线性基础代数14

3.4

向量空间第3章向量空间与线性方程组解的结构1.向量空间定义3.11设V为n维向量的集合，如果集合V中定义了两种运算：

(1)对于任意，都有；

(2)对于任意，都有，那么就称集合V对向量的加法和数乘两种运算封闭．定义3.12设V为n维向量的非空集合，如果集合V对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称集合V为向量空间．注：只有一个零向量的集合也是一个向量空间，称为零空间．2.子空间

定义3.13设有向量空间及，若向量空间，就称是的子空间.注：任何一个向量空间V都有两个子空间——V本身和零空间．3.例1

例1判断n维向量的全体是一个向量空间.

解：因为而因此，是一个向量空间.4.例2

例2判别下列集合是否为向量空间：

解：显然非空，且因此，是向量空间.因为所以，不是向量空间.5.例3

例3设a，b为两个已知的向量，集合试证明V为向量空间.

证明：因为称V是由向量a，b生成的向量空间.所以，V是向量空间.6.生成空间

一般地，由向量组所生成的向量空间为alaL={la|l∈R}L={la+m

b|l,m∈R}abcL={l

a+mb+gc|l,m,g∈R}lambg

cablamb7.向量空间的基与维数定义3.14设V是一个向量空间，

(1)线性无关；

(2)V中任一向量都可由线性表示，那么称向量组是向量空间V的基，称r是向量空间V的维数，记为，也称V是r维向量空间.注：

(1)0维向量空间只含零向量0，它没有基.

(2)若将向量空间V看成向量组，则V的基就是它的极大无关组，V的维数就是它的秩.

(3)向量空间的基一般不唯一，但它的维数是唯一的.事实上，任何n个线性无关的n维向量都可以作为

的一个基.8.常见的向量空间的基与维数

(1)向量空间有一个基：所以，的维数为n，称为n维向量空间.8.常见的向量空间的基与维数(续)

(2)向量空间的一个基可以取为所以，V是n-1维向量空间.8.常见的向量空间的基与维数(续)

(3)由向量生成的向量空间向量空间L与向量组等价.因此，向量组的一个极大无关组就是L的一个基，向量组

的秩就是L的维数.9.基的意义若是向量空间V的一组基，则V可表示为这清晰地显示了向量空间的构造.10.向量的坐标定义3.15若在n维向量空间V中取定一个基，那么，V中任一向量可唯一地表示为数组称为向量在基下的坐标，记为.例如，在n维向量空间中，取单位坐标向量组作为基，则10.向量的坐标(续)注：(1)不同向量在同一个基下的坐标是不同的.(2)同一个向量在不同基下的坐标可以相同，也可以不同.大多数情况下是不同的.例：的列向量组是R3

的一个基，

b

在基

e1,e2,e3中的坐标上三角形矩阵的列向量组也是R3的一个基，结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的．那么10.向量的坐标(续)b

在基

a1,a2,a3中的坐标11.例4

例4设有矩阵验证是的一个基，并求在这个基下的坐标.又设

证明：要证是的一个基，只要证线性无关，即只要11.例4(续)即或者11.例4(续)对矩阵施行初等行变换，若A能化成E，则为的一个基，且当A化成E时，B变为：11.例4(续)因此有，，故是的一个基，且11.例4(续)在基下的坐标分别是12.过渡矩阵与基变换公式

设和是n维向量空间的两个基，则可以用

表示为令12.过渡矩阵与基变换公式(续)则有上式也可以写为12.过渡矩阵与基变换公式(续)

定义3.16设和是n维线性空间的两个基，若有矩阵使得则称矩阵为从基到基的过渡矩阵，上式称为基变换公式.注：

(1)基变换公式也可写成12.过渡矩阵与基变换公式(续)(2)满足的矩阵的第i列是在基下的坐标.(3)是可逆矩阵，且即，是从基到基的过渡矩阵.13.坐标变换公式

定义3.17设n维线性空间的元素在基和基下坐标分别为和,基到基的过渡矩阵为，则有坐标变换公式：13.坐标变换公式(续)

证明：因为所以13.坐标变换公式(续)

由于在基下的坐标是唯一的，所以注：该定义反过来也成立，即:若任一元素在两个基下的坐标满足坐标变换公式，则这两个基满足基变换公式.

例5已知中两个向量组，

(1)证明和都是

的基.

(2)求由基到基的过渡矩阵.

(3)求向量在以上两组基下的坐标的关系式.14.例514.例5(续)

解：(1)以和为列构成的行列式分别为因此，和都是线性无关的，它们都是的基.

(2)由得到过渡矩阵为14.例5(续)另解：

所以所以14.例5(续)(3)设在基下的坐标为，在基下的坐标为，则有15.本节小结

(1)向量空间的概念：非空的向量集合对加法及数乘两种运算封闭.由向量组生成的向量空间．

(2)子空间的概念．

(3)向量空间的基和维数求向量空间基和维数的方法．

(4)向量的坐标相对于向量空间的基而言的．15.本节小结(续)(5)基变换两个基之间的转换(6)过渡矩阵联系两个基之间的关系矩阵(7)坐标变换公式一个向量在两个不同基下的坐标的关系表达式16.思考题设向量组与向量组等价，记试证