2026年高考数学复习：指数与指数函数（七类重难点题型）原卷版+解析

专题2.3指数与指数函数

目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1指数运算、指数方程与指数不等式

重难点题型2指数函数的图像与性质

重难点题型3指数型“复合函数”的单调性与最值

重难点题型4指数中的“恒成立”问题

重难点题型5比较大小

重难点题型6指数的实际应用

重难点题型7综合应用

痴雌T测境J踵/逸M姆活期奏明莺懒通图切

ZHINENQJIANCE

重难点题型1指数运算■指数方程与指数不等式

・,・•«M・•・•・•・・・•・・•・•・•・・・・・・•■・■■■・■•・•・,・•・•・・■•・•・•・・■,・・・•・・■・■■•・•・•・・•■■•■•・・■■・・■•■・■■・■・■•・・■■・■・■,・■■■・■・■•・・■•・•・•・•・・・・・•・・・・■•・•・・■,・,・,・・■•・・■•・・・・・・

1.（2025•浙江嘉兴•二模）若实数。为满足e“e2i=l,则曲的最大值为（）

12

A.—B.C.-D.

1648

2.（2025•四川乐山•三模）已知21g2=.〃，10"=3»则］02的值为（）

6484272

A.一B.—C.一D.

9333

3.（2025•山西临汾•二模）已知2*。=3,kg5"=2,则〃一〃=（）

A.3B.1C.-1D.-3

4.（24-25高三上•江西抚州•阶段练习）若15gs2.f=6乂10叫3,则工=（）

A.60B.45C.30D.15

5.（2。25・陕西•三模）已知函数〃、）=筌，则/（念卜卜《品）+.+/

O

6.（2024•海南海口•模拟预测）已知邛=3,2^=-,贝1］。+。=.

重难点题型2指数函数的图像与性质

1.（2025•河北•二模）已知函数g（x）=以'辰+〃-"其中。力为常数，若函数〃力=/，的图象如图所示，

A.g（x）的图象与坐标轴有三个交点

B.g（x）的图象的对称轴在y轴左侧

C.关于x的方程g（x）=l有两个不等实根

D.g"）在区间（1,+8）上单调递增

2.（2025・全国・模拟预测）设直线y=根分别交曲线£：,=3，与曲线6：），=3，-2于加,N两点，若点2在6上,

满足为等边三角形，则m=（）

A.立B.述C.巫D.36

332

3.（2025•北京海淀•一模）函数/（力=/1+1（々>0）的图象一定经过点（）

C.（0,2）D.（0,1）

4.（2025高三•全国•专题练习）若函数/（刈=（;严+机-1至少有一个零点，则小的取值范围为（）

A.m<\B.〃？之1C.0</?/<1D.0<wz<1

5.（2022•全国•模拟预测）（多选题）在下列四个图形中，二次函数），=o?+云与指数函数）,=（'）的图象

可能是（）

6.（2025・贵州毕节•二模）已知函数/（x）=/i—2（。>。且。工1）的图象过定点P,则点P的坐标是.

7.（2023・山东济宁•一模）已知函数y=，T（〃>0且a"）的图象过定点4,且点A在直线

Qa

nix+2号=8（〃?>0,〃>0）上，则-----的最小值是_____.

inn2m

［-xr<0

8.（2023•河南郑州•一模）设函数/（4）=e'"则满足f（x+I）</（2x）的x的取值范围是.

1一儿/KZ

重难点题型3指数型〃复合函数〃的单调性与最值

1.（2025•山东济宁•二模）若函数/（"=在口,+>）上单调递减，则实数。的取值范围是（)

A.a<2B.a>2C.D.a>\

2.（2025・贵州毕节•二模）已知函数/（x）=e2f在区间［-1,3］上单调递增，则实数〃?的取值范围是（）

A.(-oo,-2]B.(-2,6)C.[-2,6]D.[6,-KO)

3.(23-24高三上•河南周口•阶段练习)已知函数/。)=22r〃.2，+4,若恒成立，则实数。的取值

范围为()

A.(-＜»,4]B.(YO,2]C.[4,-Ho)D.(2,+oo)

o

4.(2023•四川攀枝花•模拟预测)己知奇函数/3="+力，尸(〃＞。,"1)在卜川上的最大值为1,则。=

()

A.；或3B.g或2C.3D.2

5.(2024•广东深圳•一模)已知人工)=2-*-2，-%,则/(/一3)+/(2用＜()的解集为.

(Il

6.(2022•河南•模拟预测)函数/(6=4'-2川+3在口,大的值域为_____.

I2.

7.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数g(x)=/(2x-l).若g("的定义域为[-1,3],则/(x)的定义域

Z.、4—虫4-4小+a+l/|'

为:若g(x)=KJ,的值域为什小，贝IJa的取值范围是：,

8.(2022•福建龙岩•一模)已知函数八％)=9"-办3*+/力+6,若方程/(・乃+/(»=0有解,则实数加的取

值范围是

重难点题型4指数中的“恒成立问题”

・・■・一•・・・・■・・・一・・・・・■・・・■・■・・・一・・・・・・・・・■・・・・・■・・・・・■・・・■・■・・・■・・・・・■・・・■・■・・・■・・・・・■・・・■・■・・•一・・・・・■・・・■・・・・・■・・・・・■・・・■・■・・・一・・・・・・・・•一・■・・・■・・・・・■・・・■・

1.(2025•江西•二模)已知函数/(x)=2025—2025、若关于工的不等式/(r-1)+/,辰)〈。恒成立，则

'丈数。的取值范围为<>

A.(-oo,2)B.(-<o,-2)C.(2,+co)D.(-2,2)

2.(2025•全国•模拟预测)若不等式(3皿一9)(工-〃)之0在xeR上恒成立，月.a>0,b>0,则：的最小

值为()

3.（2024・四川成都・二模）已知函数“力=2---I的值域为M.若（1,y）三例，则实数。的取值范围是（）

bT

1

D.-,+oo

4

4.（2023•重庆•模拟预测）已知函数〃力=：三是定义在R上的奇函数，若不等式

/（时（切+/（2'-1-〃）40对任意的恒成立，则实数〃?的取值范围是

5.（20-21高三上•上海松江•期中）己知不等式4，-〃.2'+2>0,对于恒成立，则实数x的取值范

闹是.

6.（2004•湖南•高考真题）若直线y=2a与函数的图象有两个公共点，则。的取值范围是.

重难点题型5比较大小

1.（2025•河北石家庄•三模）已知a=206,b=0.5°\c=log20.9,则仇b,c的大小关系为1）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

2.（2025•天津红桥•二模）若。=ln2,2〃=5,c=202,则〃也。的大小关系为（）

A.c>a>bB.a>b>c

C.b>a>cD.h>c>a

3.（22-23高一上•浙江杭州•期中）已知a=k）go,9O.8/=O.8°9,c=O.908,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.h<c<aD.c<b<a

4.（23-24高一上•云南昆明•期末）已知a=l°g!兀,b=na,c=K,则（）

2

A.a<b<cB.c<a<hC.a<c<bD.h<c<a

5.（18-19高一上•福建漳州•期末）若4=4。鸳b=log415,c=8。"，则（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

/\2024

6.（23-24高一下•湖北•开学考试）比较。=（」_「，〃=2024短，0=咋症2024的大小（）

\2023）2023

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

重难点题型6指数的实际应用

1.（2025・浙江绍兴•三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，己经对地震有所了解，

例如，地震时释放出的能最E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2011年3

月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里

氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（）（注：及=1.414，雨=3.162）

A.30B.31C.32D.33

2.（23・24高一上•陕西西安•阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广

贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%,那么一年后是（1+1%产=1。产；如果每天

的"退步”率都是1%,那么一年后是（1-1%严=0.99侬.一年后“进步〃的是“退步”的瞿之［焉］3481倍.

如果每月的“进步”率和〃退步”率都是20%,那么大约经过（）月后“进步”的是“退步”的一万倍.

（lg2ao.3010,lg3ao.4771）

A.20B.21C.22D.23

3.：22-23高三上•江苏南通・期中）“碳达峰〃，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳

中和〃，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二

氧化碳“零排放〃.某地区二氧化碳的排放量达到峰值。（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量5（亿吨）

〃

与时间Z（年）满足函数关系式S=HV,若经过5年，二氧化碳的排放量为4丝（亿吨）.已知该地区通过植

5

树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放最为f（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至

4

少需要经过多少年？（参考数据：怆2。0.3）（）

A.28B.29C.30D.31

4.（2022•江苏连云港•模拟预测）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60C.一杯茶泡好后置于室

内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80C、65C，给出三个茶温丁（单位：C）关于茶泡好后

置于室内时间，（单位：分钟）的函数模型：①7="+可。＜0）；②③

7=20+4"（〃＞（）,根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温丁（单位：C）关

于茶泡好后置于室内时间/（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为

（）（参考数据：1g2«（）.3,lg3^0.5）

A.1分钟B.2分钟C.3分钟D.4分钟

5.（2021•云南昆明•三模）已知某物种经过x年后的种群数量），近似满足冈珀茨模型：），=4.8'如、伏＞0），

当工=0时，y的值表示2021年年初的种群数最.若年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群

数显的;，则，的最小值为（参考值：足3a.09）（）

A.9B.10C.11D.12

6.（2021•黑龙江齐齐哈尔•二模）碳-14测年法是由美国科学家马丁•卡门与同事塞缪尔•鲁宾于1940年发现

的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律'=乂/山（表示的是

放射性元素在生物体中最初的含量M）与经过时间/后的含量N间的关系，其中冗二半（丁为半衰期）.已

知碳-14的半衰期为5730年，No=1.2xl（T\经测量某地出土的生物化石中碳-14含量为4*101，据此推

测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据log？3=1.585）（）

A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年

重难点题型7综合应用

e'_

1.（2023•浙江温州•三模）已知函数/（力=二一--</，存在实数%，/，，豆使得

e+e-

/（苔）+/（巧）++/（苟1）=/（线）成立，若正整数〃的最大值为6,则。的取值范围为（）

一35）（37-

A.-B.-

23）125

-73W37]「35、（53-

2.（2025•广东茂名•一模）（多选题）已知函数/（"二套，，则（）

A.当〃>0时，/（》）是增函数

B.当avO时,/"）的值域为（2,y）

C.当。=1时，曲线），=/"）关于点（04）对称

D.当。=4时，VxeRJ（h+l）+/（2-d）<2,则一24<2

出使得£/'«）=/（七）成立,

3.12023•上海徐汇•一模）已知函数/（x）=,存在实数苦，W，

乙I/1-1

若正整数〃的最大值为8,则正实数〃的取值范围是.

[jx-2+a,x>2

4.（2024♦北京海淀三模）设函数，"）=｝优_2|x<2（。>0且〃¥1）.给出下列四个结论:

①当〃=2时，存在/,方程/"）=/有唯一解；

②当ac（O,1）时，存在f,方程/（1）=，有三个解;

③对任意实数。（〃>0且。工1）,f（x）的值域为[0,位）；

④存在实数〃，使得在区间（6+8）上单调递增；

其中所有正确结论的序号是.

专题2.4指数与指数函数

'目录•重难点题型分布

序号题型

重难点题型1指数运算、指数方程与指数不等式

重难点题型2指数函数的图像与性质

重难点题型3指数型"复合函数”的单调性与最值

重难点题型4指数中的“恒成立“问题

重难点题型5比较大小

重难点题型6指数的实际应用

重难点题型7综合应用

重难点题型1指数运算、指数方程与指数不等式

1.(2025•浙江嘉兴•二模)若实数。，〃满足e“e26T=1，则而的最大值为()

I11

A-C-A-

6B.248

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】求二次函数的值域或最值、指数累的运算

【分析】由指数运算可得»=1,再由二次函数可得而的最大值.

【详解】因为e好x=l,所以e“+2J=e。即〃+2b=1,

<1\2

故ab=b(l-2b)=-2b—+L<L^ab<-,当且仅当b时等号成立,

<4,888

故面的最大值为。,

O

故选：D.

2.（2025・四川乐山•三模）己知21g2=〃?，0=3,则[（）网卢的值为（)

64c82&

A.—D.

9.3—

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】指数事的运算、指数式与对数式的互化

【分析】根据指数式与对数式的互•化以及指数塞的运算性质计算即可.

【详解】由21g2=加可得10,=2,又因为。=3,

(mV

3m102

所以3m-2n,QTJ兀8,

102=-^—

10”10"3

故选：B.

?,

3.（2025•山西临汾•三模）已知2吗=3,log55=2,则（）

A.3B.1C.-1D.-3

【答案】B

【难度】0.94

【知以点】指数暴的运算、对数的运算

【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解.

【详解】由2吟=3，1%5嗔2可得2吟=。=3,1吗5"=〃=2,

则a—b=\,

故选：B

4.（24-25高三上•江西抚州•阶段练习）若15喻$2.[=6x10际3,则f=（）

A.60B.45C.30D.15

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】指数基的运算、对数的运算

【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可.

【详解】因为15%r=6x10*3,

6x101*36xl0,ogls36xl0k,g,s3

所以/==3x]()k叫5〉吟，$2

IS*'2K10嗝s22xl0loc,s2

=3x102=30'

故选:C.

5.（2。25・陕西三模）已知函数”加筌，则《篇卜（高卜（备）++/

【答案】2783

【难度】0.65

【知识点】由函数对称性求函数值或参数、指数辕的化简、求值

【分析】将/（司=要］化为+可得“工）+/（2-力=£。由此采用两项并项求和,

即可求得答案.

3

【详解】由"一"。1知,

八）一2%1

2#T_i则小）二七嗡产,

f(x)—a+bk

设-2=—r-'：一+r(凡R))，

11

a+b=4

T2¥-'-1

对照系数，得、3则.

a-b=—5即小）=5；2v-'+l

2b

4

115(2X-'-I2,-x-l1152r-'-lJ2T11

则f(x)+/(2-x)=--2---1'—4[・2^+\+2'^+\=-----1-----------------------+1-------------

24I2V-'4-11+2'-'~2

（\i

\/（X）的图象关于点C，zj中心对称;

2k、=?M=1,2,,1012.

故/

iol3；2

2146'2024、

即/+/+/

1013；10131013

2024、/4、2022、10121014

+/++/+/

+/1013；1()13

1013,<1013>U)13

=—x506=2783,

2

故答案为：2783

Q

6.（2024•海南海口•模拟预测）已知2-，2t=-,则〃+。=

【答案】3

【难度】0.94

【知识点】指数幕的运算

【分析】利用指数的运算法则计算即可.

Q

【详解】由题可知2"，=2"x2"=3x]=8=23na+〃=3

故答案为：3

重难点题型2指数函数的图像与性质

■(■•・(・(・(・•・(■(・■■(・•・•・•・(・•・(■・■■■■■・■(・(・・・•・(・■■•■(■(・■■(・(・(・•・(・(・(・(■•・■・■■(■(・・■・■・■•・■■•■(・(・(・(・■・(・•・(■■■(■(■■■■■■■(■>■(・t・(・•■•■■■■■■■(■•■

1.(2025•河北•二模)已知函数g(工)=0^+区+。一〃，其中〃为常数，若函数=的图象如图所示，

A.g(x)的图象与坐标轴有三个交点

B.g(A)的图象的对称轴在>'轴左侧

C.关于大的方程身(力=1有两个不等实根

D.g(x)在区间(l,+oo)上单调递增

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、根据指数型函数图象判断参数的范围、

根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即

得.

【详解】因=;函数"X)的图象在R上为减函数，则。即得">1,乂图象经过

3a

点即/㈠)=&)=1,故得〃+1=0,解得0=7,

I44+4。-1

于是，鼠力=加-1+々+1,易得该抛物线开口向上，顶点坐标为

2a'4。

对于A,因函数），=四±±」="-!-+1在（i,y）上单调递增.

4a4a

则"-5+1＞1一；+1=（＞°'即g（“）的图象与x轴没有交点，

又g（x）的图象与丁轴有唯一交点，即屋力的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；

对于C,关于x的方程g（x）=l的实根个数，等于直线y=l与曲线g（x）的交点个数，

由A项，因4内4aL,则直线），=|与曲线g"）的交点个数为0,故c错误；

4。4

对于B,g（x）的图象的对称轴是直线工=9（。1）,在y轴右侧，故B错误；

对于D,因g（x）的图象对称轴：在区间（L+8）上单调递增，故D正确.

故选：D.

X

2.（2025•全国•模拟预测）设直线旷=加分别交曲线C,:y=3与曲线C2:y=3一于M,N两点,若点。在G上,

满足..PMN为等边三角形，则〃2=（）

A.立8.正C.—D.3G

332

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】对数的运算、指数函数图像应用

【分析】求出户点坐标，代入函数解析式求解.

【详解】由3*=加得穴=唾3〃?，BlW（log3m,m）,由广？=用得x=log3〃?+2,即N（log3m+2,小）,

所以|MN|=2,PMN为等边三角形,如图，则夕（嚏3加+1,〃2-6），

所以〃l6=3喻"解得机=1叵，

3.（2025•北京海淀•一模）函数/（戈）=/1+1（々＞0）的图象一定经过点（）

C.(0,2)D.(0,1)

【答案】A

【难度】0.85

【知识点】指数型函数图象过定点问题

【分析】根据题意只需要/I为定值即可，则2x7=0,即可求得.

【详解】令2x—l=0,则x=g,

则f（；）=l+l=2,

所以函数的图象一定过点（；,2；

故选：A.

4.（2025高三•全国•专题练习）若函数/。）=（；/+机-1至少有一个零点，则机的取值范围为（）

A.m<\B.m>\C.0<z?/<lD.0<wz<1

【答案】C

【难度】0.85

【知以点】指数函数图像应用、根据函数零点的个数求参数范围

【分析】根据题意，问题转化为）、=，严与y=i-，〃的图象有交点，数形结合求解.

【详解】函数〃幻=（!尸+/，一有零点，则方程《严+m一1=0有根，即（1国=1一〃?有根,

JJJ

因此函数y=（；尸的图象与直线丁=|-，〃有交点，

而函数y=（g尸是R上的偶函数，在。侪）上单调递减，函数y=g尸的值域为（0J,

在同一坐标系内作例函数》=（；产的图象与直线y=i-m，如图，

观察图象知，当且仅不0<1-〃即0金〃<1时，函数），=（$国的图象与直线），=1-〃?有交点,

所以加的取值范围为04m<1.

故选：c

5.（2022•全国•模拟预测）（多选题）在下列四个图形中，二次函数），=o?+尿与指数函数的图象

可能是（）

【答案】ABD

【难度】0.85

【知识点】判断指数型函数的图象形状、二次函数的图象分析与判断、函数图像的识别

【分析】根据〃力，0的关系与各图形一个个检验即可判断.

【详解】当。＞〃＞0时，A正确；当人＞々＞0时，B正确；

当0＞。＞〃时，D正确；当0＞〃＞。时，无此选项.

故选：ABD.

6.12025•贵州毕节•二模）已知函数/（力=。31-23＞。旦，21）的图象过定点P,则点。的坐标是.

【答案】加

【难度】0.94

【知识点】指数型函数图象过定点问题

【分析】利用/0=-1可得p的坐标.

【详解】由函数解析式可得：当且仅当标-1=0时，/（力的值与。无关，

故定点P的横坐标为g,故纵坐标为=故尸

故答案为：

7.（2023•山东济宁•一模）已知函数产。Fa〉。旦〃工1）的图象过定点A,且点A在直线

Q3

〃2丫+7ny=8（〃7>0,〃>0）上，则----=的最小值是_____.

nm2m

9

【答案】J

16

【难度】0.65

【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、指数型函数图象过定点问题

/、83163

【分析】求出函数所过的定点则有加+2〃=8,则2〃=8-m，则嬴一/=m（8_.）一五？化简

整理，分离常数再结合某本不等式求解即可.

【详解】函数1“Fa>0且。工1）的图象过定点A。』）,

则m+2n=8，所以2〃=8—〃2，

,〃00

’2〃=8-6>0'得0v〃?<8,

则_8___3_=163=32-3（8一加）=3-+8

inn2m—2m2用（8—〃-2，〃'+16/〃

令1=36+8,1E（8,32）,则加=二,

3

J____3___________z__________9/

2

则嬴―布—rz_8Y16（/-8）--2/+80/-512

9、99

80_（力+第80-2,2/邛16，

8

m=—

当且仅当力=」512，即1=16,即:3时，取等号，

t8

〃=一

3

QQQ

所以9一三的最小值是

rnn2m16

9

为：记

p-'r<f）

8.（2023•河南郑州♦一模）设函数〃x）='；则满足〃x+l）〈/（2x）的x的取值范围是

■】,人/V*

【答案】（-8,0）

【难度】0.85

【知识点】指数函数图像应用、解分段函数不等式

【分析】作出/5）图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.

e'r<（）

【详解】函数/（x）二,'二的图象如图所示，

Lx>0

满足/(犬+1)v/(2x)可得<0<x+1或2x<x+1<0.

解得X£（YO,0）.

故备案为：（-°。，。）.

重难点题型3指数型“复合函数〃的单调性与最值

•・•・・■•・•・(・(・•・•・•・・■・■•・(・(・•・(・(・•・•・•・(・(・•・(・(・(・(・•・•・•・•■・・•・(・I・•・(・•・•・•・(■・■•・•・(・(・•・•・•・・■■■•■(・,・•・•・・・・■•・•■•■■■

1.（2025•山东济宁•二模）若函数/（x）=旷在［1,+8）上单调递减，则实数〃的取值范围是（)

A.a<2B.a>2C.a<\D.a>\

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性

【分析】=是由）,二（》"与〃一如复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调

性确定内层函数单调性，进而求出〃的取值范围.

【详解】/（x）=（5/“是由y=（；）“与〃=V一很复合而成，

在y=（》"中，％=：,,所以y=g）“在R上单调递减.

因为八公=（；/3在口，内）上单调递减，且外层函数尸（夕在R上单调递减，

根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数〃=/一6•在［1,-）上单调递增.

对于二次函数-幺，其图象开口向上，对称轴为4=-m=4.

2x12

二次函数在对称轴右侧单调递增，要使〃-g在［1,位）上单调递增，

则对称轴需满足］41，解得。工2.

故选：A.

2.（2025・贵州毕节•二模）已知函数〃x）=e2i*在区间［T3］上单调递增，则实数〃?的取值范围是（）

A.(-oo,-2]B.(-2,6)C.[-2,6]D.[6,+co)

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】由指数（型）的单调性求参数

・\

【分析】令〃=|2x-日，利用复合函数的单调性可得出［-l,3］qy,+oo,可得出关于实数机的不等式，解

之即可.

-2x+m.x<—

【详解】令〃=|2x—时=«2

/、

2x—，〃，>—m

2

则函数〃=|2x-"?|的减区间为18段,增区间为3，+8,

又因为函数/（x）=/"甸在区间卜1,3］上单调递增，且外层函数y=e"在R上为增函数,

所以，［一l，3］qg+s）可得葭V—1,解得〃区一2,

因此，实数机的取值范围是

故选：A.

3.（23-24高三上•河南周口•阶段练习）已知函数〃.0=22，-〃2+4,若/（幻20恒成立，则实数〃的取值

范围为（）

A.（-<0,4］B.(-oo,2]C.[4,-KO)D.[2,-K»)

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、根据指数函数的最值求参数

44

【分析】参变分离可得〃42'+斤恒成立，结合基本不等式求出2、+捷■的最小值，即可求出参数的取值范

围.

【详解】因为，（幻20恒成立，即22，-夕2'+420恒成立，

所以。42,+短恒成立，又由2，+*22向京=4（当且仅当1=1时取等号），

所以a«4.

故选:A.

4.（2023•四川攀枝花•模拟预测）已知奇函数/（刈=。'+/”小（＞0,。，1）在卜1』上的最大值为（贝陷=

（）

A.；或3B.g或2C.3D.2

◊

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数、根据指数函数的最值求参数

【分析］根据奇偶性求得人，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可.

【详解】因为是奇函数，所以〃-力=-〃力，所以〃T）+〃X）=0.

即「+/?.优+/+"优"=0,则仅+1）（/+。7）=0,解得人=一1,

经检验力=-1符合题意，所以/（"=优-。r,

当6＞1时，

a

则函数y="在［—1』上单调递增，丁=d'=（£|"在［—1』］上单调递减，

所以/（力=炉-#'在卜1』上单调递增,

Q

所以，/U）„ux=/（!）=«-«-'=-，整理得3/一8。一3=0，

解得4=3或。=-，舍去），所以6=3；

当（）＜々＜1时，-＞1,

则函数y="在卜3］上单调递减，y在［T，1］上单调递增，

所以〃力二优-『在k1』上单调递减，

所以，/ULax=/(-1)=«-'-«=!»整理得3/+&L3=0，

**

解得或。=-3(舍去)，所以。二(

综上，a=g或3.

故选:A.

5.(2024•广东深圳•一模)已知3)=2—2-,则/(-—3)+/(2x)v0的解集为.

【答案】(F,-3)U(Le)

【难度】0.65

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函

数奇偶性解不等式

【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得.

【详解】函数/。)=2-*-2-工的定义域为R,==-/(•),则/(x)是R上的奇函数，

函数>=2-、,y=-21y=r在R上都单调递减,则函数f(x)在R上单调递减,

不等式f(x2-3)+/(2x)<0=/(?-3)<-/(2x)=/(-2x),因此式一3>-2x,

即/+2》-3>0,解得x<-3或x>【，

所以原不等式的解集为(f,-3)ua,y).

故答案为：(Y0,-3)U(1,+8)

6.(2022•河南•模拟预测)函数/(力=4、-2刈+3在1-8,1的值域为.

【答案】［2,3)

【难度】0.65

【知识点】求指数型复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域

【分析】令2、=/,结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】解：/(x)=(2r)2-2x2r+3=(2^-l)2+2,

设2、f,

当上€(­'；时’0<t6五，所以24(/一1『+2<3,

(il

所以/(x)在-8,弓的值域为［2,3).

故答案为：［2,3).

7.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数g(x)=/(2x-1).若g(”的定义域为［-1,3］,则/("的定义域

z-x4ar2-H4-4a).v+«+l/[-

为：;若g(x)=KJ,“X)的值域为(。，1,则〃的取值范围是：.

【答案】［-3,5］{1}

【难度】0.65

【知识点】抽象函数的定义域、根据指数函数的最值求参数、已知f(g(x))求解析式、求二次函数的值

域或最值

［、〃/十2*+3

(IJ,根据指数函数可得

了=奴2+2%+3的值域为［2,内)，结合二次函数运算求解.

【详解】若g(x)的定义域为［73］,BP-l<x<3,则2X-1«-3,5］,

所以/(力的定义域为［-3,5］