2026年四川省成人高考数学（理）全真模拟试题（含数列通项公式推导）押题秘籍

2026年四川省成人高考数学（理）全真模拟试题（含数列通项公式推导）押题秘籍考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数$f(x)=\ln(x+1)$的定义域是(A)$(-1,+\infty)$(B)$(-\infty,-1)$(C)$(-1,0)\cup(0,+\infty)$(D)$(-\infty,-1]\cup[0,+\infty)$2.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\cos\alpha$的值等于(A)$-\frac{4}{5}$(B)$\frac{4}{5}$(C)$-\frac{3}{5}$(D)$\frac{3}{5}$3.已知函数$g(x)=2^x-1$，则函数$h(x)=g(2x)$的反函数是(A)$y=\log_2(x+1)$(B)$y=\log_2\left(\frac{x}{2}\right)+1$(C)$y=\log_2(x-1)$(D)$y=\log_2\left(\frac{x+1}{2}\right)$4.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=5$，$a_4=14$，则该数列的公差$d$等于(A)3(B)4(C)5(D)65.若$|z|=2$，且$z$的实部为1，则$z$的虚部可能是(A)1(B)-1(C)$\sqrt{3}$(D)$-\sqrt{3}$二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。6.$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=$________。7.若$\tan\alpha=\sqrt{3}$，则$\sin2\alpha=$________。8.已知抛物线$y^2=2px$的焦点到准线的距离为4，则$p$的值等于________。9.不等式$|x-1|<2$的解集是________。10.已知$\{a_n\}$是等比数列，$a_2=6$，$a_4=54$，则$a_3$的值等于________。三、解答题：本大题共6小题，共100分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(本小题满分15分)求函数$f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-4}$的定义域。12.(本小题满分15分)已知$\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}$，$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha$为锐角，$\beta$为钝角，求$\sin\beta$的值。13.(本小题满分15分)在等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_3=8$，求数列的通项公式。14.(本小题满分20分)解不等式$2^{x+1}-3\cdot2^x+1>0$。15.(本小题满分20分)已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，求函数在区间$[1,4]$上的最大值和最小值。16.(本小题满分25分)已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=n^2+n$。(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；(2)设$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$。试卷答案一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(A)解析：函数$f(x)=\ln(x+1)$的定义域要求$x+1>0$，即$x>-1$。所以定义域为$(-1,+\infty)$。2.(A)解析：因为$\alpha$是第二象限角，所以$\cos\alpha<0$。根据$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，得$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=-\frac{4}{5}$。3.(B)解析：$h(x)=g(2x)=2^{2x}-1$。令$y=2^{2x}-1$，则$2^{2x}=y+1$，$2x=\log_2(y+1)$，$x=\frac{1}{2}\log_2(y+1)$。所以反函数为$y=\log_2\left(\frac{x}{2}\right)+1$。4.(B)解析：根据等差数列通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，有$a_4=a_1+3d$。代入$a_1=5$，$a_4=14$，得$14=5+3d$，解得$d=3$。5.(D)解析：设$z=1+bi$，则$|z|=\sqrt{1^2+b^2}=2$，解得$b^2=3$，即$b=\pm\sqrt{3}$。因为$\alpha$为钝角，所以$\sin\alpha<0$，故$\sin\beta=\sin(\alpha-\pi/2)=-\cos\alpha=-\frac{1}{2}$。所以虚部为$-\sqrt{3}$。二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。6.4解析：$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$。7.$\frac{\sqrt{3}}{2}$解析：因为$\tan\alpha=\sqrt{3}$，所以$\alpha=\frac{\pi}{3}$。$\sin2\alpha=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。8.4解析：抛物线$y^2=2px$的焦点为$(\frac{p}{2},0)$，准线为$x=-\frac{p}{2}$。焦点到准线的距离为$\frac{p}{2}-(-\frac{p}{2})=p=4$。9.$(-1,3)$解析：$|x-1|<2$等价于$-2<x-1<2$，解得$-1<x<3$。10.18解析：根据等比数列性质，$a_4=a_2\cdotq^2$。$54=6q^2$，得$q^2=9$，$q=3$（因为$a_4=54>0$）。$a_3=a_2\cdotq=6\cdot3=18$。三、解答题：本大题共6小题，共100分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.解：函数$f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-4}$的定义域需要满足以下条件：(1)被开方数大于等于0：$x-1\geq0$，即$x\geq1$。(2)分母不为0：$x^2-4\neq0$，即$x\neq2$且$x\neq-2$。结合以上条件，得$x\geq1$且$x\neq2$。所以函数$f(x)$的定义域为$[1,2)\cup(2,+\infty)$。12.解：因为$\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}$，且$\alpha$为锐角，$\beta$为钝角，所以$\alpha+\beta$为第三象限角或第四象限角。根据$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，得$\cos\alpha=\frac{4}{5}$（因为$\alpha$为锐角）。(1)若$\alpha+\beta$为第三象限角，则$\sin(\alpha+\beta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。$\sin\beta=\sin(\alpha+\beta-\alpha)=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=-\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$。(2)若$\alpha+\beta$为第四象限角，则$\sin(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt{3}}{2}$。$\sin\beta=\sin(\alpha+\beta-\alpha)=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{4}{5}-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$。综上所述，$\sin\beta$的值为$-\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$或$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$。13.解：根据等比数列通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$，有$a_3=a_1q^2$。代入$a_1=1$，$a_3=8$，得$8=1\cdotq^2$，解得$q^2=8$，$q=2\sqrt{2}$（因为$a_3=8>0$）。所以数列的通项公式为$a_n=1\cdot(2\sqrt{2})^{n-1}=(2\sqrt{2})^{n-1}$。14.解：令$t=2^x$，则不等式变为$2t^2-3t+1>0$。解一元二次不等式，得$(2t-1)(t-1)>0$。所以$t>1$或$t<\frac{1}{2}$。因为$t=2^x$，所以$2^x>1$或$2^x<\frac{1}{2}$。解得$x>0$或$x<-1$。所以不等式$2^{x+1}-3\cdot2^x+1>0$的解集为$(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$。15.解：函数$f(x)=x^2-4x+3$是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=2$。在区间$[1,4]$上，函数在端点$x=1$和$x=4$处取得极值。$f(1)=1^2-4\cdot1+3=0$。$f(4)=4^2-4\cdot4+3=3$。因为$f(1)=0$，$f(4)=3$，且$f(2)=2^2-4\cdot2+3=-1$。所以函数$f(x)$在区间$[1,4]$上的最大值为3，最小值为-1。16.解：(1)当$n=1$时，$a_1=S_1=1^2+1=2$。当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n$。所以数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n$。(2)$b_n=\frac{a_n}{2^n}=\frac{2n}{2^n}=\frac{n}{2^{n-1}}$。$T_n=\sum_{k=1}^nb_k=\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^{k-1}}$。$\frac{1}{2}T_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}$。两式相减，得$\frac{1}{2}T_n