人教版高中数学必修2考点训练 专项强化03：复数（解析版）

专题强化03：复数

【题型归纳】

>题型一：复数的基础概念

>题型二：复数的分类

>题型三：复数的几何意义

>题型四：复数的模

>题型五;复数代数形式的四则运算

>题型六：共扼复数

>题型七：复数的立方问题

>题型八：复数的最值问题

>题型九：复数的综合问题

【题型探究】

题型一：复数的基础概念

1.（23-24高一下•山东临沂•期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（）

（1）实数的共舸复数是它本身

（2）复数的实部是实数，虚部是虚数

（3）复数与复平面内的点一一对应

（4）复数i是最小的纯虚数.

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【分析】根据复数的共规复数的定义判断命题（1），根据实部和虚部的定义判断命题（2）,根据复数的几何意义判

断（3）,根据复数的定义判断（4）.

【详解】因为复数2=。+〃（。力eR）的共挽复数—历，

若z为实数，则6=0,此时£=4,命题（1）正确，

复数z=a+/）iS/wR）的实部为。，虚部为

好数z=a+/（a/eR）的虚部是实数，（2）错误；

因为复数z=〃+万©R）在复平面上的对应点为（〃1）），

复平面上的点（。,〃）对应复数z=〃+6i,（3）正确；

复数不能比较大小，命题（4）错误,

故选：C.

1

2.(23-24高一下•江苏苏州•期末)复数z=±+(l+i)2,则［的虚部为()

55.55.

A.-B.-1C.——D.——1

2222

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解•.

【详解】7^=7T^^=O=；+；i，a+i)2=2i,

l+i(l-i)(l+i)222

所以复数出+(1+1)2—(十31+21—3十£乙

•••彳=:-£，虚部为

故选：C.

3.(23-24高一下•浙江宁波・期末)已知复数z=a-i的实部与虚部相等，则|z-i|=()

A.&B.x/5C.25/2D.V10

【答案】B

【分析】由实部与虚部概念可得。=T,代入计算可求出结果.

【详解】易知z=a-i的实部为。，虚部为-1,

由题意可知a=-1,

则|z-i卜=|-］-2"==旧.

故选：B

题型二：复数的分类

4.(2324高一下•上海•期末)=是“z=(/-3〃?+2)+(〃?-2)i是纯虚数”的()条件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

【答案】D

【分析】依题意得，［"7〃：2=。即可求解.

〃L2/0

【详解】解：z=(机2-3〃?+2)+(〃?一2户是纯虚数,

m2-3m+2=0

则得，〃=I,

〃？一2w0

则'=I"是“z=+2)+(阳-2)i是纯虚数”的充要条件,

故选：D

2

5.(23-24高一下•海南海口•期中)已知复数Z=2+ai,aeR,z2=l-2i,若五为纯虚数，则㈤=()

A.V2B.2及C.石D.275

【答案】C

【分析】利用复数的除法及纯虚数的意义求出〃，再求出复数的模.

「华毓、的师在4二2+.=(2+〃i；(l+2i)=2—2〃+(〃+4)i

【详解】依感意，z?]_2i("2iXl+2i)5'

z.[2-2a=0

由,为纯虚数，得“八，解得。=1,即Z=2+i,

z21a十4/0

所以IZI|=\112+i2=6-

故选：c

74.1—

6.(23-24高一下•江西•阶段练习)已知复数马=悬/2=3+而(mwR),若yz2为纯虚数，则实数〃，的值为()

A.-2B.-3C.2D.3

【答案】D

【分析】根据复数的乘、除法运算可得々=1-i,利用共趣复数的概念与复数的乘法运算，结合纯虚数的概念建立

方程组，解之即可求解.

7+i(7+i)(3-4i)

【详解】因为复数=\'=Ji,Z2=3+1i,

3+41(3+41)(3-41)

所以N|z?=(1-i)(3-疝)=(3-阳)一(阳+3)i,

一13-6=()

因为马々2为纯虚数,所以11M+3=0,解得机=3.

故选：D.

题型三：复数的几何意义

7.(24-25高一上•浙江杭州•期中)设复数z满足z(l+i2°23)=2(i为虚数单位)，则复数亍在复平面内对应的点在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共枕复数，最后求出对应点的坐标即可得解.

22

【详解】由题意zuTFvu=m+i，所以亍=1—i，

1+i1—1

则复数亍在复平面内对应的点。，-1)在第四象限.

3

故选:D.

2024

8.（23-24高一下•辽宁•阶段练习）复数2=二909上4i一（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】根据更数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解」因为“空型二20241=202宙-2024,T）-7。⑵,

1+il+i1+i（l+i）（l-i）

所以z在复平面内对应的点为（1012,-1012）,位于第四象限.

故选：D.

・•）（P4

9.（2324高一下•河北•期中）在复平面内，设i是虚数单位，则发数匕二一的共枕狂数对应的点位于（）

2+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】由上二二=，得-三+Ei,然后根据共枕复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限.

2+i2+i55

【详解】由题意知，

2+i2+i（2-i）（2+i）555

I3

其共辄复数为-三-审，

JJ

所以在复平面内对应的点为位于第三象限.

故选：C.

题型四：复数的模

1（）.（24-25高一上•湖南邵阳•期末）已知复数z=l-i（i为虚数单位），则|b—2罚=（）

A.2及B.75C.3及D.V2

【答案】D

【分析】由好数的四则运算，模的计算公式即可求解.

【详解】因为z=l—i,所以iz-25=i（l-i）-2（l+i）=-l-i,|iz-25|=a.

故选：D.

11.（2024・浙江・一模）已知复数z=l-i（其中i是虚数单位），则F+W（）

A.2B.1C.72D.而

【答案】C

4

【分析1利用共物复数的定义、复数的四则运算化简复数z2+5,利用复数的模长公式求解即可.

【详解】因为z=l-i,贝iJz2+Z=(l—i『+l+i=—2i+l+i=l—i,

所以卜2+目="+(_])?=72.

故选：C.

12.（23・24高一下•黑龙江大庆・期中）已知复数马后在复平面内所对应的点分别为则三+1=（）

z\

A.*B.1C.41D.2

【答案】C

【分析】根据复数的除法和复数模的概念即可得到答案.

【详解】由题意得Z=l-i/2=l+i，

&+]=—=(1+4

+1=—+]=l+i,

4i-i(l+i)(l)2

则&+i=|i+i|=Vi.

z\

故选：c.

题型五;复数代数形式的四则运算

13.（23-24高一下•天津河东•期中）计算:

22

小7-贞m（l-2i）（2+i）

（1）二一-:（2）―—T------；~—:

1+13-414-31

【答案】（l）-l-8i

小749.

（2）----------1

V72525

【分析】（1）利用复数的除法运算法则求解即可;

（2）利用复数的四则运算法则化简求解即可.

【详解】（1）原式=:^=(7-9i)(l-i)-2-16i-2-16i

1+1(l+i)(l-i)1-i22

/C、23+4i3+4i(3+4if(3+4i)(4+3i)_7-24i25i=749.

3-4i4-3i2525252525251

5

14.(23・24高一下•黑龙江鸡西•期中)计算

(l-i)(l+2i)

(l)5i-[(3+4i)-(-l+3i)](2)(3)(2—i>.

l+i

【答案】(l)-4+4i(2)2-i(3)3-4i

【分析】(1)根据复数的加减法法则求解：

(2)根据夏数的乘除法法则求解：

(3)根据复数的乘法法则求解.

【详解】(1)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]=5i-(3+4i)+(-l+3i)=5i-3-4i-l+3i=-4+4i；

(l-i)(l+2i)_(l-i)2(l+2i)-2i(l+2i)

(2)=-i(l+2i)=2-i

l+i-(l+i)(l-i)—

(3)(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.

15.(23-24高一下•广东佛山•期中)计算：

⑴(-3-4i)+(2+i)-(l-5i)(2)(6+6)(-6+6)⑶警-碧

2-312+31

【答案】⑴-2+2i(2)-5(3)2i

【分析】(1)根据复数的加、减法运算求解；

(2)根据复数的乘法运算求解；

(3)根据任数的除法运算求解.

【详解】(])由题意可得：(_3_4i)+(2+i)_(l_5i)=(_3+2—l)+(-4+]+5)i=_2+2i.

(2)由题意可得：(退+")(-6+6)=-(/丫+(6户2=一3-2=-5.

…3+2i3-2i(3+2i)(2+3i)(3-2i)(2-3i)6+13i+6i26-13i+6i2~

3田"总口2_3i2+3i(2—3i)(2+3i)(2+3i)(2-3i)1313，

题型六：共挽复数

16.(23-24高一下•福建福州•期中)若复数z满足N・(l-2i)=l+i,则z的共扰复数为.

【答案】-1-|i

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,即可求出其共轲复数.

【详解】因为z-(l-2i)=l+i,

…l+i(l+i)(l+2i)l+2i+i+2i?13.

见以l-2i(l-2i)(l+2i)555

13

所以z的共规复数为

6

故答案为：-1-

JJ

17.（23-24高一下•陕西安康・期中）若复数z=-l+Gi,5为z,的共扼复数，则」^的虚部为__________.

平2-1

【答案】g

3

【分析】根据共视复数的概念可得Z2=-l-石i,即可由复数的除法运算求解.

【详解】由马=—l+Vii可得［=—1—"i,所以Z2=-l-Gi,

故4一（一1+后）竽’故虚部为?

平2-1卜1+后）（一1一6）一1

故答案为：走

3

18.（23-24高一下•福建福州•期末）已知（l+2i）z=4+3i,则复数z

【答案】2+i/i+2

【分析】利用复数四则运算及共规复数的定义可得答案.

/、4+3i(4+3i)(l-2i)10-5iC.

【详解】因为(l+2i)1+3i,所以"币T蜀M=M=2T,所以"2+i

故答案为：2+i

题型七：复数的立方问题

19.（21-22高一下•河南安阳•阶段练习）定义：若z2=a+bi（〃,bwR）,则称复数z是复数〃+/>i的"方根.根据定义,

复数9-40i的平方根为（）

A.3-4i,-3+4iB.4+3i,4-3i

C.5-4i,-5+4iD.4-5i,-4+5i

【答案】C

【分析】设复数9-40i的平方根为x+yi（x,yeR）,然后平方后根据复数相等即可得出结论.

【详解】设更数9-40i的平方根为x+M（x,yeR）,则（x+力=9-40i,

化简/一丁+2^i=9-40i,所以一一/=9,2xy=-40,解得

x=5,»=-4或工=-5,歹=4,即复数9一40i的平方根为5-4i或-5+4i,

故选：C

20.（22-23高二下•湖南•期中）若复数3+i为方程/+,以+〃=0（加，〃eR）的一个根，则该方程的另一个根是（）

A.-3-iB.3-iC.i-3D.i+3

【答案】B

7

【分析】根据实系数方程的虚根成共柜复数求解即可.

【详解】根据实系数方程的虚根成共匏亚数可知，另一个亚数根为3T.

故选：B.

(4-3i)2(3-i)6

21.(23-24高一下•上海•期末)计算:

(l-2i)

【答案】1000

【分析】利用复数的运算性质化简即可求解.

(4-3火8-8)3」4一球x|8—6i『_(J/+3»x(正+G,

【详解】原式=

(-3-4N|-3-4i|2

25x1000

=1000.

25

故答案为：1000.

题型八：复数的最值问题

22.(23-24高一下•江苏苏州•期中)已知复数z满足=则|z-2+4i|(i是虚数单位)的最小值为()

A.V17-1B.4C.V17+ID.6

【答案】B

【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果.

【详解】设2=》+其，则由|z-l|=ln(x—l)2+V=i,

所以复数n在复平面内对应的点坐标在(1,0)为圆心，1为半径的圆上，如卜.图所示:

而2+2+4“=，(工+2)"+()'+4)~,

即求复平面内点(xj)到(-2,-4)距离的最小值,

由圆的几何性质可知当点(xj)位于(-2,-4)与圆心(1,0)点连线交点时，取到最小值,

即^(-z-l)7+(-4-0)?-1=4

8

故选：B

23.(23-24高一下•广东深圳•期中)已知,为虚数单位，若复数n满足lS|z十1十2i|S2,则|z-2十3i|的最人值为()

A.V10+2B.710-2C.V10+1D.V10-1

【答案】A

【分析】利用好数的模的几何意义作出图形，将求复数的模的最值转化为求两点之间距离的最值问题解决即可.

【详解】

如图，由复数的模的几何意义可知，

满足14|z+l+2iK2的点Z的轨迹是以点C(-L-2)为圆心，半径分别为1和2的两个圆组成的圆环内的区域(含内

外圆弧).

而|z-2+3i|可理解为圆环区域内的点(含内外圆弧)到点。(2,-3)的距离

由点与圆的位置关系可知，当且仅当点Z在线段尸。的延长线与大圆的交点处时，距离d取得最大，

为"max=附|+2=J(2+iy+(-3+2)2=2+而,即|z—2+3i|的最大值为2+厢.

故选：A.

24.(23-24高一下•河南•阶段练习)13世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数

及其运算具有了几何意义，例如|z|=|OZ|,即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离,设复数

z=x+yi(x,yeR),且|(x-2)+(y—3)i|=正，则|z+l|的取值范围是()

A.[而-五,而+匈B.[N/13-1,^+1-

C.口直2,3忘I2]D.[2V2,4>/2]

【答案】D

【分析】利用复数的模的几何意义可得卜-2)+()，-3川二及表示动点2(.3)到定点”(2,3)的距离为定长后，

|z+l|的几何意义表示动点Z(xj)到定点力(-1,0)的距离，据此可求解.

【详解】由|(x-2)+(y_3)i|=|(x+川-(2+3i)卜亚,

可知其几何意义表示动点Z(x,歹)到定点〃(2,3)的距离为定长亚，

9

则动点Z（x,y）的轨迹是以“（2,3）为圆心，半径为血的圆.

同理，|z+l|=|"（-l）|的几何意义表示动点到定点力㈠⑼的距离.

因为网=J（2+l）2+（3-0）2=3&,所以2拒4+1区46.

故选：D.

题型九：复数的综合问题

25.（23-24高一下•上海•期末）已知复数Z=a+i,z2=\-ai（aeR,i是虚数单位）

（1）若Z-z2在复平面内对应的点落在第二象限，求实数。的取值范围；

11；2025

⑵若4是实系数一元二次方程/-（。+1户+〃=0的根，且z：+〃环（MR）是实数，记z=—+—求|z-l|的

Z1z,m+n\

【答案】（1）（T1）;

【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解；

（2）根据韦达定理求得〈力然后利用复数运算法则化简得z；+,叫=m+（2+〃?）i,利用该复数为实数列方程得

n=2

I1i202551

…，从而代入”录+三+£宝化简得Z二yi,最后利用复数模的运算求解即可.

【详解】(1)因为复数4=a+i,z2=\-ai,所以z「Z2=。一l++

/、[tz-l<0

其对应的点为(。-由题意°+]〉0,解得-

即实数〃的取值范围为

(2)由题意知x?-(a+l)x+〃=O的两根为|_出，\+a\,

[(l-ai)+(l+ai)=2=a+l(a=\

所以।「，所以,，所以1l+i,Z2=l-i,

[(I-41)(1+41)=〃[77=2

因为z；+s=(a+i)2+/»(a+i)=(l+i)2+m+mi=m+(2+m)i为实数，

所以2+iw=0,即〃?=一2,

b-11i202511i20251-i1-HiJT51

所以Z=1---1------=----1--F-----=——I--—4------=斗=--

z1z2m+n\1+i1-i-2+2i22-2+2i444

10

所以|z-h/；l=2

26.（23-24高一下•山东烟台•期中）欧拉公式e“=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它

将指数函数的定义域扩大到复数集.

i1fl-iY024i-i3

⑴若复数z=j+5居J-熹，求|小

⑵在复平面内复数4=e'z?=应-后对应的向量分别是以，万，其中O是原点，求向量布对应的复数Z.

【答案】（1小卜也

小723拒.

（2）z=---------------1

22

【分析】（1）利用复数的四则运算法则及i的周期性，再利用复数的模公式即可求解；

（2）根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解.

1+i(l+i)x(-i)11_.

(l+i)2=_2T=2ix(-i)2~2X

所以|z|=JP=,・

（2）因为力与=0与一07,

所以/二与一2]=V2-41\-(cosNsin印在出

44)22

27.（23-24高一下・四川内江・期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧

拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.

材料：形如z="bi（a力wR）的数称为复数的代数形式.而任何一个复数z=〃+力i都可以表示成〃（cos0+isin0）的形

a=rcosG

式，即,其中「为复数z的模，。叫做复数z的辐角，我们规定0<0<2兀范围内的辐角。的值为辐角的

b=rsinO

II

主值，记作argz.复数z=r(cosO+isin。)叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若

0Z}=/,(cosq+isin4),OZ?=r2(cos凡+isin0?),则

4(cosq+isina)G(cosa+isine2)=f2[cos(a+a)+isin(a+冬)].其几何意义是把向量西绕点o按逆时针方向

旋转角名(如果。2<0,就要把西绕点0按顺时针方向旋转角同|),再把它的模变为原来的4倍.

请根据所学知识，回答下列问题：

(1)试将z=i-6•写成三角形式；

出设复数3=2〃-//2=26+匕="切，且|23|=1.若复数4、22在复平面上对应的点分别为48：且。为复平面

的坐标原点.向量砺逆时针旋转90后与向量次重合，求实数。，力的值；

(3)已知单位圆以坐标原点。为圆心，点A为该圆上一动点(纵坐标大于0),点?(2,0),以/>/为边作等边△产力。，

且。在力尸上方.求线段。。长度的最大值.

【答案】(l)z=2(cos与+isin系)；

(力2)«=--1,/?A=---;

22

(3)最大值为3.

【分析】(1)根据复数的三角形式的定义直接求解即可；

“一+3=9+1

(2)解法一：由题意得卜6=0,解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解

a~+b~=1

即可；

(3)解法一：设/(cosasine),e«om),方所表示的复数为而所表示的复数为个，根据复数的三角形式求出

。的坐标，从而可表示出|。。|,化简变形后可求出其最大值；解法二：连接04,设

\PA\=\PQ\=\QA\=/,ZOPA=a,Z.POA=0,然后利用正余弦定理求解即可.

【详解】(1)由于z=l—Gi，故目=2,所以z=2(；—4i],

k227

所以cos6=；,sine=一,，

因为0«。<2兀，所以0

所以z=2cos—+isin—；

12

网=1词

(2)法一：由题意知〈次•砺二0,

㈤印

儿2+3=+1

得4而-8=0

。由2=1

因为08逆时针旋转9(r后与w重合，所以〃=」1=-巫：

22

法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，兔数z?乘以一个模长为1,辐角为90,的复数z。,

即为复数Z-故Z2・Z°=(2b+i)-i=Z1=24—Gi,

故四-6,所以"」，”一

[~\=2a22

(3)解法一：设力(cosasinJ),ee(0,7t),

方所表示的复数为z4,而所表示的复数为4，则Z4=cos6-2+isin8,

故°cos!6>--1+1,sin0--+

L..(aiTi

\I6j

所以当sin("£)=l时，|0。|取得最大值3,

故线段。。长度的最大值为3.

解法二：连接CM,®|P^|=|Pfi|=|0/<|=Z,Z.OPA=a,Z.POA=0,

由\OA\=1,在“OP中可得cosa='+4~~-=’”,

4/4t

在“OP中可得/2=冬，于是sin6=fsina,

sinasin6/

13

在“OP中可得I+IPO『-21OP|-IOZ|co，于是“=5-4cos8,

在4QOP中可得|0。|2=\OPf+\PQf-2pP|-|P。tosa+g

化简得|O0『=1+2Gsin0+9=5+4sin[°-四]«9.

22V6J

故|。。|的最大值为3.

【点睛】关键点点睛•：此题解题的关键是对所给材料的正确理解，然后利用材料中的知识解决问题.

【专题强化】

一、单选题

28.（24-25高一上•湖南娄底•期中）复数上卫的共恢复数是〃+bi（%b€R）,i是虚数单位，则点根涉）为（）

1

A.（1,2）B.（2,1）C.（2,-1）D.（1,-2）

【答案】B

【分析】根据复数除法运算和共视复数概念即可得到答案.

【详解】—=^3^=2-i,则其共挽复数为2+i,

i

则点（aM即为点（2,1）.

故选：B.

29.（23・24高一下•安徽黄山•期中）若复数2=阳+1+（m-1）迫〃£2：1的共枕复数三对应的点在第一象限，则小的值

为（）

A.-1B.0C.1D.±1

【答案】B

【分析】由共物复数的定义求出三，再根据复数的几何意义求解.

【详解】由题，z=w+l-（,n-l）i,彳对应的点在第一象限，

77Z+1>0

则〃1<。,可得一f又“为整数,所以〃"O.

故选：B.

14

30.(23-24高一下•湖北武汉•期中)已知复数z满足z(l—i)=|l+if,则2=()

A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i

【答案】B

【分析】计算出|l+i「=2,利用复数除法法则计算出z=y1y=1+i.

【详解】|l+g疝T=S，故z(l-i)=|l+if=2,

1-i(l-i)(l+i)2

故选：B

31.(23-24高一下•江苏无锡•期末)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是()

A.i+i3+/+i7是纯虚数

B.若z(l+i)=2,则z是方程/7+1=。的一个复数根

C.若zwC,则K[二|z「

D.若复数N满足1<|W<2,则复数Z在复平面内对应的点所构成的图形面积为兀

【答案】C

【分析】根据虚数i运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的

计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确.

【详解】对于A中，由i+F+i‘+i7=i-i+i-i=0，不是纯虚数，所以A不正确；

对于B中，由z(l+i)=2,可得z==j，

因为(1一"-(l-i)+l=-2i-l+i+l=-i*0,

所以z不是方程/—x+i=o的一个复根，所以B不正确：

对于C中,设复数z=a+6i,(a,bwR),可得z?=/一/+2如,

所以卜卜价/一万丫+伽斤=)+8,

又由讨=("2+从y+/,所以忖2=,,所以C正确;

对于D中，设2=3+八(”，€R),rti1<|z|<2,可得1<储+产<4,

所以复数z在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环，

其中小圆的半径为1,大圆的半径为2,其面积为5=71x2?-兀xf=3兀，所以D错误.

故选：C.

15

32.(23-24高一下•湖北•期中)已知复数2=空二其中i为虚数单位，加wR,若z为纯虚数，则复数N+m在复

1-1

平面内对应的点在第()象限

A.-B.二C.三D.四

【答案】A

【分析】先化简生数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出z+〃?的对应点即可.

(I+wi)(1+i)(1一〃?)+(1+/〃)i

【详解】因为z=八.、•、二、―y———

(J)(l+i)2

若z为纯虚数，则1-〃?=0,即加=1,

则z=i,z+m=1+i在复平面内对应的点为(1,1),

则复数Z+机在复平面内对应的点在第一象限.

故选：A

33.(23-24高一下•上海松江•期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：c'、=cosx+isinx，其中e是

自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到匆:数，建立了三角函数与指数函数的关联，在

复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.e守的虚部为i

B.复数卡在复平面内对应的点位于第二象限

.eir-e-it

C.sinv=-------

2

D.若4=j,Z2=e〃i在复平面内分别对应点4Z，则面积的最大值为衣

【答案】D

【分析】代入x=g即可判断A；代入x=:即可判断B：对等式右边进行代换化解即可判断C；代入x=g,再计算

243

相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D.

【详解】对于A,或=85巴+1而四=「其虚部为1,A错误；

22

对于B.e^=cos-+isin-=^+^i,复数/在复平面内对应的点位于第一象限，B错误；

4422c

对于Ce,x-e"_cosx+isinx-[cos(-x)+isin(-x)]

cos.r+isinx-(cosx-isinx).._______

=-------------------------=isinx,故C错误：

2

对于D,z.=e^'=cos—+isin—=-^-+^4>z,=e"=cos0+isin。，

3322

22

|OZj|=J(-)+(—)=1，|oz2|=JcMe+sin。=1,

16

因此AOZZ2的面积为：；|OZjOZjsin(e-*=；sin(e-争，AOZZ面积的最大值为/D正确.

故选：D

二、多选题

34.(23-24高一下•安徽黄山•期中)已知复数z=P(i是虚数单位)，则下列结论正确的是()

A.复数z的虚部等于—2iB.zz=45

C.z+z=-2D.若。是实数，z+〃是纯虚数，则。=1

【答案】CD

【分析】先化简复数z,然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共加复数，及复数的运算逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，复数“不一二'个八.、-T—2i,

1+1(1-1)(1+1)

对于A项：z=-l-2i,所以复数z的虚部等于-2,故A错误；

对于B项：ZZ=|Z|2=5,故B错误；

对于C项：z+z=(-l-2i)+(-l+2i)=-2,故C正确；

对于D项：因为z+a是纯虚数且。是实数，即2i为纯虚数，所以解得。=1,故D正确.

故选：CD.

35.(23-24高一下•江苏无锡・期中)已知4/2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是()

A.若㈤金，则-1KZ|K1B.若㈤+目|=0,则z=z2=0

C.D.若zpz?,则z「Z2>0

【答案】BCD

【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC.

【详解】对于A,马是复数，如马="由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；

设4=a+b\,z2=c+d\,a,b,c,dGR,

对于B.由㈤+卜2|=0,得心+从十招+『=0,则。2+〃=0,。?+/=0,

因止匕a=6=c=d=0,4=22=0,B正确；

对于C,z,z2=(a+bi)(c+di)=ac-b(U(bc+ad)i,|々z?|二J(ac+(1c+ad)?

2z2222222222

=yjac+bd~+bc+ad=+b*+d°)=\/i+b-4+d=\zJ|z2|,C正确；

17

对于D,由Z1>Z2,得马/2都是实数，因此Z1-Z2>0,D正确.

故选：BCD

36.(24-25高三上•江西抚州•阶段练习)设Z，z?为复数，且2尼工0,则下列结论正确的是()

A.KakklHIB.4+Z2=4+Z2

C.若㈤=㈤,则z；=z；D.zcz2=z^z2

【答案】ABD

【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.

【详解】设4=。+〃,z,=c+di(a,b,c,dGR),

对于选项A,因为e=(a+bi)(c+di)=(ac-Wd)+(ad+bc)i,

2222222222

J9rW|Z|Z21=yj(ac-bd)+(ad+bc)=>!ac+bd+ad+bc,

且㈤忆卜〃7万户才=历历再前赤\所以|NR|二k|"|,故A正确：

对于选项B,因为4+z2=(a+c)+(b+d)i,zi=a-b\,z2=c-d\,

贝ijz{+z2=(a+c)-(b+d)i,zi+z2=(a+c)-(b+d)\,

所以Z]+z2=4+芍，故B正确;

对于选项C,若|zj=|zj,例如z=1+i,z2=l-i,满足㈤=%|=&,

但z：=(l+i)2=2i,z^=(l-i)2=-2i,即z；=z；,故C错误；

对于选项D,因为4n2=(q+历)(c+di)=(ac-ld)+(ad+/)c)i,

所以Z[z2=(ac-bd)-(ad+bc)\,z,-z2=(a-b\)(c-d\)=(ac-bd)-(ad4-bc)i,

所以Z[z?=4z,故D正确.

故选：ABD.

37.(23-24高一下•黑龙江•期中)欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为ei=cosx+isinx，i

虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天

桥”《为自然对数的底数，i为虚数单位)，依据上述公式，则下列结论中正确的是()

A.复数eiT为纯虚数B.复数殷对应的点位于第二象限

C.复数的共飘复数为半-;iD.复数可)的模长为1

【答案】ABD

18

【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得.

【详解】A选项：/=cos巴+sin巴i=i是纯虚数，A选项正确；

22

B选项：ei3=cos3+is加3,而^<3<兀，即cos3<0<sin3,则复数e?对应的点在第二象限，B选项正确；

C选项：/=85四+国〃四=，+且，则系数&方的共挽狂数为，-巫i，C选项错误；

3322e22

D选项：（?。=85。+汕力。,卜,=卜03。+而冶|=1,口选项正确；

故选：ABD.

38.（23-24高一下•贵州黔西•期末）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若复数4=3+41,4=-3+2i,则z>Z2

B.若更数z=2—i,M|z|=x/5

C.若复数2=〃?2_4+（2_〃?》（加€1<）为纯虚数，则〃i=_2

D.i+i3=0

【答案】BCD

【分析】利用复数概念可判断A错误，根据模长公式可知B正确，由纯虚数概念解方程可得C正确，由复数乘方

计算可得D正确.

【详解】对于A,根据虚数概念可得复数无法比较大小，即A错误；

对于B由z=2-i,可得忖=企2+（-1）2=后,即B正确；

对于C：若复数2=〃/-4+（2-〃。边"£1<）为纯虚数，可知4一1,

解得加=-2,可知C正确；

对于D,易知i+i3=i+i2i=i-i=0,即D正确.

故选：BCD

三、填空题

39.（23-24高一下•江苏•期末）满足上|=1且z?=z的复数z=.

【答案】1

2>2a_]

【分析】设z=a+力i,a,6eR,由忖=1得/十力2曰，由z?=z可得:“，计算并检验求得:二，即得z=L

2ab=bb=\）

【详解】设2=〃+/,4川61<,由目=1可得/+/=],

19

由z2=z可得(4+bi尸=(i+bi,即/一〃+2ab\=a+b'\y

a2-b2=aa=\a=0

则，解得《或，

2ah=bb=0b=0

显然不满足/+/=],应舍去，故z=L

10=U

故答案为：1.

40.（23-24高一下•新疆•期末）已知awR,方程--仆+3=0的一个根为x=-1+&i，贝丑=

【答案】-2

【分析】根据复数的乘法运算和复数用等的概念求解.

【详解】因为ax+3=0的一个根为x=—l+&i，

（-l+CiJ-a（-1+6卜3=0=>（2+t/）-^（2+a）i=0=>a=-2.

故答案为：一2

41.（23-24高一下•四川凉山・期末）已知i是虚数单位，则

【答案】旦

2

【分析】利用复数的四则运算化简原复数，再求模即可.

l+2il+2i

【详解】由题意得

bi2-2i-2i

故答案为：

42.（23-24高一下•甘肃酒泉•期末）已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为

【答案】3

【分析】利用复数模的几何意义，求出|z-i|的最大值.

【详解】复数z的模为2,表示复数z在复平面内对应的点Z到原点。的距离为2,

则点Z的轨迹是以原点。为圆心，2为半径的圆，

而|z-i|是圆。上的点到点（0,1）的距离，

所以E=2+1=3.

故答案为：3