线性基础代数8

4.5

二次型及其标准形第4章相似矩阵与二次型1.二次型定义4.13含有n个变量的二次齐次多项式称为一个n元二次型，简称二次型.当全为实数时，f

称为实二次型.当不全为实数时，f

称为复二次型.注：如无特别说明，本课程只讨论实二次型.1.二次型(续)

例如：是二次型.不是二次型.2.二次型的表示

(1)多项式表示：令，则，于是2.二次型的表示(续)

(2)矩阵表示：2.二次型的表示(续)进一步有：2.二次型的表示(续)记则其中，A为对称矩阵.3.二次型的矩阵与秩由二次型的矩阵表示可知：任给一个二次型，就唯一地确定了一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地构造一个二次型．因此，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．在二次型中，对称矩阵A称为二次型f的矩阵，

f称为对称矩阵A的二次型，对称矩阵A的秩称为二次型f的秩.4.例1

例1写出二次型的矩阵，并将其用矩阵表示，并求出二次型的秩.

解：因此，5.二次型的标准形与规范形设有可逆线性变换一般的二次型，既含有平方项，又含有交叉项.对于二次型，我们讨论的主要任务是：寻求可逆的线性变换，将二次型化简．5.二次型的标准形与规范形(续)将其代入二次型我们希望f只含有的平方项，即形如上式的只含平方项的二次型称为f

的标准形.进一步，若标准形中的系数只在三个数中取值，即利用可逆线性变换将二次型化为则称这种形式为二次型的规范形.6.研究二次型的主要目的对于一个二次型，我们希望找到一个可逆的线性变换将其代入二次型中，将其化为标准形，即两式比较，即是要求为对角形矩阵.7.合同矩阵

定义4.14设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使得则称矩阵A与B合同，记为.8.合同矩阵的性质

合同是矩阵之间的一种等价关系，它具有下列性质：

反身性，对称性，传递性.8.合同矩阵的性质(续)

设A是n阶矩阵，C是n阶可逆矩阵，，若A是对称矩阵，则B也是对称矩阵，且.

证：这说明B也是对称矩阵.另外，C是可逆矩阵，因此9.二次型的标准化

我们知道，对于任意的实对称矩阵A，总有正交矩阵P，使得其中是以矩阵A的特征值为对角元的对角矩阵，将此结论应用于二次型，可得定理

任给二次型，总有正交变换x=Py，将f

化为标准形其中是f的矩阵的特征值.9.二次型的标准化(续)注：

(1)应用实对称矩阵对角化的方法，可将二次型化为标准形，这种方法称为正交变换法.

(2)化一个二次型为标准形，若所用的可逆线性变换不同，则得到的标准形一般也不同.因此，二次型的标准形不唯一.10.正交变换化二次型为标准形的步骤

(1)将二次型表示成矩阵形式，写出实对称矩阵A.

(2)求出A的所有特征值.

(3)求出对应于特征值的n个线性无关的特征向量.

(4)将特征向量正交化、单位化，得到，记

(5)作正交变换，则得到f

的标准形为11.例2

例2将二次型通过正交变换x=Py化成标准形，并指出表示何种二次曲面.

解：(1)写出二次型的矩阵，并求出其特征值：得到特征值.11.例2(续)

(2)求特征向量：将代入，求得基础解系将代入，求得基础解系

(3)将特征向量正交化：11.例2(续)

(4)将正交向量组单位化，得到正交矩阵：记于是，所求的正交变换为x=Py，即11.例2(续)它将原二次型化为标准形显然，表示一个椭球.12.本节小结

(1)二次型的概念与