数理方程于特殊函数(杨春)4_第1页
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数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院1第1页方程化简与分类(一)、方程化简、特征方程第二章定解问题与偏微分方程理论此次课主要内容(二)、方程分类2第2页普通形式：对象：含两个变元二阶线性偏微方程。a11,a12,a22,b1,b2,c,f是关于x,y函数；(一)、方程化简、特征方程f=0时，称方程为齐次方程，不然，方程为非齐次方程。3第3页引入二阶线性偏微分算子：则上面普通形式方程可简记为：4第4页化简方法讨论总思绪是：经过恰当实可逆变换：将方程化为以下形式：5第5页详细分析过程假设引入实可逆变换：将原方程变换为：6第6页那么下面等式成立。其中：7第7页注意到以下等式：假如：为方程：解，那么：8第8页所以，变换就转化为以下方程求解问题！考虑常微分方程：能够证实以下结论：是(1)解充分必要条件是确定y=y(x)是(2)解。9第9页证实：将(3)代入(1)得：假如是(1)解，且设a11与不等于0。两边对x求导得：10第10页同理可证。(4)两边除以称方程(2)为特征方程，即：11第11页由(2)得：令：情形1：12第12页(2)两个线性无关通解为：作变换：得到：13第13页再作变换

第二标准形

14第14页情形2：(2)两个解为：作变换：得到：15第15页情形3：(2)通解为：作变换：得到：16第16页方程化解方法总结1、写出特征方程：2、计算3、作变换(1)、17第17页(2)、18第18页(3)、19第19页4、求出变换方程：其中：20第20页(二）、二阶线性方程分类(1)双曲型抛物型椭圆型

(2)(3)说明：分类指点邻域内分类！21第21页例1求方程通解解：此方程是双曲型第二标准形，但我们要求解它,可将其化成第一标准形形式，所以先得由特征方程求特征函数：22第22页

所以23第23页24第24页可得

是原方程解

25第25页例2化下面方程为标准型解：方程属于椭圆型26第26页

所以27第27页可得标准型：28第28页例3证实二阶线性偏微分经过可逆变换后，其类型保持不变。证实：设方程：经过可逆变换：化为：29第29页因为：所以：即变形不改变方程类型。30第30页作业P

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