2027年高考数学一轮复习：人教A版知识点提纲

名称自然数集正整数集表示符号NZ5.集合与集合的关系：补集：ðA,增减增减增减增减减增第3页共54页前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都f(x)≤M;(2)存在x₀∈I,使得f(x。)=M(3)对于任意的x∈I,都f(x)≥M;(4)存在x₀∈I,使得f(x₀)=M结论定义图象特点如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有图象关于y轴对称如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数图象关于原点对称●若奇函数的定义域包括0,则f(O)=0性质：①定义域R;②值域(0,十∞);③图象过定点(0,1);④单调性：0<a<1,在(一∞,④第5页共54页概念：y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+o).且在(0,+o)上单调递减.函数的应用么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.三角函数角的分类角的分类k∈Z}.4.弧度制角α的弧度数公式(弧长用1表示)角度与弧度的换算弧长公式弧长l=lalr(1)sin(x+2π)=sinx;cos(x+2π)=cosx;sin(π-x)=sinx;cos(π—x)=-cosx;tan(π-x)=-tanxsin(π+x)=-sinx;cos(π+x)=-co(2)sin(-x)=-sinx;cos(-x)=cosx;tan(-x)=-sin(a±β)=sinacosβ±cosasicos2α=cos²α-sin²α=2cos²α平面向量名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)长度为0的向量记作0,其方向是任意的长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线大小0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)求两个向量和的运算(1)交换律：(2)结合律：三角形法则平行四边形法则求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a三角形法则与b的差数乘求实数λ与向算当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0和(差)a=(xi,y1),b=(x₂,y2),a+b=(x₁+x₂,y₁+y2),a数乘已知a=(x1,y1),则λa=(2x1,λy1),其中λ是实数标已知A(x1,yì),B(x₂,y₂),则AB=(x₂-x1,y₂-yi)定义图示范围已知两个非零向量a和b,∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ=0°或θ=180°定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量lalb|cosθ叫做a与b的数量投影la|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义①已知矩形ABCD,O是平面任意一点，则OA.OC=OB.OD②已知矩形ABCD,O是平面任意一点，则|OAI²+lOCI²=|OBI²+|ODI²5.关于三点共线的结论若A,B,C三点共线⇔OB=mOA+noC,m+n=16.等和线 AD=xAB+yAC,则B,C,D三点共线⇔x+y=1CC①当0<x+y<1,则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间③当x+y=1,若x>0,y>0,则D在线段BC上 a²=b²+c²-2bccosA①a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB②acosB+bcosA=c,bcosC+ccosB=a,acosC+ccosA=b③第15页共54页数列的通项数列的通项a与前n项和Sn的关系是当n=1时，若a₁适合c.形如an+1=pan+An²+Bn,特别地当k=1时设f(x)=ax²+bx+c(a>0),方程ax²+bx+c=0的判别式4=b²—4ac判别式△第21页共54页f(x)>0或f(x)<0的步骤解x1,x2解x₁=x2画函数y=f(x)的示意图的解集{x|x<x₁或x>x2}øø2分式不等式：图1图2方法1:若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，方法2:转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立→f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤ab.若a>0,b>0,则a+b≥2√ab(当且仅当a=b时取“=”);5.一个重要的不等式链：立体几何：旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球“三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变圆柱圆锥圆台开图S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆合侧=π(r十rz)名称表面积体积几何体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧十2S底(棱锥和圆锥)S表面积=S侧十S底台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.方法\textcircled3:方法\textcircled4:方法\textcircled1:方法\textcircled2:方法\textcircled1:条直线.a⊥α,bca⇒a⊥ba⊥b→a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0.(2)设A(x₁,y₁,z),B(x₂,y₂,z₂),若a//b,即a=λb,则a//b;若a⊥b,即a.b(需要根据具体情况判断相等或互补),其中A0则直AB,AC的斜率相等(斜率存在时)或斜率都不存在.直线的5种形式名称方程适用范围点斜式y-y₁=k(x-x)不含垂直于x轴的直线y=kx+b不含垂直于x轴的直线不含直线x=x(x₁≠x₂)和直线y=y₁(y₁≠y₂)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用AB₂-A₂B₁=0且(斜率存在)(斜率不存在)k₁与k₂中有一个为0,另一个不存在直线l₁:Ax+Biy+C₁=0与直线l₂:A₂x+B₂y+C₂=0平行的充要条件是直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0与直线l:A₂x+B₂y+C₂=0垂直的充要条件是A₁A₂+B₁B₂=0.Pi(x1,yi),P₂(x₂,y2)两点之间的距离|P₁P₂l点Po(xo,yo)到直线l:Ax+By+C=0的距离平行线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0间的距离为A₁x+B₁y+C₁+2(A₂x+B₂y+C₂)=0(λ∈R),但不包括l₂点P(x,y₁)关于直线1:Ax+By+C=0对称的点为P'(x₂,y₂),连接PP′,交1于M点，则1垂直平分PP',所以PP⊥l,且M为PP′中点，又因为M在直线1上，故可得,解出(x₂,y₂)即可.第1步：联立I,L算出交点P(x₀,%)第2步：在I上任找一点(非交点)Q(x₁,y),利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点Q'(x₂,y₂)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为半第36页共54页焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形统一方程到两定点F₁、F₂的距离之和等于常数2a,即|MFI+|MF₂I=2a(2a>|FF₂I)范围离心率第37页共54页当2a>|FF₂|时，动点轨迹不存在.图形性质焦点范围离心率渐近线a,b,c的关系p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点对称轴焦点离心率准线范围开口方向向右向左向上向下(其中第40页共54页,切线方程：y-f(x₀)=f'(x。)(x-x(a*)'=a*Ina(a>0且a≠1)如果f'(x)<0,则y=f(x)为减函数.①若f(x)在(a,b)上单调递增(减),则在(a,b)上有f'(x)≥0(f'(x)≤0)f'(x)>0→f(x)单调递增；f(x)单调递增→f'(x)≥0;f'(x)<0→f(x)单调递减；f(x)单调递减→f'(x)≤0.值点.f'(x₀)=0,且在x₀左侧与右侧，f'(x)的②对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F第42页共54页对于不等式f'(x)cosx-f(x)sinx>0(或<0),构造函复数：②若z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数，则z与①加法：z₁+Z₂=(a+a₂)+(b₁+b₂)i②减法：z+Z₂=(a₁-a₂)+(b-b₂)i;(1)C"=C"-"(n,m∈N,且m≤n)①项数：共有n+1项，比二项式的次数大1;二项式系数)二项式系数的性质2最大.5……P……E(C)=C,E(X₁+X₂)=E(X₁)+E(X₂)E(aX+bD(X)=E(X²)-[E(X)]²,D(aX+b)如果随机变量ξ的概率密度为：(x∈R,μσ为常数，且σ>0),②曲线关于直线x=μ对称.之间的值，并简称之为30原则.A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB).与两个集合的交集类比，此互斥.2.必然事件的概率为1,即P(Ω)=1;不可能事概率为0,即P(O)=0.P(B)=1-P(A),且P(AUB)=P(A)+P(B)=1.第50页共54页则称事件A与事件B相互独立.如果事件A,B互相独立，那么A与B,A与B,A与B也都相互