线性基础代数13

1.4

逆矩阵第1章矩阵与线性方程组1.概念的引入在数的运算中，当时，有其中为a的倒数，或称为a的逆．在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵A，是否存在一个矩阵(记作)，使得2.逆矩阵的定义显然，n阶单位阵E是可逆的，n阶零矩阵O是不可逆的.定义1.13设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得

则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵．因此，根据定义，A是可逆的，B是A的逆矩阵．例如：2.逆矩阵的定义(续)又如：，对任何矩阵，都有定义1.13设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得

则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵．因此，根据定义，

是不可逆的．2.逆矩阵的定义(续)注：

(1)“可逆”的概念只对方阵而言，只有方阵才有可逆或不可逆的说法.定义1.13设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得

则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵．

(2)有的方阵是可逆的，有的方阵是不可逆的.

(3)若方阵A有逆矩阵B，则B也是可逆的，B的逆矩阵就是A.3.逆矩阵的性质于是，所以，A的逆矩阵是唯一的，即B=C．

证明：设B和C都是A的逆矩阵，则有注：

由于A的逆矩阵是唯一的，所以像数a存在唯一倒数，A的逆矩阵也用表示，即有

(1)逆矩阵的唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.3.逆矩阵的性质(续)

证明：由条件可得

(2)若A是可逆矩阵，数，则均可逆，且有3.逆矩阵的性质(续)

证明：由条件可得

(3)若A,B是同阶可逆矩阵，则AB可逆，且有.因此，AB可逆，且有3.逆矩阵的性质(续)

(3)若A,B是同阶可逆矩阵，则AB可逆，且有.注：当A,B可逆时，A+B不一定可逆，且一般情况下，.例如：

显然A，B都可逆，但不可逆.

显然A，C可逆，可逆，但是3.逆矩阵的性质(续)进一步，若A可逆，k为正整数，则可逆，且有

(4)若是同阶可逆矩阵，则可逆，且有4.方阵幂的扩充当A可逆时，定义其中，k为正整数．于是，可逆矩阵的幂运算可以扩充到全体整数，即当A可逆，为整数时，有5.例1例1判断矩阵是否可逆.若可逆，求出其逆矩阵.

解：若A可逆，则存在，使得，即于是得到5.例1(续)易得唯一解：因此，A可逆，且有注：利用定义判断一个矩阵是否可逆或者求其逆矩阵，计算过程比较复杂！应寻找更方便的判断矩阵可逆和求逆矩阵的方法.6.初等矩阵的逆矩阵我们先观察5阶初等矩阵的情形.更一般地，有6.初等矩阵的逆矩阵(续)更一般地，有6.初等矩阵的逆矩阵(续)更一般地，有6.初等矩阵的逆矩阵(续)也就是说：初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵都是同一类型的初等矩阵.将上述讨论总结如下：7.矩阵可逆的等价条件定理1.3设A的是n阶矩阵，则下列命题等价：(1)A是可逆矩阵；(2)A行等价于n阶单位矩阵；(3)A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.证明：采取循环证明的方式进行.

(1)(2)：

设A是n阶可逆矩阵.由定理1.1可知，A可经有限次初等行变换化为行最简形矩阵R：再由定理1.2可知，存在有限个初等矩阵，使得7.矩阵可逆的等价条件(续)

因此，n阶行最简形矩阵R没有全为零的行，而没有全为零的行的行最简形矩阵即是单位矩阵，故R=E，即这说明：即A行等价于n阶单位矩阵E.由可逆矩阵的性质和初等矩阵的可逆性可知，R是可逆的.

(2)(3)：

设A行等价于n阶单位矩阵.存在有限个初等矩阵，使得7.矩阵可逆的等价条件(续)由于初等矩阵都是可逆的且其逆矩阵仍为初等矩阵，不妨设的逆矩阵分别为，于是有即这说明A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.

(3)(1)：

设A可以表示为有限个初等矩阵的乘积，其中，均为初等矩阵，它们均可逆.由逆矩阵的性质可知，A可逆.8.两个矩阵等价的充分必要条件由定理1.3可以推出得到以下关于两个矩阵等价的充分必要条件：推论一

设A与B均为m×n矩阵，那么(1)的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使得PA=B；(2)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=B；

(3)的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B.

9.方阵可逆的充分必要条件推论二

方阵A可逆的充分必要条件是：存在有限个初等矩阵使得.由定理1.3容易得到以下关于方阵可逆的充分必要条件：推论三

方阵A可逆的充分必要条件是：.进一步有：10.判断方阵可逆并求逆矩阵的初等行变换方法当n阶矩阵A可逆时，存在有限个初等矩阵，使得，于是因此，上式说明：若对n×2n矩阵(A,E)施行初等行变换，当A可化为E时，则A可逆.此时，原来的E就变成了.10.判断方阵可逆并求逆矩阵的初等行变换方法(续)判断n阶矩阵A可逆并求的方法：

(1)构造矩阵；

(2)对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形；

(3)若不能行等价于E，则矩阵A不可逆.若A行等价于E，则矩阵A可逆，且原来的E就变成了.11.例2例2判断矩阵是否可逆.若可逆，求出其逆矩阵.

解：因为11.例2(续)所以，12.例3例3判断矩阵是否可逆.若可逆，求出其逆矩阵.

解：因为所以，矩阵A不可逆.13.矩阵方程含有未知矩阵的等式称为矩阵方程.可利用逆矩阵求解的矩阵方程有三种基本形式：14.求解矩阵方程AX=B的初等行变换方法设有矩阵方程，其中可逆，则有如何求呢？由于这说明:初等行变换而可以表示为有限个初等矩阵的乘积：，于是有15.例4

解：若A可逆，则.于是，

例4求解矩阵方程AX=B，其中15.例4(续)因此，16.求解矩阵方程XA=B的初等行变换方法设有矩阵方程，其中可逆，该方程等价于方程这个方程的解为再按前述方法，用初等行变换计算出，从而得到X.17.例5

解：设

例5求解矩阵方程则原方程为XA=B，转置后化为.而

17.例5(续)17.例5(续)因此，从而18.求解矩阵方程AXB=C的初等行变换方法设有矩阵方程，其中可逆，如何求解这个方程？令，用初等行变换求解.求得Y后，再来求解方程.即用初等行变换求解.求得后，再转置得到X.19.例6

解：设XB=Y,则得到AY=C.先求Y：例6设AXB=C，，求矩阵X.19.例6(续)得到，19.例6(续)再求解方程，即求解：19.例6(续)得到从而20.例7

解：若P可逆，则，于是例7设，求.而只需求出，就可以计算.20.例7(续)

因为所以因此，21.本节小结

(1)逆矩阵的概念及性质.

(2)初等矩阵的逆矩阵.

(3)矩阵可逆得等价条件