（2026年秋）北师大版（2024修订版）七年级上册数学知识点大全

北师大版（2024修订）七年级数学上册·知识点大全

颜色标注说明：■红色——核心定义/概念■蓝色——重要公式/定理■绿色——重要性质/法则■紫色——易错点/注意事项

第一章丰富的图形世界1.1生活中的立体图形一、常见几何体●柱体：包括圆柱和棱柱。棱柱按底面边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。●锥体：包括圆锥和棱锥。棱锥按底面边数分为三棱锥、四棱锥等。●球体：球的表面是曲面，没有平面。二、棱柱的相关概念●棱柱的上、下两个面叫做底面，它们是相同的多边形。●棱柱的侧面是平行四边形（直棱柱的侧面是矩形）。●棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的高。●棱柱所有侧棱的长度相等。三、棱柱的分类与命名●按底面多边形的边数命名：底面是三角形叫三棱柱，底面是四边形叫四棱柱，以此类推。●按侧棱与底面的位置关系：斜棱柱和直棱柱（侧棱垂直于底面）。四、几何体的元素●构成几何体的基本元素：顶点、棱（线）、面。面有平面和曲面之分；面与面相交形成棱；棱与棱相交形成顶点。⚠n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面（2个底面+n个侧面）。1.2从立体图形到平面图形一、展开与折叠●立体图形的展开图：将立体图形沿某些棱剪开后铺平，得到的平面图形。●棱柱的展开图由两个相同的多边形（底面）和若干个矩形（侧面）组成。●圆柱的展开图由两个圆（底面）和一个长方形（侧面）组成，长方形的长等于底面圆的周长。●圆锥的展开图由一个圆（底面）和一个扇形（侧面）组成。⚠不是所有的平面图形都能折叠成立体图形，要注意面与面之间的连接关系。二、截一个几何体●用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面（截面是平面图形）。●截圆柱：截面可能是圆、长方形、椭圆等。●截圆锥：截面可能是三角形、圆、椭圆等。●截正方体：截面可能是三角形、四边形（正方形/长方形/梯形）、五边形、六边形。⚠正方体的截面最多是六边形，因为正方体只有6个面，平面最多与6个面相交。三、从三个方向看物体的形状●从正面看：物体在正投影面上的投影，反映物体的长和高。●从上面看：物体在水平投影面上的投影，反映物体的长和宽。●从左面看：物体在侧投影面上的投影，反映物体的宽和高。⚠三个方向看到的图形综合起来才能确定一个立体图形的形状。第二章有理数及其运算2.1认识有理数一、有理数的概念●正数：大于0的数叫做正数。●负数：在正数前面加"-"号的数叫做负数（负数小于0）。●0既不是正数，也不是负数，它是最小的自然数。整数和分数统称为有理数。二、有理数的分类●按定义分类：有理数分为整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）。●按正负分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、零、负有理数（负整数、负分数）。⚠有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是有理数；无限不循环小数不是有理数。三、数轴●数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。●数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。●任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示。⚠数轴上右边的数总比左边的数大。正数在原点右边，负数在原点左边。四、相反数●相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。●0的相反数是0。●互为相反数的两个数在数轴上位于原点两侧，且到原点的距离相等。a的相反数记作-a。a与-a互为相反数，a+(-a)=0。五、绝对值●绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。|a|=a(a>0);|a|=0(a=0);|a|=-a(a<0)●正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。●互为相反数的两个数的绝对值相等。⚠绝对值一定是非负数，即|a|≥0。任何有理数的绝对值都不小于0。六、有理数的大小比较●利用数轴：数轴上右边的数总比左边的数大。●正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。●两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。⚠比较两个负数大小时，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小，这是常见易错点。2.2有理数的加减运算一、有理数的加法法则●同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。●异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。●互为相反数的两个数相加得0。●一个数同0相加，仍得这个数。二、有理数加法运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)⚠灵活运用加法交换律和结合律可以简化计算，如将正数和负数分别结合相加。三、有理数的减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)⚠减法转化为加法时，要注意两变：变减号为加号，变减数为它的相反数。四、有理数加减混合运算●步骤：将减法统一转化为加法→运用加法运算律简化计算→求出结果。●技巧：同号先结合，凑整先结合，相反数先结合。2.3有理数的乘除运算一、有理数的乘法法则●两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。●任何数与0相乘，积仍为0。●多个有理数相乘：负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。⚠若有一个因数为0，则积为0，此时不需要考虑负因数的个数。二、乘法运算律乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c三、倒数●乘积为1的两个数互为倒数。若a×b=1，则a与b互为倒数。⚠0没有倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。倒数等于它本身的数是1和-1。四、有理数的除法法则●除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。a÷b=a×(1/b)(b≠0)●两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。●0除以任何一个不等于0的数，都得0。⚠0不能作除数。除法可以转化为乘法来计算，注意符号的确定。2.4有理数的乘方一、乘方的概念●求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。a^n=a×a×a×...×a（n个a相乘）●在a^n中，a叫做底数，n叫做指数，a^n读作"a的n次方"或"a的n次幂"。二、乘方的符号法则●正数的任何次幂都是正数。●负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。●0的任何正整数次幂都是0。⚠注意区分(-2)^4和-2^4：(-2)^4=16，而-2^4=-(2^4)=-16。括号的位置直接影响底数。三、科学记数法●把一个大于10的数表示成a×10^n的形式（1≤a<10，n为正整数），叫做科学记数法。⚠n的值等于原数整数部分的位数减1。2.5有理数的混合运算运算顺序●先算乘方，再算乘除，最后算加减。●有括号的，先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）。●同级运算，从左到右依次进行。⚠混合运算中要特别注意符号的确定和运算顺序，先观察算式结构再计算。第三章整式及其加减3.1代数式一、用字母表示数●用字母表示数可以把数和数量关系简明地表示出来。●字母可以表示任何数，在不同问题中字母所代表的含义不同。二、代数式●代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。●单独一个数或一个字母也是代数式。⚠代数式中不含"="">""<""≠"等关系符号，含等号的式子是等式，不是代数式。三、代数式的值●代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果。●求代数式值的方法：代入法（将字母的值直接代入计算）。⚠代入负数或分数时要加括号，如当a=-2时，3a=3×(-2)=-6。四、单项式●单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。●单独一个数或一个字母也是单项式。●单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。●单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。⚠系数包括符号。如-3x²y的系数是-3，次数是2+1=3。圆周率π是常数不是字母。五、多项式●多项式：几个单项式的和叫做多项式。●多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。●多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。⚠多项式的每一项都包括它前面的符号。如3x²-2x+1有三项：3x²、-2x、1。六、整式单项式与多项式统称为整式。3.2整式的加减一、同类项●同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。●几个常数项也是同类项。⚠判断同类项的两条标准：①字母相同；②相同字母的指数分别相同。与系数无关，与字母顺序无关。二、合并同类项●合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母部分不变。如：3x²y+(-5x²y)=(3-5)x²y=-2x²y三、去括号法则●括号前是"+"号，去掉括号和"+"号后，括号内各项都不变号。●括号前是"-"号，去掉括号和"-"号后，括号内各项都要变号。⚠去括号时，如果括号前面是负号，去掉括号后括号内每一项都要变号，这是最常见的错误点。四、整式加减的步骤●步骤：去括号→合并同类项。●如果有多重括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。3.3探索与表达规律一、数字规律●等差数列规律：相邻两项的差为定值d，第n项an=a1+(n-1)d。●等比数列规律：相邻两项的比为定值q（q≠0）。二、图形规律●通过观察图形的变化，找出图形数量与序号之间的关系。●常见方法：从特殊到一般，先计算前几项，再归纳总结规律。⚠探索规律时要注意验证所得规律的一般性，代入特殊值检验。第四章基本平面图形4.1线段、射线、直线一、线段、射线、直线的概念●线段：有两个端点，有长度，可以度量。●射线：有一个端点，向一方无限延伸，没有长度。●直线：没有端点，向两方无限延伸，没有长度。二、直线的性质●经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。●两条直线相交，只有一个交点。⚠"有且只有"表示存在性和唯一性：一定存在，且只有一个。三、线段的中点●线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点。若M是线段AB的中点，则AM=MB=AB/2，即AB=2AM=2MB四、线段的性质●两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。●两点之间的距离：连接两点的线段的长度。4.2角一、角的概念●角：由两条有公共端点的射线组成的图形。公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。●角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。二、角的表示方法●用三个大写字母表示：∠AOB（O为顶点，在中间）。●用一个大写字母表示：∠O（以该点为顶点的角只有一个时）。●用数字表示：∠1、∠2等。●用希腊字母表示：∠α、∠β等。⚠用一个大写字母表示角时，必须确保以该点为顶点的角只有一个，否则会产生歧义。三、角的度量●角的度量单位：度（°）、分（′）、秒（″）。1°=60′，1′=60″●1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°。⚠角度是60进制，不是10进制，换算时要注意。1°=60′，而不是100′。四、角的比较与运算●角的比较方法：度量法、叠合法。●角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角。若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB/2五、互余与互补●互余：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。●互补：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。●同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。⚠余角和补角是两个角之间的关系，一个角本身不能叫余角或补角。4.3多边形和圆的初步认识一、多边形●多边形：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。●n边形有n个顶点、n条边、n个内角。●正多边形：各边相等，各角也相等的多边形。n边形从一个顶点出发的对角线条数=n-3n边形对角线的总条数=n(n-3)/2二、圆●圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。定点叫做圆心，定长叫做半径。●圆的任意一条直径都是圆的对称轴。●弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。●扇形：由两条半径和一条弧围成的图形。⚠半圆既不是弧的最大值，也不是特殊的多边形；半圆是弧的一种。第五章一元一次方程5.1认识方程一、方程的概念●方程：含有未知数的等式叫做方程。⚠方程必须同时满足两个条件：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。二、一元一次方程●一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程。●一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a≠0，a、b为常数）。⚠判断一元一次方程要看：①一个未知数；②未知数次数为1；③整式方程（分母不含未知数）；④a≠0。三、方程的解●方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。●一元一次方程的解也叫根。5.2一元一次方程的解法一、等式的基本性质●性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，所得结果仍是等式。若a=b，则a±c=b±c●性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。若a=b，则a×c=b×c（c≠0时a/c=b/c）二、解一元一次方程的一般步骤①去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数。

②去括号：按去括号法则去掉括号。

③移项：把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边（移项要变号）。

④合并同类项：把方程化成ax=b的形式。

⑤系数化为1：方程两边同除以未知数的系数，得到x=b/a。

⚠移项必须变号！这是解方程中最常见的错误。另外去分母时不要漏乘不含分母的项。⚠去分母时，分子是多项式时要加括号，防止符号错误。5.3一元一次方程的应用一、列方程解应用题的步骤①审题：理解题意，明确已知量和未知量。

②设未知数：用字母表示未知量（直接设或间接设）。