第十章时间序列分析

计量经济学

—理论·方法·EViews应用

郭存芝杜延军李春吉编著电子教案

第十章时间序列分析◆学习目的了解平稳和非平稳序列、单位根和协整的概念，掌握单位根检验、协整检验和误差修正模型的估计方法。◆基本要求了解平稳和非平稳序列、弱相关序列、随机游走、虚假回归的概念掌握单位根的概念，掌握单位根DF检验和ADF检验的方法；掌握协整关系检验方法、误差修正模型的建模方法及应用。第十章时间序列分析时间序列数据分析概述单位根检验协整和误差修正模型第一节时间序列分析概述经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-seriesdata)；截面数据(cross-sectionaldata)平行/面板数据（paneldata/time-seriescross-sectiondata)

时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。一、静态模型和动态模型假设有两个变量Y、X，一个静态模型为：例如，静态的菲利普斯曲线表示为：这种形式的菲利普斯曲线实际上假定自然失业率不变和固定的通货膨胀预期，可以用来研究同一时间内失业率和通货膨胀率之间的替代关系。解释变量中包含有滞后效应的时间序列模型则是动态模型，例如我们学习过的有限分布滞后模型（FDL）。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”问题。表现为两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性。二、平稳和非平稳时间序列平稳时间序列过程意味着，如果我们从这个序列中任取一个随机变量集，并把这个序列向前移动h个时期，那么其联合概率分布仍然保持不变。在实践操作层面上，如果我们想通过回归分析考察两个或者多个变量之间的关系，就需要假定某种跨时期的平稳性。平稳性的定义的联合分布相同，对于随机过程如果对于每一个时间指标集和任意整数的联合分布都与那么这个随机过程就是(严格)平稳的。平稳性关系到一个过程在时间推移过程中的联合分布，弱相关则是与平稳性完全不同的概念，随着随机变量和之间时间距离h的变大，弱相关对二者的相关程度施加限定。对于一个平稳时间序列过程若随着h无限增大，和“近乎独立”，则称之为弱相关。在以后的讨论中，关于平稳性的概念通常是指弱相关平稳。弱相关白噪声（whitenoise）。最简单的随机时间序列是一个具有零均值同方差的独立同分布序列：该序列常常为称为是一个白噪声。白噪声序列具有相同的均值和方差，且协方差为零，因此，白噪声序列是平稳的。弱相关平稳随机过程满足下列条件：（1）均值是与时间t无关的常数；（2）方差是与时间t无关的常数；（3）协方差是只与时间间隔h有关，与时间t无关的常数。在多元回归分析中使用平稳的弱相关序列最为理想。不是弱相关的时间序列，往往会导致多元回归分析中的虚假回归问题。一个独立序列无疑是弱相关序列，因此独立同分布序列是弱相关时间序列。弱相关序列的一个例子是：这个过程被称为一阶移动平均过程，表示为MA(1)MA(1)是平稳的弱相关序列。

弱相关序列弱相关序列的另一个更为常见的例子是：这个过程被称为一阶自回归过程，表示为AR(1)

AR(1)过程弱相关的一个关键假定是稳定性条件弱相关序列不平稳的随机过程则称为非平稳过程（nonstationaryprocess）

一个随机时间序列如果具有时间趋势，那么它显然是非平稳的，因为它的均值随时间在变化，但是时间趋势序列也可能是弱相关的。随机游走（randomwalk）过程也是非平稳的。随机游走的定义

假定扰动项是零均值、同方差为的独立同分布序列随机游走的期望值不取决于时间但是，随机游走的方差却是随着时间而变化。

随机游走的方差是时间的线性函数，随着时间而递增，是一个非平稳过程。通常随机游走过程也包含了明显的趋势，如带漂移的随机游走（randomwalkwithdrift）:其期望值具有一种线性时间趋势，方差则与不带漂移项的纯粹随机游走过程的方差完全相同。类似随机游走（带或不带漂移项）这样的过程，一旦用于回归分析，则可能导致误导性的结果，幸运的是，只要做一些简单变换，就可以使它们变成弱相关平稳的过程。单位根检验是运用统计检验时间序列是否平稳的一种普遍应用的方法。

通过上式判断y是否有单位根,就是时间序列平稳性的单位根检验。

对该式回归，如果确实发现ρ=1，则称随机变量y有一个单位根。

等价于通过该式判断是否存在=0。

一般检验模型原假设：对立假设：可通过OLS法下的t检验完成。但是，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t检验无法使用。

Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为

统计量），即DF分布。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零均值的偏态分布。如果t<临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。单尾检验为什么将DF检验扩展为ADF检验？DF检验假定时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成，或者随机误差项并非是白噪声，用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。如果时间序列含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），也容易导致DF检验中的自相关随机误差项问题。ADF检验模型模型1

模型2模型3原假设：对立假设：检验过程实际检验时从模型3开始，然后模型2、模型1。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时停止检验。否则，就要继续检验，直到检验完模型1为止。检验原理与DF检验相同，只是对模型1、2、3进行检验时，有各自相应的临界值表。检验模型滞后项阶数的确定：以随机项不存在序列相关为准则。一个简单的检验过程：同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验原假设H0：=0。只要其中有一个模型的检验结果拒绝了原假设，就可以认为时间序列是平稳的；当三个模型的检验结果都不能拒绝原假设时，则认为时间序列是非平稳的。三、ADF单位根检验在Eviews中的实现从中国统计年鉴中获取名义GDP和GDP指数数据，然后计算得到1979-2011年真实GDP数据，对真实GDP做ADF单位根检验。

Eviews

中提供的检验方法Eviews

中提供的滞后阶数选择1、单整如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是一阶单整序列，记为I(1)。一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，则称原序列是d阶单整序列，记为I(d)。I(0)代表一平稳时间序列。四、单整、趋势平稳与差分平稳现实经济生活中只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等;大多数指标的时间序列是非平稳的，大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的（non-integrated）。2、趋势平稳与差分平稳随机过程

含有一阶自回归的随机过程：如果ρ=1，β=0，y成为一带位移的随机游走过程。根据α的正负，y表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为随机性趋势（stochastictrend）。如果ρ=0，β≠0,y成为一带时间趋势的随机变化过程。根据β的正负，y表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势（deterministictrend）。如果ρ=1，β≠0，则y包含有确定性与随机性两种趋势。

判断一个非平稳时间序列的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第3个模型进行。该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量，即分离出了确定性趋势的影响。如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势；如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。差分平稳过程和趋势平稳过程具有随机性趋势的时间序列通过差分的方法消除随机性趋势。该时间序列称为差分平稳过程（differencestationaryprocess）；具有确定性趋势的时间序列通过除去趋势项消除确定性趋势。该时间序列称为趋势平稳过程（trendstationaryprocess）。

第三节协整检验和误差修正模型一、协整关系二、协整检验三、误差修正模型一、协整关系1、问题的提出将一个随机游走变量对另一个随机游走变量进行回归可能导致荒谬的结果，因为传统的显著性检验说明变量之间的关系事实上是不存在的，这就是为什么要检验一个变量是否是随机游走的一个原因。那有没有对两个即使都是随机游走的变量进行回归，而不会造成荒谬结果的情形呢？我们的回答是肯定的，因为有时虽然两个变量都是随机游走，但它们的某个线性组合却可能是平稳的。

在现实经济中，很多时间序列都是非平稳的，但是，如果它们之间存在协整关系，而具有协整关系的经济变量之间具有长期的稳定关系，那么，就可以使用经典回归模型方法建立回归模型。式Yt=

0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差（disequilibriumerror），它是变量X与Y的一个线性组合：

如果X与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。

非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。称变量X与Y是协整的（cointegrated）。协整关系2、协整的定义如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d阶单整，存在向量

=(1,2,…,

k)，使得Zt=XT~I(d-b)，其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，则认为序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)阶协整，记为Xt~CI(d,b)，

为协整向量（cointegratedvector）。如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。（d,d）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。例如，中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，如果它们是(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。

尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典的回归分析方法建立回归模型。二、协整检验—EG检验1、两变量的Engle-Granger检验

为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。首先两个变量的单整次数应该是相同的，即两个变量是同阶单整的。

第一步，用OLS方法估计方程

并计算残差，得到：

称为协整回归(cointegrating)或静态回归(staticregression)。

第二步，检验残差的平稳性，如果是平稳的，则两个变量之间存在协整关系。非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DF检验或者ADF检验。需要注意是，这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此估计量

是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对et平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还要小。2、多变量协整关系的检验—扩展的E-G检验

多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：非均衡误差项

t应是I(0)序列：

然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：

则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如

由于vt象

t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt

式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-

0,-

1,-2,-3）是对应于

t

式的协整向量，（1,-

0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。

一定是I(0)序列。检验程序：第一步，用OLS做协整回归。首先检验时间序列的单整次数，其次，用OLS对协整回归方程：进行估计，得到残差序列。第二步，检验残差的平稳性。若为平稳的，则是协整的，反之，则不是协整的。因为，若不是协整的，则它们的任意线性组合都是非平稳的，残差也将是非平稳的。三、误差修正模型

ErrorCorrectionModel,ECM误差修正模型的基本思想是：如果变量之间存在协整关系，即表明这些变量之间存在长期的稳定关系，而这种长期稳定的关系是在短期动态过程的不断调整下得以维持的。大多数经济时间序列的一阶差分序列是平稳的，同时，存在着某种联系方式例如线性组合，可以把相互的协整过程和长期稳定的均衡状态结合起来。即使所研究的各个变量的水平值都是一阶差分平稳的，受支配于长期分量，但是这些变量的某些线性组合也可以是平稳的，即所研究变量之间的长期分量相互抵消，产生了一个平稳的时间序列。这个过程中，误差修正机制作为一种调节过程在起作用，防止了长期关系的偏差在规模或数量上的扩大。因此，任何一组相互协整的时间序列变量都存在误差修正机制，反映短期的调节行为。是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。由于现实经济中很少处在均衡点上，假设具有（1,1）阶分布滞后形式

Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。一阶误差修正模型(first-ordererrorcorrectionmodel)的形式：若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解

0+1X，ecm为正，则(-

ecm)为负，使得

Yt减少；若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解

0+1X

，ecm为负，则(-

ecm)为正，使得

Yt增大。体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。误差修正模型的优点：如：

a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题；

b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题；

c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视；

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