线性基础代数9

1.3

矩阵的初等变换与线性方程组第1章矩阵与线性方程组1.引例引例：求解线性方程组①②③①②③①②②-2①,③-①①②③②③③-4②恒等变换易得，方程组的解为1.引例(续）1.引例(续）三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数

k

乘某个方程，记作

；一个方程加上另一个方程的k

倍，记作

.其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji

×k

i＋kjiji

×ki+k

jiji÷k

i－k

j2.矩阵的初等变换定义1.10下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

(1)交换矩阵的两行(对调i,j两行，记作)；

(2)矩阵某一行乘以非零数k(第i

行乘k，记作)；

(3)将矩阵的某一行所有元素的k

倍加到另一行对应的元素上去(第j

行的k倍加到第i

行上，记作)；2.矩阵的初等变换(续)矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同.同理可定义矩阵的初等列变换（所用记号是把“r”换成“c”）．逆变换:逆变换:逆变换:例如：增广矩阵结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.2.矩阵的初等变换(续)3.例1例1：求解线性方程组①②③④3.例1(续)①②③÷2①②③④①②③④3.例1(续)②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④3.例1(续)②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④3.例1(续)④－2×③③④①②③④①②③④3.例1(续)①②③④①－②②－③注：不带运算符的矩阵运算，用“→”或“～”.例如：初等行变换初等列变换其对应方程组为令x3

=c

，则(c

为任意实数)

3.例1(续)4.行阶梯形矩阵非零矩阵若满足以下要求，则称此矩阵为行阶梯形矩阵：

(1)非零行在零行的上面；

(2)非零行的非零首元(从左至右第一个不为零的元素)的列标随着行标的增大而严格增大.例如：4.行阶梯形矩阵(续)特点：

(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；

(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵的性质：（1）任何非零矩阵，总可以经过有限次初等行变换将其化为行阶梯形矩阵.（2）一个矩阵的行阶梯形是不唯一的，但它的行阶梯形的非零行的行数是唯一确定的.4.行阶梯形矩阵(续)5.行最简形矩阵对行阶梯形矩阵进行初等行变换可得：若A是行阶梯形矩阵，且满足以下要求，则称A为行最简形矩阵：

(1)各非零行的非零首元为1；

(2)每个首非零元所在列的其余元素都为0.5.行最简形矩阵(续)特点：

(1)它是行阶梯形矩阵：

(2)非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都为零.行最简形矩阵的性质：

(1)对于任何非零矩阵，总可以经过有限次初等行变换将其化为行最简形矩阵.

(2)一个矩阵的行最简形是唯一确定的.6.矩阵的标准形对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以得到一种形状更简单的矩阵，称为标准形.例如：6.矩阵的标准形(续)矩阵标准形的特点：左上角是一个单位矩阵，其他元素均为零.注：

(1)对于m×n矩阵A，总可以经过初等变换将其化为标准形其中，m,n,r三个数完全确定.

(2)所有与矩阵A等价的矩阵组成一个集合，A的标准形F是这个集合中最简单的矩阵.7.矩阵的等价定义1.11若矩阵A经有限次初等行变换化成矩阵B，则称矩阵A与B行等价，记为

A~B

．r若矩阵A经有限次初等列变换化成矩阵B，则称矩阵A与B列等价，记为

A~B

．c若矩阵A经有限次初等变换化成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为

A~B

．7.矩阵的等价(续)矩阵之间的等价具有下列性质：

(1)反身性：A~A；

(2)对称性：若A~B，则B

~A；

(3)传递性：若A~B，B

~C，则A

~C．8.初等矩阵的定义三种初等变换对应着三种初等矩阵：定义1.12由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.8.初等矩阵的定义(续)

(1)将单位矩阵E的第i，j两行对换(或者第i，j两列对换)，得到初等矩阵：例如，对调5阶单位阵的第3,5行(列)，记作E5(3,5

)．8.初等矩阵的定义(续)8.初等矩阵的定义(续)用m阶的初等矩阵左乘，得到这相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i行与第j行对换.8.初等矩阵的定义(续)类似的，n阶的初等矩阵右乘，得到这相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i列与第j列对换.8.初等矩阵的定义(续)

(2)以数k≠0乘单位矩阵E的第i行(或第i列)，得到初等矩阵：例如，以常数k≠0

乘5阶单位阵第3行(列)，记作E5(3(k))．8.初等矩阵的定义(续)8.初等矩阵的定义(续)用m阶的初等矩阵左乘，得到这相当于以数k乘矩阵A的第i行.8.初等矩阵的定义(续)类似的，n阶的初等矩阵右乘，得到这相当于以数k乘矩阵A的第i列.8.初等矩阵的定义(续)

(3)以k乘单位矩阵E的第j行加到第i行上（或者以k乘单位矩阵的第i列加到第j列上），得到初等矩阵：例如，以k

乘单位阵第5行加到第3行,记作E5(3,5(k))．

以

k

乘单位阵第3列加到第5列．?

两种理解！8.初等矩阵的定义(续)8.初等矩阵的定义(续)以左乘，得到这相当于将A的第j行乘以数k乘加到第i行上.类似地，以右乘，得到这相当于将A的第i列乘以数k乘加到第j列上.8.初等矩阵的定义(续)9.初等矩阵的作用定理1.2设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.以初等行变换为例:口诀：左行右列10.求解线性方程组含有n个未知数m个方程的线性方程组系数矩阵未知数向量常数项向量增广矩阵方程组可表示为10.求解线性方程组(续)线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.对于一般的n元线性方程组，需要解决以下三个问题：1.如何判断方程组是否有解？2.若方程组有解，它有多少个解？3.若方程组有解且不唯一，如何求出方程组的全部解？①+②①/2③/3③

-4②

③-①

②-2①10.求解线性方程组(续)①②②③②+③①-3③结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.11.例2例2：求解非齐次线性方程组解：

11.例2(续)

即得与原方程组同解的方程组令x3

做自由未知量，则令

x3=

c，方程组的全部解可表示为,c为任意实数.通解约束未知量12.求线性方程组解的具体步骤解n

元非齐次线性方程组Ax=b

的具体步骤如下：(1)写出线性方程组的增广矩阵(A,b)；(2)对(A,b)实施初等行变换，将其化为行最简形矩阵；(3)写出以该行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组；(4)将以非零行非零首元为系数的未知量作为约束未知量，留在等号

左边，其余未知量作为自由未知量，移到等号右边，并令自由未

知量为任意常数，从而求得线性方程组的解

．13.例3例3：求解非齐次线性方程组解：.0=2，矛盾

，故原线性方程组无解．

关于线性方程组的解的情况有以下结论：(1)线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是第一个非零元不出现在其增广矩阵的行最简形的最后一列；(2)线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件是第一个非零元不出现在其增广矩阵的行最简形的最后一列，且非零行行数等于未知量的个数；

(3)线性方程组Ax=b有无穷多个解的充分必要条件是第一个非零元不出现在其增广矩阵的行最简形的最后一列，且非零行行数小于未知量的个数.14.线性方程组的解的情况

n个方程n个未知数的齐次线性方程组Ax=0的一般形式：其增广矩阵最后一列元素全为零，所以齐次线性方程组一定有解.显然，一定是齐次线性方程组Ax=0的解，它称为齐次线性方程组的零解．若有一组不全为零的数是齐次线性方程组Ax=0的解，则称其为齐次线性方程组的非零解．15.齐次线性方程组的相关结论在求解齐次线性方程组的时候，只需对其系数矩阵实施初等行变换即可.任何矩阵行最简形矩阵行阶梯