线性基础代数10

3.3

向量组的秩第3章向量空间与线性方程组解的结构引例

讨论R4

中的向量组：

1

=(1,2,-1,2)T

,

2

=(2,4,1,1)T,

3

=(2,4,-2,4)T

,

4

=(-1,-2,-2,1)T中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量.将这个例子推广到一般的情况，可以得到以下概念：解：向量组

1

,

2

,

3

,

4中线性无关的部分组最多包含两个向量.

1

,

2

就是这样的一个线性无关的部分组.

1

,

2

可以作为该向量组的“代表”，而其余向量均可由

1

,

2

线性表出.1.引例2.极大线性无关向量组和向量组的秩定义3.8设有向量组A，如果：(1)向量组A有r个向量线性无关；

(2)向量组A中任意r+1个向量（如果存在r+1个向量的话）都线性相关，那么，称向量组是向量组A的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组.

定义3.9极大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩.注：只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0.2.极大线性无关向量组和向量组的秩(续)按照定义，向量组有一个极大无关组，这个向量组的秩为1.

进一步，向量组A的极大无关组有无穷多个.

2.极大线性无关向量组和向量组的秩(续)同样，按照定义，向量组有一个极大无关组，这个向量组的秩为2.

进一步，向量组B的极大无关组也有无穷多个.

3.例1

例1求以下向量组的一个极大无关组：

解：因为，所以线性相关．而故向量组、向量组、向量组都线性无关．3.例1(续)因此，向量组、向量组、向量组都是极大无关组，原向量组的秩为2．注：这个例子再次说明：一个向量组的极大无关组可能不唯一，但它的秩是唯一的．

例2全体n维向量构成的向量组记作，求的一个极大无关组和的秩.4.例2

解：中n维单位坐标向量组是线性无关的.由性质3.4知，中任意n+1个向量都线性相关.因此，单位坐标向量组是的一个极大无关组，且的秩等于n.类似地，可以证明：中任意n个线性无关的向量组成的向量组都是的极大无关组.4.例2(续)

例如：5.极大线性无关向量组两点说明

(1)向量组的极大无关组可能不唯一，向量组的秩是唯一的.

(2)若向量组A线性无关，则A就是它本身的一个极大无关组，其秩等于它所含向量的个数.6.极大线性无关向量组的等价定义定理

向量组是向量组A的极大无关组的充分必要条件是：

(1)向量组线性无关；

(2)向量组A中任一向量都能由线性表示.

证明：必要性．假设向量组是向量组A的一个极大无关组，由定义，线性无关．对于A中任意向量，根据极大无关组的定义可知，线性相关．因此，向量可由向量组线性表示（且表示式唯一）．6.极大线性无关向量组的等价定义(续)充分性．

只需证明A中任意r+1个向量都是线性相关的．假设线性无关，而它们都可以由线性无关向量组线性表示，由推论3.2可知，r+1≤r，矛盾.因此，线性相关.性质(2)向量组的任意两个极大无关组等价．性质(3)向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同．7.向量组与其极大线性无关向量组的等价性

证明：显然，A的极大无关组可由A线性表示.性质(1)向量组A的极大无关组与向量组A等价．另一方面，对于A中的任一向量a，由性质3.5可知：a可由线性表示.这说明，向量组A可以由它的极大无关组表示，因此，它们是等价的.

例如，向量组是的一个极大无关组，所以，与

等价．设A是一个m

n

矩阵记

1

=(a11,a12,…,a1n),

2

=(a21,a22,…,a2n),…,

m

=(am1,am2,…,amn),为A

的行向量组;

1

2···

m

1

2

…

n

记

1

=(a11,a21,…,am1)T,

2

=(a12,a22,…,am2)

T

,…,

n

=(a1n,a2n,…,amn)T

,为A

的列向量组;定义3.10矩阵A=(aij)m

n

的行向量组

1,

2,…,

m

的秩称为矩阵A

的行秩；A

的列向量组

1

,

2

,…,

n

的秩称为矩阵A

的列秩.8.矩阵的行秩与列秩

定理3.4任意一个矩阵A的行秩与列秩相等，都等于矩阵A的秩．9.例3

例3求下列向量组的秩：

解：将向量组按列写成矩阵A，用初等行变换求A的秩：因为，所以向量组的秩为3．10.矩阵在初等行变换下列向量组的线性组合关系不变性定理

若矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性组合关系．

证明：对矩阵施行初等行变换化为矩阵，相当于用m阶可逆矩阵P左乘A，即．对矩阵A和矩阵B按列分块可得：则有即10.矩阵在初等行变换下列向量组的线性组合关系不变性(续)则有

若A的某些列有组合关系：即B的列向量与A的对应列向量有相同的组合关系.反之，亦然．11.例4

例4设矩阵，求它的列向量组的一个极大无关组，并用此极大无关组线性表示其余列向量.

解：首先求A的列向量组的秩，也就是矩阵A的秩，为此，将A化成行阶梯形：11.例4(续)可知，于是A的列向量组的秩为3，列向量组的最大无关组含有3个向量.行阶梯形中，三个非零行的非零首元分别位于第1,2,4列，所以，是列向量组的一个极大无关组.这是因为可知，故线性无关，是一个极大无关组.11.例4(续)要将用线性表示，再将A化为行最简型：因为所以求向量组

1,

2,…,

s

的极大无关组并用极大无关组表示其余向量的方法是：STEP1:把向量组中的每一个向量作为矩阵的一列，构造矩阵A;STEP2:对矩阵A

进行初等行变换，并化为行最简形，记为B;STEP3:在B

中，每一个阶梯上的第一个非零元(一定为1)所在的列对应的向量即为极大无关组中的向量，其它不在极大无关组中的列中位于阶梯线上方的元素，即为用极大无关组表示该列所对应的向量的表示系数.12.求向量组的极大无关组的方法例5求下列各向量组的一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量.解:对A=(

1,

2,

3,

4

)进行初等行变换：于是向量组

1,

2,

3,

4

的一个最大无关组为

1,

2,且

3=-3

1+2

2

,

4

=4

1-3

2.13.例514.本节小结

(1)极大线性无关向量组的概念：线性无关性、极大性.(3)矩阵的秩与其向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩.(2)关于向量组及其秩的一些结论.(4)求向量组的秩以及极大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换，再求秩与极大无关组．

证明：设向量组A的最大无关组为，向量组B的极大无关组为，另设向量组C为15.思考题设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等，证明向量组A