6.浙江省数学竞赛模拟题(三)答案

(完整word版)6.浙江省数学竞赛模拟题(三)答案(完整word版)6.浙江省数学竞赛模拟题(三)答案PAGE1(完整word版)6.浙江省数学竞赛模拟题(三)答案浙江省数学竞赛模拟题(三）班级__________姓名__________一、选择题（共50分)1。已知集合，则下列正确的是（）A．B.C.D。解析：因为，所以有正确答案为A。2.已知,若为实数，则最小的正整数的值为（）(A） （B） （C) (D）提示：，是使为实数的最小的正整数．A。3。已知均为正实数，则的最大值为（)(A）2 （B) （C）4 (D)B.解法一令,则所以．解法二令，则，此时，即有．显然当时,；当时，,所以函数在，即时取得最大值．4。当时，，则下列大小关系正确的是（）A．B.C。D。解析：当时，，，又因为。所以。选C。5.设在上有定义，要使函数有定义，则a的取值范围为(）A．；B.；C.；D.解析：函数的定义域为。当时,应有，即;当时，应有,即.因此,选B.6。已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则△ABC一定为()A．直角三角形；B.等边三角形；C.等腰直角三角形；D。等腰三角形解析：因为,所以已知条件可改写为。容易得到此三角形为等腰三角形.因此选D.7。已知是偶函数,则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是（）A．B.2C.D.4解析：由已知条件可知，,函数图象与轴交点的纵坐标为。令，则。因此选A.8。有6名同学咨询成绩．老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差的，而且6人的成绩各不相同．那么他们6人的成绩不同的可能排序共有（）（A）120种(B)216种 (C)384种 （D）504种D.解法一以记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集，以记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则，．甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为．按照老师所述，这６位同学成绩可能的排序数为．解法二以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序．(1）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为；（2）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为．所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为．9.已知函数(为常数,)，且，则的值是（）(A）8 （B)4 （C） （D)B.提示：由已知可得又令，则有从而有即知10。在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，那么当取最小正值时，(A)1 （B）10（C）19 (D)20（)C.提示：设该等差数列的公差为．显然．由，知且因此由知．从而有所以．填空题（共49分)11。＝。解析：根据题意要求，，.于是有。因此。因此答案为1。12。设为非负实数，满足，则＝。解析：显然,由于，有.于是有，故。13.的末三位数是_______解析:（10i+1)（10i+3)(10i+7）（10i+9）=[100+100i+9]［100+100i+21]=10000+3000i(i+1）+189189(mod1000）.所以=189×100900（mod1000）。所以答案是90014.在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为若到点、的“直角距离”相等，其中实数、满足、,则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为．解析：由条件得①当时，①化为，无解；当时，①化为,无解；当时,①化为②若，则，线段长度为１；若，则，线段长度为；若，则，线段长度为４．综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为．填．15。抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=.在抛物线上是否存在一点C，使△ABC为正三角形，若存在，C点的坐标是。解：设所求抛物线方程为，由弦长｜AB｜=建立关于p的方程.解得p=或p=-（舍去),故抛物线方程为.设AB的中点为D(x0,y0）,抛物线上存在满足条件的点C(x3,y3)，由于△ABC为正三角形.所以CD⊥AB，|CD｜=|AB｜=.EMBEDEquation.3由CD⊥AB得①由②解①②得，不在抛物线上.故抛物线上存在一点(，)。16.在数列中,＝2，，设为数列的前n项和，则的值为解析：当n为偶数时，，故当n奇数时,，，故故17.设函数，其中函数在上是单调递减函数；则的取值范围是_____________________。解析：（1)设,则设，则显然.∵,∴,∵，∴只需要，就能使在上是单调递减函数;三、解答题（共51分）18.设函数定义于闭区间，满足，且对任意，都有，其中常数满足,求的值．解：因为，所以8分由此得，而，所以14分已知曲线，，为正常数．直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、、、4个点，为坐标原点。（1）若,求证：的面积为定值；（2)若的面积等于面积的，求证:。解：（1）设直线：代入得：，得：，设，，则有，，设,，易得:,，由得,故，代入得，整理得：，又，，，=为定值.（2）设中点为，中点为则，，所以，、重合，从而,从而，又的面积等于面积的，所以，从而。20.设非负等差数列的公差，记为数列的前n项和，证明：1）若，且，则；2）若则.解：设非负等差数列的首项为，公差为。（1）因为，所以，，。从而有。因为，所以有于是。（2）又因为，所以有附加题(共50分）21。已知,关于的方程有一个实根，求的最小值．解:设为方程的实根，则有，即。显然.—-—-——--——————--—-5分容易证明，于是.当且仅当且时等号成立，此时，。结合可求得或因此的最小值为8。-—--——-——-—-—--———-——20分2