电路分析与应用基础课件 第7章 拉普拉斯变换

第7章拉氏变换在电路分析中的应用Laplace的贡献皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(1749～1827年)，法国著名的数学家、力学家和天文学家，法国科学院院士。天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一。曾任拿破仑的老师。有限差分方法发展概率论万有引力定律彗星分布研究偏微分方程的解法常数交易法地球形状和潮汐理论拉普拉斯变换拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换转换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。7.1拉氏变换基础7.1.1拉氏变换的定义对应时域函数f(t)(原函数)复频域函数F(s)(象函数)s为复频率应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。拉氏变换把时域的微分运算变换为复频域的代数运算1.拉氏变换定义正变换反变换t<0,f(t)=0注

f(t)=(t)时此项0（1）象函数F(s)

用大写字母表示,如I(s)，U(s)。原函数f(t)

用小写字母表示，如i(t),u(t)。（2）（3）象函数F(s)

存在的条件：2.典型函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数

(t)tO1

(t)=1，t>00，t<0(3)指数函数(2)单位冲激函数冲激函数的取样性

(t)tO(1)7.1.2拉氏变换的基本性质1.线性性质注：根据线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。例1解2.微分性质时域导数性质说明：当初始条件等于0时，在时域求导相当于在频域乘以s例2解频域导数性质例3解3.积分性质例4解4.延迟性质1Ttf(t)例5求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质7.1.3拉氏反变换用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。

直接使用定义求反函数比较繁琐，工程应用中，常用部分分式展开法求解。部分分式法求原函数象函数的一般形式：利用部分分式可将F(s)分解为：待定常数1待定常数的确定：例6解一对共轭复根为一分解单元。2待定常数的确定：设：注意：系数k1,k2也是一对共轭复根例7解共轭复根3例8解小结1.n=m

时将F(s)化成真分式和多项式之和由F(s)求f(t)

的步骤：2.求真分式分母的根，确定分解单元。3.将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数4.对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。u=Ri+u-iR+U(s)-I(s)R7.2.1基本电路元件的复频域模型1.电阻元件的复频域模型取拉氏变换电阻的运算形式7.2应用拉氏变换分析线性电路2.电容元件的复频域模型+u-i取拉氏变换I(s)1/sCu(0-)/sU(s)+一C的运算形式3.电感元件的复频域模型i+

u

-L取拉氏变换+-sLU(s)I(s)+-L的运算形式4.耦合电感的复频域模型+**Mi2i1L1L2u1+–u2–取拉氏变换-++-+-sL2+

-sM+--+sL15.受控源的复频域模型取拉氏变换+u1-+u2-Ri1

u1+-+-+-R-+受控源的运算形式7.2.2基尔霍夫定律的复频域形式时域形式拉氏变换复频域形式拉氏变换步骤：

1.由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)

。2.画运算电路模型。3.应用电阻电路的分析方法求象函数。4.反变换求原函数。7.2.3线性电路的复频域分析方法i2t=0时打开开关,求电感电流和电压。例1解计算初值+-i10.3H0.1H10V2

3

画运算电路10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-2

3

10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-2

3

UL1(s)10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-233.75ti1520uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190例2200V20Ω0.1H20Ω-uC+1000μFiL+-(2)画运算电路解(1)计算初值200/sV20Ω0.1s0.5V20Ω1000/s100/sVIL(s)I2(s)+-+_-+20Ω200/sV20Ω0.1s0.5V1000/s100/sVIL(s)I2(s)+-+--+(3)网孔法求解(4)反变换求原函数200/sV20Ω0.1s0.5V20Ω1000/s100/sVIL(s)I2(s)+-+--+UL(s)注意例3

电路如图，已知R1=R2=1Ω，L=2H,C=3F