【RJ版春季课程初二数学】第07讲 勾股定理综合复习 教案（教师版）

第第7讲讲勾股定理综合练习概述概述适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点数学思想方法的应用勾股定理及逆定理的应用勾股定理的实际应用教学目标掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。能运用勾股定理解决实际问题。能利用勾股定理逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形。通过实例了解勾股定理及其逆定理的应用，发展学生的逻辑推理能力和数字应用能力。教学重点用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。教学难点勾股定理及其定理的探索过程。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：一、课堂导入平地秋千未起，踏板一尺离地。送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。良工高士好奇，算出索长有几？这类数字“诗题“，初看起来感觉一筹莫展，似乎无处下手，但只要细品诗意（古时1步=5尺），画出图来，数形结合，应用本章所学内容，便可柳岸花明。二、复习预习实际问题(直角三角形的边长计算)实际问题(直角三角形的边长计算)勾股定理定理的证明面积法证互逆定理勾股定理的逆定理勾股数实际问题（判断直角三角形）二、知识讲解二、知识讲解考点1考点1数学思想方法数学思想方法的应用数学思想方法的应用应用一：方程思想应用二：转化思想应用三：数形结合思想方程思想方程是解决数学问题的重要工具，许多数学问题都可以转化为方程来求解。方程思想在本章中的体现：设直角三角形中某条边，根据已知条件表示其他两边，再以勾股定理为依据列方程求解。数形结合思想在勾股定理的探索验证中，较多地体现了数形结合思想，勾股定理是以“形”定“数”，直角三角形的判定是以“数”定“形”，因此，此定理有“数与形的第一定理”的美称。考点考点2勾股定理的应用当遇到含有直角三角形求边长的问题时，可试着应用勾股定理来求解，而当没有直角三角形时，有时需先构造直角三角形，再应用勾股定理求解。考点考点3勾股定理逆定理及应用应用一：求线段的长应用二：折叠问题中的勾股定理应用三：求面积考点考点4生活中的勾股定理及逆定理勾股定理及逆定理应用于生活应用一：生活中的勾股定理应用二：方位问题考点1一元二次方程的定义三、例题三、例题精析类型一数学思想方法例题1例题1已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10,求直角三角形的两直角边.【答案】解：设两直角边为3x,4x,由题意知3x2∴x=2,则3x=6,4x=8.故直角三角形的两直角边为6和8.【解析】已知两直角边的比,可设每份为x,根据勾股定理列方程求解。例题2例题2如图所示，A、B两村庄在河边CD的同侧，A、B两村庄到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,且CD=3km，现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管时工程费用为每千米20000元，在CD上选择水厂位置点P，使铺设水管的费用最少。并求出最少费用。【答案】解：作A关于CD的对称点A‘，连接A‘B交CD于O，则O点即为所求，如图所示，过A‘则A‘E=CD=3km,DE=ABE=BD+DE=3+1=4(km).在Rt△A‘EB中，A‘B=A‘∴OA+OB=A‘∴总费用为5×20000=100000（元）.类型二勾股定理及其逆定理的运用例题1例题1如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.用含x的代数式表示AC+CE的长度；请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？根据（2）中的规律和结论请构图求出代数式x2+4+【答案】解：（1）8-x（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小（3）如图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连结AE交BD于点C。即为求AC+CE得最小值，当点A、C、E在同一直线时AC+CE最小AE=x2+4+过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5,所以AE=AF2即x2+4+例题2例题2如图，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BDE的面积cm2．【答案】90．类型三勾股定理及其逆定理的运用例题1例题1如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？【答案】连结AC，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=（米），∵AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，该区域面积S=S△ACB﹣S△ADC=×5×12﹣×3×4=24（平方米），即铺满这块空地共需花费=24×100=2400元．例题例题3在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？【答案】设水深为x尺，则芦苇长为（x＋１）尺，由勾股定理得（x+1)2＝x2＋(10÷2)2X=12则水池的深度为１２尺，芦苇的长度为１３尺例题例题3如图，居民楼与马路是平行的，在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m，已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响．（1）试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车，能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响？（2）若时间超过25秒，则此路禁止该车通行，你认为载重汽车可以在这条路上通行吗？【答案】（1）∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，∴Rt△ACB中，BC=，Rt△ACD中，DC=，∴BD=80，∴80÷4=20（s），∴受影响时间为20s；（2）∵20＜25，∴可以通行．四、课堂运用四、课堂运用基础基础五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为（）A．B．C．D．3勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝10，则S2的值是。答案与解析1.【答案】C2.【答案】略3.【答案】略4.【答案】略巩固巩固已知平面上点A（-1，4），B（11，12），P（-5，），点P到点A和点B的距离相等，的值=_________.若一个三角形的三边长分别为1、、8(其中为正整数)，则以、、为边的三角形的面积为______．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求折痕MN的长度。如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且∠ABC=90°，连接AC.（1）求AC的长度；（2）试判断三角形ACD的形状.答案与解析1.【答案】232.【答案】243.【答案】略4.【答案】（1）∵∠B=90°，AB=1，BC=2，∴AC2=AB2+BC2=1+4=5，∴AC=（2）△ACD是直角三角形．理由如下：∵AC2+CD2=5+4=9，AD2=9，∴AC2+CD2=AD2∴△ACD是直角三角形．拔高拔高已知,如图所示,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合）,以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.（1）求证:①ΔBCG≌ΔDCE②HB⊥DE（2）试问当G点运动到什么位置时,BH垂直平分DE?请说明理由.在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.答案与解析1.【答案】略2.【答案】略五、课堂小结五、课堂小结掌握勾股定理及逆定理的应用掌握生活中的勾股定理及逆定理。了解并掌握勾股定理中的数学思想方法的应用。六、拓展延伸六、拓展延伸基础基础如果一个三角形一边的平方为（m2＋1），其余两边分别为m－1，m＋l，那么这个三角形是（）；A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形下列三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角之比为5∶6∶1B.一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、29D.三边之比为1.5:2:3如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形.(填“能”或“不能”).如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于cm．答案与解析1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】能4.【答案】略巩固巩固有两根木条，长分别为60和80，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条长度的取值范围_________.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米已知是△ABC的三边，且，试判断三角形的形状如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（）A、5B、5－5C、10－5D、5+答案与解析1.【答案】100＜＜1402.【答案】略3.【答案】因为，所以所以或，此三角形为等腰三角形或直角三角形.4.【答案】略拔高拔高如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一