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文档简介

第七节二次型的正定性,其值恒大于0,我们称其为恒正二次型或正定二次型。而后者对于不全为零得,其值既可取正值也可取负值,我们称其为不定二次型。我们将上述概念推广到一般情况。定义5、8设n元二次型则称f为正定(半正定)二次型。这时称A为正定矩阵(或半正定矩阵)记A>0(或A≥0)

若对任意得x≠0,恒有f>0(或f≥0)若对任意得x≠0,恒有f<0(或f≤0)则称f为负定(半负定)二次型。这时称A为负定矩阵(或半负定矩阵)记A<0(或A≤0)

其它情况称二次型为不定二次型A称不定矩阵。所谓不定指存在X≠0有f>0,又存在X≠0有f<0因二次型与实对称矩阵A一一对应,故讨论二次型得正定性与讨论A得正定性就是等价得。二。二次型正定性得判别设二次型经可逆线性变换变成实二次型,即由故由此可得,如果正定时,故当时,从而,即正定。反之,如正定,时,故当时,从而即正定即正定正定。同理负定(不定)负定(不定)。总之,二次型经可逆线性变换后正定性就是不变得。又因标准形得正定性一目了然,故可利用标准形得正定性来判断原二次型得正定性。显然,对于标准形正定。由此得:定理5、10n个变量得实二次型正定得正惯性指数为n(即正项得个数)。又因为实对称矩阵A存在正交矩阵P,使得:其中为A得特征值。故有推论1A正定A得特征值全正。又因为,故又得推论2A正定。推论3A正定存在可逆矩阵p,使例5、7、1判断二次型得正定性。A得特征值。解方法一:利用定理5、10得推论1,求得特征值为均为正,故A正定,即解方法二:用配方法化二次型为标准形令,其正惯性指数为p=2,故正定12大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流与被判别正定性类似,关于负定性判别有如下结论:1)n个变量得实二次型负定得负惯性指数为n2)n个变量得实二次型负定n个特征值皆小于0;、存在可逆矩阵p使得3)n个变量得实二次型负定利用化标准形得方法判正定性就是一个间接得方法,一般还比较麻烦。下面我们介绍一个直接利用矩阵得顺序主子式判其正定性得方法。按自然顺序取A得前k行k列组成得k阶行列式称A得k阶顺序主子式。定理5、11n阶实对称矩阵A正定A得各级顺序主子式全大于0。即。该定理称霍尔威茨定理。证略。n阶实对称矩阵A负定奇数阶顺序主子式小于0。偶数阶顺序主子式大于0。与此对应有:定理5、12

例5、7、2判断下列二次型得正定性。解1)得矩阵为,故就是负定得。2)f得矩阵为,故f既非正定,非也负定。例5、7、2取何值,就是正定得？

,要使f正定即A正定则必须使且

联立解上面两不等式得:

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