大理工机械设计基础课件第14章 梁的弯曲强度

第十四章梁的弯曲强度教学要求教学重点与难点教学内容

了解平面弯曲的概念，惯性矩的计算，平行移轴公式，熟悉弯矩、剪力和载荷集度间的关系，正确绘制剪力图和弯矩图，掌握弯曲时梁横截面上的正应力，弯曲正应力的强度计算，提高梁强度的措施。教学要求

重点：剪力图、弯矩图的绘制

难点：根据Q、M、q之间的关系，

正确绘制剪力图和弯矩图

教学的重点与难点§14-1平面弯曲的概念

§14-2梁的计算简图及其分类

§14-3剪力和弯矩

§14-4剪力图和弯矩图

§14-5弯矩、剪力和载荷集度间的关系

§14-6弯曲时梁横截面上的正应力

§14-7惯性矩计算平行移轴公式

§14-8弯曲正应力的强度计算

§14-9提高梁强度的措施受力特点：直杆受到垂直于杆轴的外力或在杆轴平面内的力偶作用；变形特点：杆的轴线由原来的直线变为曲线。凡以弯曲变形为主要变形的构件，习惯上称之为梁。机车轮轴，在外力作用下它将变成一条上凸的曲线。桥式吊车的横梁，在外力的作用下将变成一条下凹曲线。平面弯曲的概念纵向对称轴：梁横截面上的对称轴。纵向对称面：梁的轴线和截面的纵向对称轴所决定的平面。平面弯曲：若梁上的外力或力偶都作用在纵向对称面内，且各力都与梁的轴线垂直，则梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲线的弯曲。一、梁的简化不论梁的截面形状如何复杂可将梁简化为一根直杆，称为直梁。并用其轴线表示。梁的计算简图及其分类四、静定梁及其典型形式按其支座情况分为

简支梁外伸梁悬臂梁二、约束的基本形式

1、活动铰链支座；2、固定铰链支座；3、固定端支座三、载荷的简化

1、集中载荷；2、分布载荷；3、集中力偶一、剪力和弯矩简支梁受集中力P1和P2作用。求距A端支座为x处横截面n—n上的内力。剪力和弯矩截面法沿n—n截面假想地把梁截开，截面n—n上的Q为剪力，M为弯矩。其值可用平衡方程解得：得

得

二、剪力和弯矩正负号的规定

例题：外伸梁的载荷均已知，试“根据外力直接写出力”求图中各指定截面上的剪力和弯矩。一、剪力方程和弯矩方程Q=Q（x）剪力方程M=M（x）弯矩方程剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图取一平行于梁轴线的横坐标x来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩，画出的剪力和弯矩与x的函数曲线的图形为剪力图和弯矩图。

例题1：一简支梁AB在C点受集中力P作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。

（1）求支座反力。（2）列剪力方程和弯矩方程。（3）按方程分段绘图。（4）讨论。解题步骤：

结论：①集中力作用时，两力之间的剪力图为一平行于轴的直线。集中力作用点处，剪力图发生突变，突变方向与外力方向相同；突变幅度等于外力大小。②剪力图为直线时，其对应区间的弯矩图为一倾斜直线，斜线的斜率等于对应的剪力图的值。剪力图为x轴的上平行线时，弯矩图向上倾斜；剪力图为x轴的下平行线时，弯矩图向下倾斜。③梁上在集中力偶作用点处，剪力图不变，弯矩图突变。突变方向为：若力偶为顺时针转向，则弯矩图向上突变；反之，若力偶为逆时针转向，则弯矩图向下突变。

例题2：一简支梁受集中力偶m作用，试绘此梁的剪力图和弯矩图。（1）求支座反力。（2）分段列出剪力方程和弯矩方程。（3）按方程画剪力图和弯矩图。

解题步骤：

弯矩、剪力和载荷集度间的关系弯矩、剪力和载荷集度间规律如下：

一、应变与应力分布规律两截面Ⅰ-Ⅰ和Ⅱ-Ⅱ原来是平行的，现互相倾斜了一个微小角度。图中OO´为中性层，设其曲率半径为ρ

，c′d′到中性轴的距离为y。应力沿梁高度按直线规律分布。是未知量中性轴位置尚未确定，弯曲时梁横截面上的正应力二、弯曲正应力计算公式1、中性轴位置的确定在梁的横截面上K点附近取微面积dA，设z为横截面的中性轴，K点到中性轴的距离为y，若该点的正应力为，则微面积dA上的法向内力为(如上图)。截面上各处的法向内力构成一个空间平行力系。平衡条件

横截面面积，只有，横截面的形心在z轴上，中性轴必须过横截面的形心。2．确定中性轴的曲率1/ρEIZ表示梁的材料和截面抵抗弯曲变形的能力，为梁的抗弯刚度。微面积dA上的内力，对中性轴产生一微小力矩，则整个截面上的内力矩的总和为由静力平衡条件

积分是横截面对中性轴z的惯性矩IZ。3．弯曲正应力计算公式4．弯曲时横截面上最大正应力的计算公式正应力与该截面上的弯矩M成正比，与点到中性轴的距离y成反比。的正负可根据变形来确定，弯矩M为正时，梁向下弯，中性轴以下的点受拉，正应力为正值；中性轴以上的点受压，正应力为负值。在横截面上下边缘处正应力的值最大

Ymax和IZ均与截面的大小和形状有关最大正应力计算公式为二、平行移轴公式

为图形对形心轴的静矩，其值等于零。

结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意a、b的正负号。惯性矩计算平行移轴公式一、常用截面形状的惯性矩通过积分计算即可求出不同截面形状的惯性矩。

截面的惯性矩

抗弯截面模量

圆形：

圆环：

矩形：

弯曲正应力的强度计算一、强度条件

例题：如图所示托架为一T形截面的铸铁梁。已知截面对中性轴之的惯性矩IZ=1.35*107mm4，P=4.5kN，铸铁的弯曲许用应力〔σl〕=40MPa，〔σy〕=

=80Mpa，若略去梁的自重影响，使校核梁的强度。

等截面直梁

非等截面直梁

提高梁强度的措施一、梁的合理受力（降低最大弯矩Ｍmax）

1、合理布置载荷和支座的位置。图示传动轴，当齿轮位于轴中点或将齿轮尽量安装在靠近轴承处时，轴因齿轮啮合力P而引起的弯矩差异较大。后则仅为前者的55.5％，这样所需的轴径就可相应减小。

2、合理布置载荷作用方式。比较图a、b中梁AB的两种加载方式可知，后者的最大弯矩只有前者的一半。

二、选择合理截面形状（增大抗弯截面模量WZ）

1、截面的面积和形状相同，放置方式不同。

2、面积相等而形状不同的截面WZ不同。工字形截面最合理，圆形截面最差。所以钢结构中的抗弯杆件，常用工字形、矩形截面。

三、