线性基础代数16

2.3行列式的应用第2章行列式1.伴随矩阵定义2.7行列式|A|的各个元素的代数余子式

Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.注：元素aij的代数余子式Aij位于第

j行第i

列.2.例1

例1求矩阵的伴随矩阵.

解：按定义，因为2.例1(续)所以3.伴随矩阵的重要性质定理2.2设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则必有

证明：同理可得：于是注：

这个结论对任意方阵成立！它在矩阵的理论分析中有重要作用.4.方阵可逆的充分必要条件定理2.3

n阶方阵A可逆的充分必要条件是

，且当A可逆时，由定义1.13可知，A是可逆的，且证明：由定理2.2，若，有5.奇异矩阵与非奇异矩阵由上述讨论可知：

可逆矩阵非奇异矩阵奇异矩阵非奇异矩阵

不可逆矩阵奇异矩阵6.例2例2

求的逆矩阵(假定A的行列式不为零).

解：易知所以，当时，7.例3

例3

求3阶方阵的逆矩阵.

解：因为则8.例4

例4已知，求.

解：因为，所以A可逆.且8.例4(续)一般地，若，则8.例4(续)9.逆矩阵的重要定理定理2.4设A，B是同阶方阵，且满足AB=E，则A，B都可逆，且证明：由条件，两边取行列式可得故，因此有存在，于是注：

以上推论说明，判断B是否为A的逆矩阵，只需验证AB=E和BA=E中的一个即可．例5设方阵A满足方程，证明A和都可逆，并求它们的逆矩阵.

证明：由条件可得所以A可逆，且10.例5分析：矩阵等式，要证A可逆，应设法从已知关系式分解出因子A，并把已知矩阵等式改写为AB=E的形式，则A可逆，且A-1

=B.

10.例5(续)所以可逆，且再由条件可得(4)若A可逆，则11.逆矩阵的性质(1)若A可逆，则也可逆，且.(2)若A可逆，，则也可逆，且(3)若A可逆，则(5)若A可逆，则可逆，且

(6)若A，B为同阶可逆方阵，则AB也可逆，且

推广：12.例6例6

设A为3阶矩阵，，求

解：因为，所以二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为13.克拉默法则的引入含有n个未知数n个方程的线性方程组Ax=b的形式是其中，称为这个线性方程组的系数行列式.14.

n个未知数n个方程的线性方程组15.克拉默法则定理2.5(克拉默法则)线性方程组Ax=b的系数行列式时，线性方程组Ax=b有唯一解，其解为其中，是将D中的第j列换成方程组右端的常数项得到的行列式.15.克拉默法则(续)16.克拉默法则的等价命题定理2.6如果线性方程组Ax=b的系数行列式不等于零,即，则方程组一定有解，且解是唯一的.

定理2.7如果线性方程组Ax=b无解或者有无穷多解，则它的系数行列式必为零，即.

17.例7

例7

求解方程组

解：由和Cramer法则可知，方程组有唯一解：17.例7(续)18.关于Cramer法则的说明

(1)Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等且系数行列式不为零的情形．

(2)Cramer法则的理论意义是：给出了解与系数的解析表达式．

(3)用Cramer法则求解线性方程组计算量大，实际求解时并不可取，但它具有重要的理论意义．定理2.9如果齐次线性方程组Ax=0有非零解，则它的系数行列式必等于零，即.19.齐次线性方程组的相关结论定理2.8如果齐次线性方程组Ax=0的系数行列式不等于零，即，则齐次线性方程组只有零解，即.20.例8

例8

问取何值时，齐次方程组有非零解？

解：如果齐次方程组有非零解，则必有.所以时齐次方程组有非零解.21.本节小结4.用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.5.克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵存在.

逆矩阵的计算方法：方法一：利用公式方法二：利用公式.22.思考题1若为非零实矩阵，且，证明A为可逆矩阵.证明：设，由可知因此，A可逆.23.思考题2若A,B均为n阶可逆矩阵，证明(1);(2).证明:(1)由假设可知，AB也可逆.且由可知