浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高一数学下学期期中联考试题【含答案】

舟山市五校联盟2025学年下学期期中调研高一数学试题卷考生须知：1､本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字，3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸，I卷选择题部分（共58分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.化简后等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得.【详解】.故选：C2.如图所示，观察四个几何体，其中判断错误的是（）A.不是棱台 B.不是圆台C.不是棱锥 D.是棱柱【答案】C【解析】【分析】根据棱台，圆台，棱锥，棱柱的定义判断即可.【详解】对A，根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，棱台的上下底面是相似的多边形，且侧棱的延长线交于一点.选项A中的几何体上下底面不相似，所以不是棱台；对B，同理，选项B中的几何体上下也不相似，所以不是圆台；对C，选项C中的几何体符合棱锥定义（有一个多边形底面，其余各面为共顶点的三角形），因此不是棱锥的判断错误；对D，根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.选项D中的几何体符合棱柱的定义，所以是棱柱.3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小.【详解】在中，因为，，，且，故，由正弦定理可得，又因为，故或.故选：D.4.已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（）A.若，，则与必异面 B.若点，点，则直线C.若，，则 D.若点，点，则直线与相交【答案】D【解析】【分析】应用线面位置关系，线线位置关系关系判断各个选项即可.【详解】对于A，若，，则与平行或相交、或异面，故A为假命题；对于B，若点，点，则直线平面或直线与平面相交，故B为假命题；对于C，若，，则与平行或异面，故C为假命题；对于D，若点，点，则直线与平面相交，故D为真命题；故选：D.5.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得，则.故选：B.6.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形得，代入求出r和l，再求出圆锥的高，代入体积公式计算．【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，，即，由题意得，侧面积，解得，，圆锥的高，圆锥的体积，故选：A．【点睛】本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题．7.设是单位向量，且，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的乘法运算展开,结合向量的数量积运算和夹角的有界性,即可求得最小值.【详解】是单位向量故选D【点睛】本题考查了向量数量积的综合应用,向量夹角的应用,属于基础题.8.如图，在等腰直角三角形中，，是线段上的点，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合向量的坐标运算法则确定数量积的范围即可.【详解】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），设D（x，0），则．据此有：，，则：.据此可知，当时，取得最小值；当或时，取得最大值；的取值范围是.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（）A.若是纯虚数，则 B.若，则C.若，则 D.若，则在复平面内对应点位于第三象限【答案】BCD【解析】【分析】应用复数乘法运算得，结合各项的描述和复数的性质、几何意义判断各项的正误.【详解】A选项，由，若是纯虚数，则，可得，A错；B选项，若，即，可得，B对；C选项，若，则，，故，C对；D选项，若，则，故，对应点坐标为，在复平面内对应点在第三象限，D对.故选：BCD10.如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（）A.圆锥的母线长为 B.圆锥与圆柱的体积比为1：3C.该几何体的表面积为 D.圆锥侧面展开图的圆心角为【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断.【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确；对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为，因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确；对于C，该几何体的表面积为，C错误；对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确．故选：ABD11.点G在所在平面内，下列说法正确的是（）A.若点G为的重心，则B.若则C.若，则为锐角三角形D.若为边长为2的正三角形，点G在线段上运动，【答案】AB【解析】【分析】根据平面向量的运算和平面向量基本定理，以及三角形的几何性质，列出向量之间的关系，判断各选项正误.【详解】如图所示，当点是的重心时，因为三角形重心为三条中线的交点，所以，同理可得，所以，即，所以A正确.若，则，得，可知，所以，所以B正确；对于C，由，可得，所以，结合正弦定理可得：，所以，则为锐角，无法判断也是锐角，所以不一定为锐角三角形.如图所示，取中点，连接，当为正三角形时，所以点在线段上运动时，在上的投影为，已知正三角形边长为2，则高，，所以D错误

.Ⅱ卷非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是关于的方程的根，则________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、，利用韦达定理求出、的值，即可求得结果.【详解】由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、，由韦达定理可得，解得，，因此，.故答案为：.13.已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________．【答案】4【解析】【分析】根据几何图形，利用勾股定理求出下底面的边长.【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则，解得.故答案为：4.14.如图，在中，，与交于，求__________；设的面积为，的面积为，________【答案】①.②.【解析】【分析】①由三点共线，结合已知条件可得，同理由三点共线，可得，从而可得m=3-3n44-4m5=n，解方程组可求出的值，进而可求得答案；②延长与交于点，由三点共线，可得AF=tAB+1-tAC，由，得，结合（1）可得38AB+12AC=λtAB+λ【详解】①设，，因为三点共线，所以AO=mAB又因为，所以，则，同理，因为三点共线，所以AO=nAC又因为，所以，则，根据平面向量基本定理，可得m=3-3n44-4m所以，则，所以BO=化简得：，所以；②延长与交于点，因为三点共线，所以AF=t又因为，且，所以存在实数使得，即38所以λt=38λ1-t=12所以S'四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设O为坐标原点，，，，（1）求中点坐标（2）求在上的投影向量的坐标（3）与夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设，利用向量平行和垂直的坐标运算可得，解方程即可得到的坐标，最后利用中点公式即可求解；（2）利用投影向量公式计算即可求解；（3）分别求出与的坐标，若与夹角为锐角，则，且与不同向，利用向量的数量积运算求解即可.【小问1详解】设，则由，则，由，则，即，联立，解得：，则，即的坐标为，由于的坐标为，所以中点坐标为【小问2详解】由于，，所以在上的投影向量为【小问3详解】由题可得，，因为与夹角为锐角，则，且与不同向，即，解得：且，即实数的取值范围为16.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．（1）求a，A；（2）求的面积及．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由及余弦定理计算可得；再由特殊角的三角函数值可得；（2）由三角形的面积公式可得面积；法1：变换面积公式的表达形式可得；法2：由正弦定理可得.【小问1详解】由及余弦定理，得，即，即．由余弦定理，得．又，所以.【小问2详解】．法1：由，得．法2：由正弦定理，得．17.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为底面圆上的点，，，是母线的中点.（1）求证：（2）求证：平面（3）求四棱锥的体积及圆锥的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）应用平行四边形证明线线平行；（2）先应用平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可；（3）应用四棱锥体积公式计算，再应用圆锥侧面积公式加圆的面积计算求解.【小问1详解】连接，因为，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以；【小问2详解】取中点，连接，因为分别是中点，所以TE//AB,TE=12AB，所以，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；【小问3详解】圆锥的高SO=SA2-OA2=132取中点，连接，OM=OC2-C所以SABCD四棱锥的体积为VE-ABCD圆锥的表面积为π×5×SA+π×5218.已知在复平面内，复数所对应的点分别为，.为坐标原点，是虚数单位.（1）若，求与；（2）向量，对应的复数分别为，，若，求实数；（3）已知复数满足，求的最值.【答案】（1）；（2）或（3）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）利用复数的乘法公式运算即可求解，求出向量与对应的向量坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式即可求解；（2）化简，求出向量与对应的向量坐标，从而得到，利用向量模长公式化简即可求解；（3）设，由可得或，分两种情况讨论即可求解.【小问1详解】若，则，由于对应向量，对应向量，所以；【小问2详解】由于，所以，，则，则，化简可得：，解得：或；【小问3详解】设，则，由，可得：，化简得：，所以或，由于，当时，，且，所以，所以时，，当时，，当时，，且，所以，所以时，，当时，，综上，的最大值为，最小值为19.如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，.设，,（1）若，，求的值.（2）在（1）的条件下，求的最小值.（3）若是边长为的等边三角形，且点为的中点，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量线性运算直接求得，代入即可求得结果；（2）根据三点共线可求得，利用“”的代换和基本不等式可求得结果；（3）以为基底可表