2026年线性代数（行列式与矩阵）考研复试试题库及答案

2026年线性代数（行列式与矩阵）考研复试试题库及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设行列式$\left|\begin{matrix}1&a&b\\2&0&c\\0&4&1\end{matrix}\right|$中元素$a$的代数余子式为$8$，则$a=$(A)$-4$(B)$4$(C)$-2$(D)$2$2.已知矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)$，则矩阵$A$的转置矩阵$A^T$的逆矩阵$(A^T)^{-1}=$(A)$\left(\begin{matrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{matrix}\right)$(B)$\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&1\end{matrix}\right)$(C)$\left(\begin{matrix}-1&2\\0.5&-0.25\end{matrix}\right)$(D)$\left(\begin{matrix}1&-2\\-0.5&0.25\end{matrix}\right)$3.设$A$是$n$阶方阵，且$|A|=2$，则$\left|-2A\right|=$(A)$-2^n$(B)$-2$(C)$2^n$(D)$2$4.矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{matrix}\right)$是(A)可逆矩阵(B)不可逆矩阵(C)幂等矩阵(D)对称矩阵5.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则下列向量组中线性相关的是(A)$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$(B)$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,2\alpha_3$(C)$\alpha_1,2\alpha_2,3\alpha_3$(D)$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3$二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。请将答案填在题中横线上。）6.行列式$\left|\begin{matrix}0&a&0\\b&0&c\\0&d&0\end{matrix}\right|=$_______.7.设$A=\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)$，$B=\left(\begin{matrix}0&1\\2&0\end{matrix}\right)$，则矩阵方程$AX=B$的解$X=$_______.8.设矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)$，则矩阵$A$的秩$r(A)=$_______.9.若向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示，且表示式唯一，则向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的线性相关性为_______.10.设$A$是$n$阶方阵，且$A^2-A=0$，则$A$的特征值可能为_______.三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分。）11.计算行列式$\left|\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right|$的值。12.已知矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)$，$B=\left(\begin{matrix}2&0\\1&2\end{matrix}\right)$，求矩阵方程$AB+X=B^T$中的矩阵$X$。13.设向量组$\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)$，$\alpha_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)$，$\alpha_3=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$，$\beta=\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)$，判断向量$\beta$能否由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示，若可以，求出表示式。四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）14.证明：若矩阵$A$可逆，则$A$的伴随矩阵$A^*$也可逆，且$(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$。15.证明：若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则向量组$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$也线性无关。试卷答案一、单项选择题1.(B)2.(A)3.(C)4.(A)5.(B)二、填空题6.$-ad$7.$\left(\begin{matrix}-2&1\\1&-1\end{matrix}\right)$8.29.线性无关10.0或1三、计算题11.解：按第一行展开，得

$\left|\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{matrix}\right|=1\cdot\left|\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}\right|-2\cdot\left|\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}\right|+3\cdot\left|\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}\right|$

$=1\cdot(5\cdot9-6\cdot8)-2\cdot(4\cdot9-6\cdot7)+3\cdot(4\cdot8-5\cdot7)$

$=1\cdot(45-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)$

$=-3+12-9$

$=0$.12.解：由$AB+X=B^T$，得$X=B^T-AB$

$B^T=\left(\begin{matrix}2&1\\0&2\end{matrix}\right)$，$AB=\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2&0\\1&2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&4\\10&8\end{matrix}\right)$

$X=\left(\begin{matrix}2&1\\0&2\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}4&4\\10&8\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-3\\-10&-6\end{matrix}\right)$.13.解：设$\beta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3$，则

$\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$

得方程组$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_3=1\\x_2+x_3=2\\x_1+x_2=1\end{array}\right.$

解此方程组，得$x_1=0,x_2=1,x_3=1$

故$\beta=\alpha_2+\alpha_3$.四、证明题14.证明：因为$A$可逆，所以$|A|\neq0$，且$A^*=|A|A^{-1}$

$|A^*|=||A|A^{-1}|=|A|^{n-1}\neq0$，故$A^*$可逆

$(A^*)^{-1}=\left(|A|A^{-1}\right)^{-1}=\frac{1}{|A|}\left(A^{-1}\right)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$.15.证明：设存在常数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0$

即$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+