人教版八年级上册数学 讲义 第01讲 与三角形有关的线段和角讲义+练习（学生版）

与三角形有关的线段和角适用学科初中数学适用年级初二适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点三角形的概念；三角形三边的关系定理及推论；三角形中的主要线段；三角形内角和定理；三角形的外角性质.教学目标了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题；认识三角形的高、中线与角平分线；会画三角形的高、中线与角平分线；了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点；掌握三角形内角和定理；理解三角形的外角；掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题.教学重点三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系；三角形的高、中线与角平分线；三角形内角和定理；三角形的外角和三角形外角的性质.教学难点用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形；三角形的角平分线与角的平分线的区别；理解三角形的外角.【知识导图】三角形内角三角形外角三角形内角三角形外角【教学建议】建议采用多媒体辅助教学，利用几何画板对三角形三边关系进行直观演示，通过两边之和小于、等于、大于第三边三种情况的演示.直观、生动地反映三角形三边关系.还有以及通过在不同的三角形中，各线段（中线、高、角分线）位置差别的比较，形成对基本概念的准确把握.1、三角形是我们早已熟悉的图形，例举出日常生活中的三角形物体；2、根据对三角形的了解画出一个三角形，复习已经学过的关于三角形的相关知识：三角形的面积公式、三角形的稳定性等.三角形的相关概念1、不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.2、组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点.3、三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.三角形的分类三角形三边的关系三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形的高从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D.注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线.再画出这个三角形AB、AC边上的高，三角形的三条高相交于一点。现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图.再画出一个直角三角形三边上的高，上面的结论还成立.请画出下列三角形的高三角形的中线如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝BC或2BD=2DC=BC.在图中画出△ABC的另两条边上的中线，三角的三条中线相交于一点.三角形的三条中线相交于一点，交点叫做三角形的重心.请画出下列三角形的中线三角形的角平分线如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC.三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的.三角形三个角的平分线相交于一点.如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论仍然成立.请画出下列三角形的角平分线三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°用平行线的性质证明内角和180°已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°.即：三角形的内角和等于180°.直角三角形的两个锐角互余由三角形内角和定理容易得到：直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形的一个重要性质，运用它可以解决直角三角形中交的计算问题.三角形外角的概念∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角共有六个.注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.三角形外角的性质三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角.如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？∵CM∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2又∠ACD=∠1+∠2∴∠ACD=∠A+∠B三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.【例题1】已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5B．10C．11D．12【例题2】下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）B．C．D．【例题3】如右图，在ΔABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C的度数是；【例题4】一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（）A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜3【例题5】有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4下列图形中具有稳定性的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（） B． C． D．1.如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远2.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？1.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=.1、对于三角形的概念学生在之前已有所接触，要注意三角形按边分类的分法，这是学生容易出错的地方，本节的重点和难点是“两边的和大于第三边，两边的差小于第三边”.2、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法.3、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律.4、探索和证明与三角形的角有关的结论，并运用这些结论解决问题.（三角形的内角和等于180°，直角三角形的两个锐角互余.）5、用平行线的性质与平角的定义给出这个结论的证明.6、三角形的外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.7、注意性质的灵活应用，及在计算中的应用.1.一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17B．15C．13D．13或172.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，已知∠ABC＝42°，∠A＝60°，求∠BFC的度数．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个