小学五年级奥数讲义30讲全

亲爱的同学们，欢迎来到奇妙的奥数世界！在这里，我们将一起探索数学的奥秘，挑战思维的极限，让数学不再是枯燥的计算，而是充满乐趣的智力游戏。这份讲义汇集了五年级奥数的核心知识点和经典题型，希望能成为你们学习路上的良师益友。记住，每一次思考都是一次进步，每一次挑战都是一次成长。让我们一起出发，去发现数学的美吧！第一讲：速算与巧算（一）知识要点：本讲主要学习利用运算定律和性质进行简便运算，包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律的灵活运用。重点掌握“凑整”思想，通过观察数字特征，将数字进行合理的拆分与组合，达到简化计算的目的。例题精讲：例1：计算28+47+72分析与解答：观察发现28和72相加可以凑成整百数。利用加法交换律和结合律，先算28+72=100，再算100+47=147。所以，28+47+72=(28+72)+47=100+47=147。例2：计算125×32×25分析与解答：看到125和25，我们自然想到8和4，因为125×8=1000，25×4=100。而32恰好可以拆分成8×4。所以，125×32×25=125×(8×4)×25=(125×8)×(4×25)=1000×100=____。课后练习：1.计算53+36+47+642.计算25×16×125第二讲：速算与巧算（二）知识要点：进一步学习速算巧算的技巧，包括减法的性质（一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和）、除法的性质（一个数连续除以几个数，等于除以这几个数的积），以及利用基准数法、拆数法、等差数列求和等方法进行计算。例题精讲：例1：计算1000-78-222分析与解答：78与222可以凑成整百数。根据减法的性质，1000-78-222=1000-(78+222)=1000-300=700。例2：计算999+99+9+3分析与解答：每个加数都接近整十、整百、整千数。我们可以把3拆分成1+1+1，分别与999、99、9凑整。即999+99+9+3=(999+1)+(99+1)+(9+1)=1000+100+10=1110。课后练习：1.计算800÷25÷42.计算1+3+5+7+...+19第三讲：平均数问题知识要点：理解平均数的意义，掌握平均数的基本计算公式：总数量÷总份数=平均数。能够灵活运用这个公式解决已知总数量、总份数、平均数中的两个量，求第三个量的问题。同时，学会处理一些较复杂的平均数问题，如移多补少思想的应用，以及平均数变化问题。例题精讲：例1：小明期末考试语文、数学、英语三科的平均成绩是92分，其中语文88分，数学95分，英语多少分？分析与解答：先根据“总数量=平均数×总份数”求出三科的总成绩：92×3=276（分）。再用总成绩减去语文和数学的成绩，即得英语成绩：276-88-95=93（分）。例2：有5个数，它们的平均数是18。如果把其中一个数改成10，那么这5个数的平均数就变成了16。请问，被改动的数原来是多少？分析与解答：改动前5个数的总和是18×5=90，改动后5个数的总和是16×5=80。总和减少了90-80=10。这说明被改动的数减少了10，所以原来的数是10+10=20。课后练习：1.某小组6名同学的身高分别是：142厘米、145厘米、144厘米、143厘米、146厘米、141厘米。求他们的平均身高。2.一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时平均每小时行60千米，后2小时平均每小时行50千米。这辆汽车全程平均每小时行多少千米？第四讲：等差数列初步知识要点：认识等差数列，理解首项、末项、项数、公差的含义。掌握等差数列的通项公式（第n项=首项+(项数-1)×公差）和求和公式（总和=(首项+末项)×项数÷2）。能够运用这些公式解决简单的等差数列问题。例题精讲：例1：等差数列3，7，11，15，...，第10项是多少？分析与解答：这是一个首项为3，公差为4（7-3=4）的等差数列。根据通项公式，第10项=3+(10-1)×4=3+36=39。例2：计算1+2+3+...+100的和。分析与解答：这是一个首项为1，末项为100，项数为100的等差数列。根据求和公式，总和=(1+100)×100÷2=101×50=5050。课后练习：1.等差数列5，10，15，20，...，第15项是多少？2.计算2+4+6+...+50的和。第五讲：定义新运算知识要点：理解定义新运算的含义，即根据题目中给出的新的运算规则进行计算。解题时，要仔细审题，严格按照新定义的运算规则，将数值代入，转化为我们熟悉的四则运算来求解。注意新运算符号在不同题目中的意义可能不同。例题精讲：例1：设a、b都表示数，规定a△b=3×a-2×b。求3△2和2△3的值。分析与解答：这里的“△”是新定义的运算符号。3△2=3×3-2×2=9-4=5。2△3=3×2-2×3=6-6=0。（注意：新运算不一定满足交换律，3△2和2△3的结果可能不同。）例2：对于两个数a与b，规定a⊙b=(a+b)÷2。求3⊙(4⊙6)的值。分析与解答：有括号时，先算括号里面的。先算4⊙6=(4+6)÷2=10÷2=5。再算3⊙5=(3+5)÷2=8÷2=4。课后练习：1.设a☆b=a×b+a-b，求5☆3的值。2.规定a#b=a-b×2，那么(8#3)#2=?第六讲：鸡兔同笼问题（一）知识要点：掌握“鸡兔同笼”问题的经典解法——假设法。假设全是鸡或全是兔，根据脚的数量差与实际脚数的差，求出另一种动物的数量。理解并记住基本的数量关系：（总脚数-总头数×鸡脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）=兔的只数（总头数×兔脚数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）=鸡的只数例题精讲：例1：鸡兔同笼，共有头35个，脚94只。鸡和兔各有多少只？分析与解答：假设全是鸡，则应有脚35×2=70（只）。比实际少了94-70=24（只）脚。每把一只兔看成鸡，就少算4-2=2（只）脚。所以兔有24÷2=12（只），鸡有35-12=23（只）。例2：停车场上停了汽车和摩托车共24辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有86个轮子。汽车和摩托车各有多少辆？分析与解答：这是鸡兔同笼问题的变形。假设全是摩托车，则应有轮子24×3=72（个）。比实际少了86-72=14（个）轮子。每把一辆汽车看成摩托车，就少算4-3=1（个）轮子。所以汽车有14÷1=14（辆），摩托车有24-14=10（辆）。课后练习：1.鸡兔同笼，共有头40个，脚112只。鸡、兔各几只？2.学校买了足球和篮球共15个，用去560元，已知每个足球28元，每个篮球42元。足球和篮球各买了多少个？第七讲：鸡兔同笼问题（二）知识要点：学习解决“鸡兔同笼”问题的其他方法，如分组法、方程法（初步感知），以及处理一些较复杂的鸡兔同笼变形问题，如已知头数差和脚数和、或者脚数差和头数和等。关键在于找准题目中的“鸡”和“兔”，以及它们对应的“头”和“脚”。例题精讲：例1：鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只。鸡、兔各多少只？分析与解答：假设兔增加10只，就和鸡的数量一样多，此时总脚数变为110+10×4=150（只）。把一只鸡和一只兔看成一组，每组有脚2+4=6（只）。所以鸡有150÷6=25（只），兔有25-10=15（只）。例2：某次数学竞赛，共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣2分，小明得了79分。他做对了多少道题？分析与解答：假设全做对，应得20×5=100（分）。比实际多了100-79=21（分）。每做错一题，不但得不到5分，还要倒扣2分，也就是与做对相比相差5+2=7（分）。所以做错了21÷7=3（道），做对了20-3=17（道）。课后练习：1.鸡兔同笼，兔比鸡少10只，共有脚160只。鸡、兔各多少只？2.小红参加数学竞赛，共15道题，每做对一道题得8分，每做错一道题倒扣4分，小红共得72分。她做对了多少道题？第八讲：行程问题（一）——相遇问题知识要点：理解相遇问题的基本概念：两个物体从两地出发，相向而行，经过一段时间后相遇。掌握相遇问题的基本数量关系：路程和=速度和×相遇时间相遇时间=路程和÷速度和速度和=路程和÷相遇时间能够画出线段图帮助分析题意，找准路程和、速度和与相遇时间。例题精讲：例1：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，经过3小时两车相遇。A、B两地相距多少千米？分析与解答：两车的速度和是60+50=110（千米/小时）。根据路程和=速度和×相遇时间，A、B两地相距110×3=330（千米）。例2：A、B两地相距240千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行70千米，乙车每小时行50千米。几小时后两车相遇？分析与解答：两车的速度和是70+50=120（千米/小时）。根据相遇时间=路程和÷速度和，相遇时间为240÷120=2（小时）。课后练习：1.小明和小红分别从相距2000米的两地同时出发，相向而行。小明每分钟走60米，小红每分钟走40米。经过多少分钟两人相遇？2.甲、乙两艘轮船从相距360千米的两个港口同时相对开出，甲船每小时行25千米，乙船每小时行35千米。几小时后两船相距180千米？（考虑两种情况）第九讲：行程问题（二）——追及问题知识要点：理解追及问题的基本概念：两个物体同向运动，速度快的物体从后面追上速度慢的物体。掌握追及问题的基本数量关系：路程差=速度差×追及时间追及时间=路程差÷速度差速度差=路程差÷追及时间能够通过线段图分析追及过程中的路程差。例题精讲：例1：甲、乙两人在同一条路上同向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行3千米。甲出发时，乙已经走了8千米。甲几小时后可以追上乙？分析与解答：这是一个追及问题，路程差是8千米，速度差是5-3=2（千米/小时）。根据追及时间=路程差÷速度差，甲追上乙需要8÷2=4（小时）。例2：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一列火车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地。在甲乙两地的中点处火车追上汽车，甲乙两地相距多少千米？分析与解答：汽车先出发5小时，行驶的路程为40×5=200（千米），这就是路程差。速度差是90-40=50（千米/小时）。追及时间为200÷50=4（小时）。火车追上汽车时，火车行驶的路程是90×4=360（千米），这是甲乙两地距离的一半。所以甲乙两地相距360×2=720（千米