则，，

又==-10，

又=80-（-10）×1.5=95，

则y关于x的线性回归方程为

17.【答案】证明：∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，

又∵平面MCD⊥平面ABCD，平面MCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面MCD，又∵DE⊂平面MCD，∴BC⊥DE，

又在正△MCD中，E为MC的中点，故DE⊥MC，

又∵BC，MC⊂平面MBC，BC∩MC=C，

∴DE⊥平面MBC

（i）取CD的中点O，AB的中点N，连接OM，ON，

由平面MCD⊥平面ABCD，平面MCD∩平面ABCD=CD，

MO⊥CD，MO⊂平面MCD，可得MO⊥平面ABCD，

又由ABCD为正方形，O，N分别为CD，AB的中点，可得ON⊥CD，

分别以OD，ON，OM所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系，

则A（1，2，0），B（-1，2，0），D（1，0，0），，

由，（0＜λ＜1），

得，

∴，

又平面MCD的一个法向量为=（0，1，0），

由．

解得（舍去），

即有，

（ii）由，则，，

设面ADF的法向量为，

则，

可取，y=0，z=5，则，

由（1）知，平面MBC的一个法向量为，

设平面ADF与平面MBC所成锐二面角的大小为θ，

则，

∴平面ADF与平面MBC所成锐二面角大小的余弦值为

18.【答案】每次取出黑球的概率，所以，

则，，

，，

则X的分布列如下：X0123P所以

（i），

所以

=，

令，解得n＞5.2，

所以当6≤n≤21时，f（n+1）＜f（n）⇒f（6）＞f（7）＞f（8）＞…＞f（22），

当2≤n≤5时，f（2）＜f（3）＜…＜f（6），

所以f（n）取最大值时n=6；

（ii）ξ的所有可能取值为：10，11，…，30，

因为，所以，而，

所以

=

19.【答案】f（x）=x2+4x-aln（x+1），定义域为（-1，+∞），

，

a=4时，f（0）=0，f′（0）=0，故切线方程为y=0

，x＞-1，

（i）当a≤4时，f'（x）≥0函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，

所以f（x）在（0，+∞）上不存在零点，

当a＞4时，令m（x）=2x2+6x+4-a,m（x）在（0，+∞）上单调递增，

m（0）=4-a＜0，∃x0∈（0，+∞），使得m（x0）=0，即f'（x0）=0，

所以x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，

所以f（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，

f（0）=0，f（x0）＜f（0）=0，f（a）=a2+4a-aln（a+1）=a（a+4-l（a+1））＞0，

（其中m（a）=2a2+5a+4＞0，所以a＞x0），

所以当a＞4时，函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点b,其中b∈（x0，a）．

（ii）证明：b为f（x）唯一零点，所以f（b）=b2+4b-aln（b+1）=0，

所以