集合【6大考点】-2027年高考数学一轮复习解析版

1.1集合

4大考点汇总

考点01集合的含义与表示

考点02集合间的基本关系

考点03集合的基本运算

考点（）4集合的新定义

题型专练

考点01集合的含义与表示

1.下列给出的对象中，能组成集合的是（）

A.与给定4,B等距离的点B.比较小的数

C.兀的近似值D.3班的高个子同学

【答案】A

【详解】对于A,描述的对象”与给定A,8等距离的点〃确定，是线段A8的垂直平分线，故A中的对象能构

成集合；

对于B,描述的对象“比较小的数〃中，"比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对•象不

能构成集合；

对于C,描述的对象"兀的近似值"中，"近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构

成集合；

对于D,描述的对象“3班的高个子同学〃中，"高个子〃没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的

对象不能构成集合.

2.已知集合从={1,2/2},B={0,4},若ACB={4},则实数人.

【答案】±2

【详解】因为Ac8={4},所以4wA.

得我2=4,解得，k=±2.

当％=2时，A={1,2,4},满足Ac8={4}；

当女=—2时，A={1,2,4},满足Ac8={4}；

综上所述，k=±2.

3.已知元素ae{O,l,2,3},且aw{0,l,3},则。的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从〃的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定。的

值

【详解】由ae{0,l,2,3},可知。的可能取值为0,1,2,3；

再由a£{04,3},可排除取值0、1、3；

因此〃的取值只能为2.

4.设集合A={1〃M，8={a,a\ab}t若A=B,则4切6_户25的值为.

【答案】1

【分析】首先由集合元素的特征得。工1,再由集合相等分/=|和"=1两种情况解得.

【详解】由集合A=B={aya\ab\,得〃工1,

又因为4=8,则/=1或必=1,

当02=1时,a=-\,A={1,T力},3={-1,1,-力},

于是〃=一/九得〃=0,因此/0?6一〃2025=（—1）2026一（）2。25=|；

当必=1时，集合A={1M，N，4={a",]},有〃="，则/=1,解得〃=]与〃工]矛盾，舍去

因此一b””二l.

5.设A={x,x2,.。},B={l,x,y},其中x,），eR,若A=8，则》诬-023=.

【答案】1

【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解.

【详解】3={l,x,y},由元素互异性得：xwl,且），工1.

A={x,x\xy],由元素互异性得：XHO.

若集合A中V=l,则x=T,此时A={T[,-»，5={l-l,v},

由A=B得一>=）',所以产0,此时x=-l,产。符合要求；

若集合A中个=1,则f=y,比时町，=丁=1,

..X=l,这与矛盾，故这种情况不成立,

综上可知x=—1,，,=0,故y2024一无2023=1

6.已知集合”{xeNk”},则集合八{xcN'k/A}的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】集合/3={xeN'k&4}={l,2,3,4},共有4个元素，故选B.

考点02集合间的基本关系

7.设集合A={xwZ,<5}1={1,2,3},则AcB的子集的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】A={-2,-1,0,1,2},B={1,2,3),所以4c3;{1,2},所以AcB的子集的个数为4.

8.已知集合4={才2vx<5},Bm-2<x<2/77-11.

⑴若〃?=5,求8；

(2)若B=0,求实数用的取值集合；

(3)若8中有3个整数，求实数加的取值集合；

(4)若求实数m的取值集合；

⑸若求实数加的取值取值集合：

【答案】(l)A={x|3Vx«9}

(2){，〃|〃?〈一1}

(3){1}U[1.5,2)<J(2,2.5)

(4){m13W/〃W4}

(5){〃[l〃？<一1}

【分析】(1)略

(2)略

(3)根据区间长度得24(2/〃-1)一("7-2)<4,解得1匕〃?<3,接下来再分〃1=1,1<”?<2,〃z=2和2<"?<3,

根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解；

(4)根据集合的包含关系确定参数范围；

(5)根据集合的包含关系确定参数范围.

【详解】(1)因为〃1一5,8={力〃2<A-<2m1},所以8=(x|3W,vW9).

(2)因为8={x\m-2<x<2，〃一1},

若4=0,则/"一2>2/〃-1,解得〃”一1,

所以实数〃?的取值集合为{〃?I〃?vT}.

(3)因为8={W〃-2W2〃L1},8中有3个整数,

所以24(2〃7-1)一(6一2)<4,解得

当〃?=1时，B={A]-\<X<\},符合题意，

当1VmV2时,-l<m-2<0,l<2/7/-1<3,

若8中有3个整数,则2S2〃L1V3,即L54mv2,

此时集合4中的整数为0,1,2,符合题意；

当〃?=2时，B={^0<x<3],不符合题意；

当2<相<3时，0<nz-2<1,3<2/72-1<5,

若3中有3个整数，则3<2根一1<4,即2<,〃<2.5,

此时集合8中的整数为L2,3,符合题意；

综上所述，实数用的取值集合为{1}31.5,2)52,2.5).

(4)当4=3时・，如图，此时

I1>.

m-2252w-lx

则-2既,即因此利的取值集合为{M3W〃W4}.

2in-1>5,

(5)当5W0时,如图,

in-2>2,{in>4,

此时,解得♦加<3,,此时无解;

2m-1>rn-2,m>-1,

2w-22/w-l5^

当8=0时,由帆-2>2"?-1,解得

综上可得：，”的取值集合为{/〃

9.已知集合人={乂/_1公+40=0},B={4,〃+l,/+i},若AqB,则实数〃的取值集合为()

A.{9}B.{-3,3}C.{-3,9}D.{-3,3,9}

【答案】C

【详解】令f—14X+40=0,解得X=4或X=10,所以A={4,10}.

因为AqB,所以。+1=10或4+1=10,解得。=9或〃=一3或a=3.

经检验：当〃=3时，4={4,4,10}与集合中元素的互异性矛盾.

所以实数〃的取值集合为{-3,9}.

10.已知集合人=国-3。式2},八{小加}且AqB,则实数a的取值范围是.

【答案】(9,一3]

【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可.

【详解】解：由AqB,则A集合中的所有元素必须属于5集合，

所以"V—3,即〃的取值范围为

11.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|f-3x+m=0).

(1)当/〃=2时，求M八N=；

(2)当“cN=M时，则实数〃?的值为.

【答案】{2}2

【分析】(1)根据交集的定义求解即可：

(2)由用cN=M,可得MqN,再根据集合的包含关系求解即可.

【详解】(1)由题意得加={2},当〃?=2时\/V={x|x2-3x+2=0)={l,2},则Mp|N={2}.

(2)因为McN=M,所以M=N,因为M={2},所以2eN,

所以2是关于x的方程f-3x+/〃=0的解，即4-6+"?=0,解得〃?=2.

故答案为：{2}：2.

12.已知集合4={刈1-1|<2},8={小，+(小一1)工一2"『+〃?<()},其中〃?

⑴求集合A中的所有整数；

(2)若他力08=0,求实数/〃的取值范围.

【答案】⑴集合人中的所有整数为0/，2

(2)-11

J

【分析】(1)先根据题意化简集合A,进而写出集合A中的所有整数即可；

(2)先根据题意化简集合8,再根据集合之间的关系得到8鼠A,进而分类讨论即可求出用的取值范围.

【详解】(1)由|x-l|v2,解得-l<x<3,则4=何-1<]<3},

所以集合A中的所有整数为0J2.

(2)X2+(〃2-1)工-2/〃2+m=(x+2m-1)(x-/??)<0,

当机=；时，/n=l-2/n=1,此时8=0,满足题意；

JJ

当机时，1一2小>：,所以加〈”<1一2〃7,即8={x|m<工<1-2机},

又(％A)c8=0,则8=A,

即一14，〃<1一2〃243,解得一IWmvg,

3

所以加的取值范围为.

考点03集合的基本运算

13.已知集合知={4,5,6,7,8},N={_r|则M「N=()

A.{6,7}B.{5.6,7}c.{4,5,6,7}D.{5,6,7,8}

【答案】B

x—4<3

【详解】则〈解得5Kx<8,

jr-5>0

.'.{A-|5<X<8},MAN={5,6,7}.

14.已知U={123,4,5,6,7},A={2,4,5},5={1,3,5,7},则AC|(©B)=()

A.{2}B.{2,4}C.{2,4,6}D.{2,4,5,6}

【答案】B

【详解】由。={123,4,5,6,7},3={1,3,5,7},得Q/={2,4,6},

而A={2,4,5},则An&B)={2»4}.

15.已知全集为R,集合4={工|工<-2或x>3},8={-2。2,6},则3A)c8=()

A.{-2,0,2}B.{-2,0,3}C.{-2,2,6}D.{0,2,6)

【答案】A

【详解】由于A={xk<-2或x>3},8={-2,0,2,6},

所以a4={x|-2WxW3},

所以他A)c8={-2,0,2}.

16.已知集合■=•yly=(g,集合8={xeZ|/-2X-3<。},则*4=()

A.(-1,3)B.(0,3)C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解.

【详解】由题意，得4={)，1)，>0},3="£力—lvxv3}={O,L2},所以An3=",2}.

17.已知集合4=­：3<1},集合8=卜,-依+3<0}.

(1)当。=4时，求AIJ8；

(2)若4口8=8,求实数。的取值范围.

【答案】(1)AUB={H-1<XV3}

(2)

【分析】(1)首先求出集合A8,再根据集合并集求解即可.

(2)根据4口8=8得到再根据集合之间的包含关系求解即可.

【详解】(1)由题意得号<10"一1==<00-1<%<2,

X-2X-2X-2

所以A={x|-1vxv2},

当a=4时，3=卜,-4x+3<()}={x|(_r-={x|l<x<3},

Au3={乂-1<x<3},

(2)・・・4。8=8,

①若4=0,则△=/-i240，解得一2石工。石2百；

②若要使5=则/(司=/一奴+3应满足.

A>0“-26或

,a_-2<。<4

-1<—<2,解得2G<a[,

2,up-

a>-4

”-1”。

/（2）>0

2

综上所述，所求实数a的取值范围是-2月;.

18.设全集为（7=上已知集合A={疝W2i工8},8=例〃?+IWXW2〃L1}

⑴当帆=3时，求(Q，A)U3；

(2)若=求实数刑的取值范围.

7

【答案】（1）（+A）u8={x|x<l或xN]}

5

（2）mm<->

2

【分析】(1)将m=|代入，化简集合48,再由集合运算求出即可；(2)4八8=3等价于分8=0

与3工0两类讨论求解即可;

【详解】(1)因为】工2一七8,BP2°<2X_,<23>

所以0WX-1W3,UPl<x<4,

所以A={知KxK4}.

577

当/〃=一时，B=<x-<x<4\,

222

所以=或

(2)因为=所以4cA.

当B=0时，满足BqA,所以"7+1〉一I,即"?<2,

当3工0时，加、2,又因为

7774-1>I

所以需满足

2m-1<4

可解得<〃?2<m<-|

综上所述，所以”的取值范围为

考点04集合的新定义

19.定义集合=且x壬耳，已知集合4={1,。},B={2,b},若A-B={1},则下列一定成立的

是（）

A.a=2B.Z?工1C.Ap|8={2}D.3-A={2}

【答案】B

【详解】因为集合村一区=卜,€人小任耳，集合A={l,a},集合3={2,耳，A-B={\},

所以leA且1/B，aeB,bw\,b*2,

选项A：因为。所以a=2或者。=〃（且满足集合元素的互异性）：

选项B：因为1史8目方={2,可，所以〃二1一定成立：

选项C：当。=6=3时,集合A={1,3},集合8={2,3},Ac3={3},C错误；

选项D：当a-2,3-3时，集合4={1,2},集合B={2,3},B-A={3}fD错误.

20.当集合S是R的子集且S的元素个数有限，称S的所有元素之和为S的“厚度〃.集合{-LQ2,3,5,7,9}的全

部非空子集的厚度之和为（）

A.3200B.1600C.1550D.800

【答案】B

【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可.

【详解】根据题意，任意•个元素在非空子集中的出现次数为：2'T=2'=64.

集合{T,02,3,5,7,9}的元素之和为-1+0+2+3+5+7+9=25.

所以集合{-1，。23,5,7,9}的全部非空子集的厚度之和为：64、25=1600.

21.已知集合"={123,4},AQM,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只

有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为〃.

（1）若〃=3,则这样的集合A共有个；

（2）若〃为偶数，则这样的集合A共有个.

【答案】213

【分析】根据"累积值''的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可.

【详解】（1）若〃=3,据“累枳值〃的定义得同={3}或人={1,3},这样的集合A共有2个；

（2）集合”的子集共有2"=16个,

其中“累积值''为奇数的子集为{1}、{3}、{1,3},共3个，所以“累积值〃为偶数的集合共有13个.

22.对任意正整数〃，记集合4={(《，•，…，凡)|4，。2,…，4均为非负整数，且4+令+…+。”=〃}，集合

纥={佃也,…也)M也，…也均为非负整数，且自+a+…+2=2〃}.设。=(〃/2,…，％)e4,

)=(伪也，…也卜纥，若对任意/{1,2,…都有qK々，则称

⑴写出集合&和层；

(2)取火=(1,0,2),写出两个用中的元素片、⑸，使得/工力1=3,4)；

(3)证明：对任意awA.，存在纥，使得

【答案】⑴4={(0,2),(1,l)Q0)},B2={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1卜(4,0)}

(2)A=(2,2,2),&=(2,1,3)(答案不唯一)

(3)证明见解析

【分析】(1)根据集合4与4的公式，写出集合和即可；

(2)设力.二(4也也)(i=3,4),由题意可得，，由此可得出两个满足题设条件的元素四、人;

4+4+4=6

(3)任取。=(4生，…q)eA，设4=4+l(j=L2,3,…㈤,令£=佃也,…也)，只需证明心£纥,即可证

明结论成立.

【详解】(1)由题意得4={(0,2),(1,1),(2,0)},B2={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.

>1

b2>0

(2)设笈=(a也也)«=3,4),由%=(1，°，2)以及4«〃可得,

4之2

4+仇+冬=6

故满足题设条件的两个元素可以为四=(2,2,2),4=(2,1,3).

(3)对任意a=(《,出,…M“)W4,设〃=q+l(i=l,2,3,…

则4、仇、L、”均为非负整数，且qW2(i=l,2,3「、〃).

令,=(〃|也，…也)，则4+4+…+"=8+1)+3+1)+…+3+1)=(4+«2+•••+«„)+/?=2/1,

所以尸€纥，且aWQ.

23.对任意正整数〃，定义集合4=｛（%,毛,玉,品）1一〃工七工〃、七eZ/=l,2,3,4｝.设。=（4，4，64）,

产=（4也也,打）£4定义：a_0=1%-3%_.%一",a「bj,a/=q仇+生么+〃4+”也.

（1）（-1,2,0,3）&（填"e〃或"£"）；A%（填"仁"或"2"）;

（2）设a=（2,0,2,5）,£=（5,2,0,2）,A,,a-A=fi-A=0,求人；

（3）证明：对任意a/wA，存在义€儿，满足：。彳=夕）=。，且九2工0.

【答案】⑴任；G;

（2）2=（0,0,0,0）

⑶证明见解析

【分析】（1）3@｛-2,-1,0,1,2｝,故（-120,3））&,｛-1,0,1｝是｛-2,-1,0,1,2｝的真子集,故“&；

（2）a-A=2cl+2cy+5c4=0,2G+2q为偶数，g必为偶数，推出C4=0,此时G+q=0,又

产冗=5。+2c2+2C4=0,同理可得q=0,c2+c4=0,求出答案;

（3）设。=（4,4，。3⑼）£4/=（4也也也）wA，由绝对值不等式得到时48,〃eZ,同理可得同48"eZ,

而&中有5,=625个元素，625>172=289,所以必存在人中的两个不同的元素力，%，令）=%-%，满足

要求.

【详解】⑴显然31{-2,-1,0,1,2},故(-1,2,0,3)」&,

A={(百,X2,A3,X4)|-1^X,-<1,X,.eZ,z=l,2,3,4},

A2={(Aj,x2,x3,x4)|-2^x.eZ,/=l,2,3,4|,

由于｛TO4｝是｛-2-1,0,1,2）的真子集，故A之&,

(2)设/1=亿勺,。3，6)€&，则qw{-2,-l,0J2},i=l,2,3,4.

,：a-k-2q+2c3+5c4=0,

Hq必为偶数，因此c”｛-2,0,2｝.

当q=-2时，q+q=5,与q+qK4矛盾;

当C4=2时,q+c3=-5,与q4-c3>-4矛盾；

所以c）=0,q+。3=0.

又因为力•4=5q+2c2+2c1=。，所以同理得G=0工2+。4=0.

所以t|=c2=c3=c4=0,2=（0,0,0,0）.

（3）设。=M，%,&,%）£A，6=（4也也也）金4，

则e{-1,0,1},/=1,2,3,4,

任取7=亿,。2，。3，。4）£&，令。=。•/*=£•7,

则awZ,问=|。£+。3c3+|W|+1^2|+|a,c3|+pz4c4|<8,

所以aw{-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8},

同理be{-8,-7,-6,-5,<-3,-2.T,0,1,23,4,5,6,7,8},

而人中有5,=625个元素，625>172=289>

所以必存在4中的两个不同的元素了,%，使得改7=8%，£%=6Z，

令％则且。」=夕/1=0且

24.给定正整数〃（〃23）,记集合\={（&%「.,人）以=0或1（j=1,2,…,〃）且X；+后+…+,r；00}.对于由S“

中的三个元素组成的子集{（4,4门“）伍也,一也）,化,。2，,・、。〃）}，若满足对于任意，€{1，2人、〃},4+〃+q

均为偶数，则称该三元子集具有性质T.

⑴在S3的子集中，写出一个具有性质7的三元子集；（结论不要求证明）

（2）证明：在1的子集中，不可能选出10个两两交集为空集，且具有性质7的三元子集：

⑶在52026的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质丁的三元子集？说明理由.

【答案】⑴故答案不唯一，如{（1,0,0）,（0,1,0）,（1,1,0）}

（2）证明见解析

?2026_|

——理由见解析

3

【分析】（1）根据集合的新定义直接求解；

（2）利用反证法，结合集合的新定义证明即可；

（3）分别分析$2,S-S6中满足条件的子集个数，类比得出结论即可.

【详解】(1)由题意,S”={($,.，…，%),=0或l(j=12…川且+…+110),

ups3={(i,o,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(o,u),(i,u)},

则满足性质T的三元子集不唯一,如{(1Q0),(0J0),(1,1,0)}.

31

(2)由题意，S5中共有25-1=31个元素，故最多能选出-=10个两两交集为空集的三元子集.

将中所有元素的第一个分量求和(一个元素可以看成一个数组，