实数（数学竞赛题汇编）-八年级答案

专题05实数

全国各地竞赛真题试题汇编■

1.（2024八年级下•江苏无锡•竞赛）在一列数％1，M，，3,……，中，己知％1=1，且当kN2时,力女=x『i+1-

M吊-牌（［Q］表示不超过实数。的最大整数，例如［2.6］=2,［0.2］=0）,则％2oio等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查/定义新运算，数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的

关键.由题意依次求出次=2,々=3,仙=4，x5=1,......,可得出规律Xk以1、2、3、4为一个循环组,

每4个数为一次循环，利用规律即可解答.

【详解】解：由题意得，x2=xj4-1-4（［^］-［0］）=14-1-0=2,

x3=x2+1-4（［；］-［；］）=2+1-0=3,

x4=x3+1-4（［^］-［^］）=3+1-0=4,

&=4+1-4（用-即=4+1-4=1,

x6=x5+1-4（［1］-［^］）=1+1-0=2,

七="6+1-4佃一即=2+1-0=3.

x8=x7+1-4（g］-［1］）=3+1-0=4,

x9=x8+1-4（g］-g］）=4+1-4=1,……

观察规律可知，4以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，

•••2010=4x502+2,

•*,Qoio=x?=2.

故选：B.

2.（23八年级上•河南）倔T的算术平方根是.

【答案】a

【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键.

先计算倔T=9,然后计算9的算术平方根即可得出答案.

【详解】解：V81=9,9的算术平方根是75=3,

・•・司的算术平方根是3,

故答案为：3.

3.（八年级•广东•竞赛）有一个数值转换器，原理如图：那么输入的x为64时，输出的y是

----------------------------------------------1是无理数I------------

输入XT取立方根吊取算术平方根|_厂一|输出y

是有理数

【答案】、历

【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据数值转换器的原理，结合7方根、算术平方根的计算方法

计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关健.

【详解】解：V64=4,V4=2,

故输出的），是四，

故答案为：V2.

4.（2024七年级上•浙江宁波•竞赛）V5的小数部分为a,4-遍的小数部分为b,则|a-b|=.

【答案】4-x^3—V5

【分析】本题考查了估算无理数的大小，先分别求出国、代的取值范围，即可求出a、b的值，再根据绝对

值的性质化简即可.

【详解】解：vVI<V3<V4,

1<V3<2,

•••国的整数部分是1，小数部分是6-1，即。=g一1,

v<VS<炳,

2<V5<3»

-3<-V5<—2,

1<4-V5<2,

二4一百的整数部分是1,小数部分是4一b一1=3-代，即6=3-遥，

•••\a-b\=|V3—1—（3—V5）|=|V3-1-34-V5|=|V34-V5-4|=4-V3—V5,

故答案为：4-V3-V5.

5.（2024七年级上•浙江宁波•竞赛）已知/加为整数，且力是三位数，则有个%满足题意.

【答案】8

【分析［本题考查了算术平方根的意义，根据而为整数，且工是三位数可知x是6与一个平方数的积，

据此即可求解.

【详解】解：・・・s®=舟=半为整数，且％是三位数，

•••X是6与一个平方数的积，

=150,216,294,384,486,600,726,864,共有8个.

故答案为：8.

6.（2024八年级上•江苏）已知a为无理数，且ah+&Q-b=&，则b=.

【答案】一遮

【分析】本题主要考查了无理数的含义，解题关键是因式分解.根据〃为无理数，结合因式分解可得：(a-

1)(匕+V2)=0,再进一步即可解题.

【详解】解：・.Z为无理数，且劭+&a-b=&，

+V2)-(b+V2)=0,

/.(a-l)(b+V2)=0,

•・・a—l是无理数，不为0，

••b+>/2=0,

.\b=­y/2.

故答案为：一企.

7.(22八年级上•湖南)若因表示不超过”的最大整数，设$=[何+[J司+[J可+…+[x/99]+[V100],

那么次=.

【答案】25

【分析】本题考查取整函数的知识，平方根，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力,

利用规律进行求解.先写出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案.

【详解】解：•••听=[V2]=[V3]=1,

[V4]=[V5]=[V6]=[V7]=[V8],

[V9]=[V10]=[VT1]=[V12]=[V13]=[V14]=[V15],

[Vfil]=[x/82]=...=[V99]=9,[V100]=10,

二原式二1x3+2x5+3x7+4x9+5x114-6x13+7x15+8x17+9x19+10=625,

•••s=625,

•••yjs=25,

故答案为：25.

8.(2024七年级下•广东广州・竞赛)计算：

(1)(-1)2-V25+|V3-2|+4-2/；

(2)-I2-V27+|-V2|.

【答案】⑴-福

(2)-4+V2

【分析】本题考查了实数的混合运算，有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，熟练掌

握运算法则是解此题的关键.

(1)根据有理数的乘方、二次根式的性质、绝对值的性质进行比简，再计算加减即可；

(2)根据有理数的乘方、立方根、绝对值的性质进行化简，再计算加减即可.

【详解】(1)解：(一1)2—后+|百一2|+J(—2)2

=1-5+2-73+2

=­V3；

（2）解：一产一切+卜企|

=-1-3+V2

=-44-V2.

9.（2024九年级上•浙江金华•竞赛）定义运算：二若（工一1）*（%-4）=1,试求x

M（Q>b,b0）

的值.

【答案】1或3或5

【分析】本题考查幕的运算与新定义问题，熟练掌握一个数的寝的形式为1,可分二种情况：①底数为1;

②恭为0是解题的关键，根据由新定义可得（％-4尸-1=1,则％-4=1或％-1=0,即

可求解.

【详解】—>词=„。瑞,

/.（X-1）*（%-4）=1可变形为。-4尸-1=1,

••x-4=1或｛:二:二，或%-4=-1且％-1为偶数，

解得：无=5或无=1或％=3,

•1X的值为：1或3或5.

10.（24七年级下•重庆）对于有理数〃?、〃定义一种新运算“㊉”：血㊉九二誓三.等式右边是通常的四

3m

则运算.例如2引4=隼二=；.

3X2o

⑴若3㊉x=l,则％=,X03=

（2）已知y+3=去，且y为整数，求所有满足条件的整数。的值.

【答案】⑴6；；

（2）a=9、­3、6、0、5、1、4、2

【分析】本题主要考杳了定义新运算，有理数的混合运算.熟练掌握新新运算法则，有理数混合运算的顺

序和法则，解一元一次方程，一次不定方程，是解决问题的关键.

（1）根据新运算法则，进行计算即可；

（2）根据新运算法则，列出一元一次方程，求解即可；

（3）根据新运算法则，求出的关系式，再根据y、a的值为整数，给定p值求出〃值即可.

【详解】（1）・・・3㊉％=，且3㊉x=1,

•2T-3[

••----=1,

9

解得，x=6；

6x37-3=2

.*.义合3=6㊉3=

3x63

4/10

故答案为：6,

⑵.•蝙=金与且"3=募,

3x2

•**>'+3=-a-3-

，a=-^―+3

y+3

•.”、a都是整数,

**.y+3=i1±2、±3、±6,且a=#3,

，a=9、—3>6、0、5、1、4、2.

今全国联赛真题试题汇编「

1.(2024七年级•全国•竞赛)已知a、b是有理数，且(6+l)a+gb+冉+3=0,则a+2匕的值为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是将(6+1)。+66+6+3=0变形为旅6+6+

1)+3+3)=0,得出a+b+l=0,a+3=0,求出Q=-3,b=2,即可得出答案.

【详解】解：V(x^3+l)a+V3b+V34-3=V3(a+b4-1)4-(a4-3)=0,

/.a4-ft+1=0>Q+3=0,

/.a=-3,b=2,

:.a+2b=-34-2x2=1,

故选：C.

2.(2024八年级•全国•竞赛)已知s=>20172+2017,则s的整数部分是()

A.2016B.2017C.2018D.2019

【答案】B

【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断s的整数

部分.

【详解】解:由题知，s2=20172+2017,

又20172v20172+2017=2017X2018<20182,

2017<,20172+2017<2018

则s的整数部分是2017,

故选：B.

3.（2024九年级•全国•竞赛）如图，正六边形的边长为1,顶点力与原点重合，将对角线力8绕点4顺时针

旋转，使得点8落在数轴上的点C处，则点C表示的数是（）

A.1+yB.V3C.|D.2

【答案】B

【分析】本题考查实数与数轴、正六边形的性质、直角三角形的相关性质、勾股定理，熟知相关定理、正

确做出辅助线是正确解决本题的关键.

作，。_1数轴于点D,利用“30。锐角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理求出OO,进而求出即可.

【详解】解：作BD1数轴于点。，

Z.BED=60°,Z-AEB=120°,

•••乙EBD=30°,乙ZMC=30°,

•••BE=1,

•••"I，BD=*

•*.AB=BD=V3.

即点。表示的数为V5.

故答案为：B.

4.（2024七年级•全国•竞赛）27272^=

【答案】2

【分析】本题考查实数的运算、平方根的应用，通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，利用方程思

想进行求解.

x,则,=2（荷27^

【详解】解：设2T==2x,

即（》一1）2=1,则1—1=±1,

6/10

解得x=2或x=0,

因为％>0,所以原式的值为2,

故答案为：2.

5.（2024七年级•全国•竞赛）正数》的平方根是Q+5与匕一8,则（一3尸+°=.

【答案】-27

【分析】本题考查了正数有两个平方根，且这两根互为相反数的知识.

根据正数的两个平方根互为相反数，可得方程。+5+8-8=0,即可求得Q+b的值，进而即可求解.

【详解】解：•・•正数x的平方根是Q+5与匕一8,

a+5+b-8=0»

.*.a+b=3,

・《3严=（-3>=-27.

故答案为:-27.

6.（2024七年级•全国•竞赛）实数201420152+20142015的算术平方根的整数部分是.

【答案】20142015

【分析】本题考查了无理数的估算；设a=20142015,则原式为次十处对此式进行估算即可.利用换元

思想使解题得到简化.

【详解】解：设Q=20142015,则原式为。2+匿

Va2<a2+a<（a+I）2,

:.a<y/a2+aVa+1,

・・・、/铳的整数部分为a,即20142015：

故答案为:20142015.

7.（2024八年级•全国•竞赛）若实数a满足|a-8|+-2015=a,Ma=.

【答案】2079

【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是解

答的关键.先求得QZ2015,则|Q—8|二Q-8,进而得到』a—2015=8,然后求解即可.

【详解】解：依题意得Q—2015N0,则aN2015,

\a-8|=a-8,

，原式化为a-8+-2015=Q,即V"2015=8,

得a-2015=64,

Aa=2079.

故答案为:2079.

8.（2024八年级•全国•竞赛）对于实数m、n,定义运算m渐=m（l-n）,下面是关于这种运算的几个

结论：

①2米3=-4：②若m来>1=0,则m=0；③m※n=（1—九）度（1-m）；④若m+zi=l,贝ij（?n浜m）一

7/10

(九※70=0.其中正确的有(填序号).

【答案】①③④

【分析】本题考查了有理数新定义计算，大小比较.根据定义运算判断即可.

【详解】Vm=m(l—n),

，2求3=-4,

=2(1-3)=-4；

故①止确；

*/m豹；=0,

=n(l—n)=0,

Am=0或几=1；

故②错误；

ra=m(l—n),

/.(1—九)※(1—TH)=(1—n)[l-(1—m)]=77i(l—n),

故zn※n=(1—九)※(1—m),

故③正确：

=m(l—n),m+n=1,

=m2,

=m(l-m)=mn,

n^n=n(l—n)=mn,

；・(7n※町)—(九※ri)=0.

故④正确.

故答案为：①③④.

9.(2024八年级•全国・竞赛)当。=1时，对于实数xNa,代数式|x+4|+—a—|-2|的最小值

为.

【答案】4

【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的性质.分1WXV2和2两种情况讨论,利用绝对值的性质

和算术平方根的性质计算即可求解.

【详解】解：a=l,

由％?1,所以％+4>0,

令£=|x+4|+y/x—1—|x-2|.

当1WXV2时，t=x+4+Vx-1+x-2=2x4-Vx-1+2>4.

当时,t=x4-4+-x+2=4-6>7.

综二，t=|x+4|+yjx—1—\x—2|的最小值为4.

故答案为：4.

10.(2024七年级•全国・竞赛)已知等式生冬=1=0成立，求-9a的立方根和ab的平方根.

vo+6

【答案】一3；±3V2

【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关

键.

2

先根据题意得到V2Q-b=。|a-9|=0,b>-6,得到Q=3,b=6,再代入求一9a的立方根和ab的平

方根，即可解答.

【详解】解：.・•叵黑匕1=0,

Vb+6

.*.V2a—b+|a2—9|=0,b+6>0,

/.V2a—b=0,\a2—9|=0,b>—6,

a=3,b=6.

••・-9Q的立方根一一3,ab的平方根一±V35T6=±V18-±3V2.

11.(2024八年级•全国•竞赛)已知a、b、c满足如下关系式：“a+4b-3c-6+73a+3£-2c-

+b-2012+3V2012-a-6=。求a、b、c的值.

【答案】Q=1012,b=1000,c=3018

【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二元一次方程;根据题意可知a+b-2012>0,2012-a-b>0,

得a+b=2012,从而V5a+4b-3c-6+，3a+3b-2c=0,得a—b=12,最终利用方程组得解；熟知

算术平方根的非负性是解题的关键.

【详解】解：由Q+力一201220,2012—