（新高一暑假预习）人教A版高中数学必修第一册：充分条件与必要条件（解析版）

叫，加是"的充分条件,〃即的必要条件）

充分条件与必要条件充要条件的慨念）<7%=

如果1!1仃p=g.乂4tq=p.就记作pff.

这iHp是g的充分必娈条件，加是夕的充要条件.

Ipf,似夕Ap,如是勺的充分不必要条件.

g明的必要不充分条竹

、/Mgf»，乂力是g的仍要不充分条件，

）夕期的允分小。要条件

必鬟条件与充要条件的判断

充分条件与必要条件

rP=g.即0』，蜘、g"：为充要条件

切刊P则户足夕的既不充分也不必要条件

Ctt脏卜|p(t)LB=biQ(I))

关系向tlkAA-BAOUKQ

从集合与集合间的关系看）忸小O)&

pliq的充分不必1.足«1的0要不允P是Q«»不充分也

结论AQ4为充要条什

e*n分条件林,缔

题型七：探求命题成立的充要条件

题型四：由必要条件确定参数的取值范围

02基础知识梳理

知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念

符号〃=4与〃至9的含义

“若p,则夕”为真命题，记作：P=q；

“若p,则如'为假命题，记作:p书q.

充分条件、必要条件与充要条件

①若〃二夕，称〃是q的充分条件，夕是〃的必要条件.

②如果既有〃=4，又有夕=>〃，就记作这时P是<7的充分必要条件，称P是9的充要条

件.

知识点诠释：对〃=>夕的理解：指当p成立时，q一定成立，即由P通过推理可以得到g.

①“若〃，则夕”为真命题；

②p是q的充分条件；

③q是〃的必要条件

以上三种形式均为“pnq”这一逻辑关系的表达.

知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题“若P，则q"，其条件〃与结论学之间的逻辑关系

①若〃=q,但q*p,贝］p是4的充分不必要条件，^是p的必要不充分条件；

②若〃*4,但9=>〃，贝Jp是q的必要不充分条件，夕是〃的充分不必要条件；

③若〃=q,且4=>〃，即〃oq,则p、q互为充要条件；

④若p*q,且g於〃，贝Jp是9的既不充分也不必要条件.

从集合与集合间的关系看

若p：xEA»q：xWB,

①若4q氏则〃是q的充分条件，q是p的必要条件；

②若A是3的真子集，则p是q的充分不必要条件；

③若A=B,则p、q互为充要条件；

④若A不是B的子集且3不是A的子集，则〃是夕的既不充分也不必要条件.

记法A={x|p(x)},B={x|q(x))

关系A&A二BA2B且B2A

图示

P是q的充分不必p是q的必要不充P是q的既不充分也

结论P,q互为充要条件

要条件分条件不必要条件

知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充

分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：

①确定哪是条件，哪是结论；

②尝试用条件推结论，

③再尝试用结论推条件，

④最后判断条件是结论的什么条件.

知识点三：充要条件的证明

要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必

要性（即证原命题的逆命题成立）

知识点诠释：对于命题“若p,则4”

①如果〃是q的充分条件，则原命题“若p,则夕”与其逆否命题“若-/，则一p”为真命题；

②如果p是q的必要条件，则其逆命题“若乌，则p”与其否命题“若力，则r”为真命题；

③如果p是q的充要条件，则四种命题均为真命题.

03题型精讲举一反三

题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判定

例1.（2026•高一•上海奉贤•期末）已知乂ycR,贝『3""是"冷，=网"的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】若冷后。，则孙=阿，放"―后。"是"个=网”的充分条件，

若砂T孙I，则灯之0，故"孙之。"是"寸=网”的必要条件,

综上可得：“冷后0〃是"岁=网”的充要条件.

例2.（2026•高二•安徽•学业考试）设p:（a—2）（。—3）=0,q-.a=3,则（）

A.〃既是4的充分条件，也是“的必要条件

B.〃是，/的充分条件，但不是9的必要条件

C.P是9的必要条件，但不是^的充分条件

D.〃既不是夕的充分条件，也不是“的必要条件

【答案】C

【解析】由m-2）m-3）=0可得G=2或a=3,

■•1命题P不一定推出命题。，...命题P不是命题"的充分条件；

•・•命题4可推出命题P,命题〃是命题"的必要条件，

是"的必要不充分条件.

故选：C.

例3.（2026•高一•江苏常州•阶段检测）下列所给的各组〃,4中，。是，/的充分条件的是（）

A.〃:/=1国:。=1

B.p,—<\yq.b<a

C.P：w<Lt/：关于x的方程/几12+2大+1=（）有两个实数解

D.〃:&A8C中，/8AC>/n8C,q：AA8C中，BC>AC

【答案】D

【解析】对于A,若/=1则。=一1或。=1,则九q,

所以，不是夕的充分条件，故A不符合；

对于B,若2<1,则。va且。>0或〃且〃<0,则〃4",

所以P不是夕不充分条件，故B不符合；

对于C,若关于x的方程〃>+2工+1=0有两个实数解，

mH0

则|A=22-4解得〃臼且叱。,

则04q,所以〃不是4不充分条件，故c不符合；

对于D,在VA8C中，"4C>N/$C可得8c>4C,

则p=q,所以P是9的充分条件，故D符合.

故选：D.

变式1.（2026•高一•江西•阶段检测）“3x7为整数”是。为整数”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

9

【解析】当上=；时，3x-1=1为整数，故x不一定是整数，而当x是整数时，3x-1一定是整数，所以

“3/-1为整数"是"％为整数”的必要不充分条件.

故选：A.

变式2.（2026•高一•山东荷泽•阶段检测）己知〃是〃的充分不必要条件，4是「的充分条件，$是「的

必要条件，^是$的必要条件，下列命题正确的是（）

A.「是，/的充分不必要条件B.P是4的充分不必要条件

C.「是的必要不充分条件D.「是，的充分不必要条件

【答案】B

【解析】由已知有p=>r,葭P,q=「,r=>s,s=>“，

由此得，.=>/且qnr,故AC不正确；

pnq、QGP,故B正确：

〃=>s且S=r,故D不正确.

故选：B.

题型二：充分条件与必要条件的基本性质及应用

例4.（2026•高一•上海-期中）下列是人成立的一个充分非必要条件的是（）

A.a2>h2B.«>/>+!C.D.a3>by

b

【答案】B

【解析】对于A,由于〈J不能推出♦>〃，故A错误，

对于B,由a>〃+l可得a>1,故可得。>力，但〃>6可得。一。>0,无法得至故a>〃+l是。>〃成

立的一个充分不必要条件，B正确，

对于C,由9>1可得噌>0,由于无法得知人的符号，所以无法确定〃>/九故C错误，

bb

对于D,故是〃成立的充分必要条件，口错误，

故选:B

例5.（2026•高一•河北•阶段检测）已知条件〃:xv。或x>2,则使得条件〃成立的一个充分不必要条

件是（）

A.x<l或x>2B.xv-1或x>4C.xvO或x>2D.0<x<2

【答案】B

【解析】使得条件〃成立的一个充分不必要条件应为｛x|.r<0或x>2｝的真子集，

只有XV-1或x>4满足要求.

故选：B.

例6.（2026•高一•上海•期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下"，这句谚语说明古人认为“能扫一屋〃的

一个（）条件是"能扫天下"

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】"能扫天下〃一定得到"能扫一屋"，

所以“能扫天下〃是“能扫一屋”的充分条件.

故选：A.

变式3.（2026•高一•湖南衡阳•阶段检测）已知条件则使得条件，成立的一个充分不必要条

X

件是（）

A.x<-lB.x>\C.x<（）或x>lD.x/0

【答案】A

【解析】由题意得!<1,解得x>l或x<0,

X

故使得条件〃成立的一个充分不必要条件应为I或XV0的真子集，

其中/<-1满足要求，其他选项不满足.

故选:A

变式4.（2026•高一•河北石家庄•阶段检测）下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是

（）

A.a>b-2B.a2>b2

C.—>1D.a>b+2

b

【答案】A

【解析】对于A,"a>»’能推出"a>b-2",但“a>6-2"不能推出"。>人,故满足题意;

对于B,"a>"不能推出，2>加”,故选项B不是“心旷的必要条件,不满足题意；

对于C,“a>〃〃不能推出“二>1”,故选项B不是的必要条件，不满足题意：

b

对卜D,"a>8"不能推出“a>〃+2",故选项C不是“a>b〃的必要条件，不满足题意.

故选：A.

题型三：由充分条件确定参数的取值范围

例7.（2026•高一•河北保定•期中）已知集合A={H3WXW6},集合8={巾22〃1或

X<W-1./77GR1.

⑴若A3=0,求实数用的取值范围；

（2）设〃:xeA,q”B,若〃是4的充分条件，求实数川的取值范围.

【解析】（1）已知力={x|3WxW6},8={x|xWm—1或％22m-1},若4c8=0,

则工的所有元素都不在B中，可得不等式组：］丁一i］：A，

127n-1>6

77

解得-<m<4,即m的取值范围为不<m<4-

22

（2）若p是q的充分条件，则AqB,即A的所有元素都属于8,

因此有两种情况：®71£［x\x此时〃?一126,解得〃栏7；

②Ac{x|x>2/«-l）,此时2〃?-1«3,解得小42,

综上，m的取值范围是或加27.

例8.（2026•高一・陕西渭南•期末）设全集U=R,集合4={小>时，B={A\-3<X<5}.

⑴当相=—2时，求@4）08；

⑵若“xcB〃是“工€人〃的充分条件，求小的取值范围.

【解析】（1）当〃?=一2时，集合八={x|x>-2},

又因为全集U=R,所以+A={XxW-2},

因为集合8=国-3Vx<5},所以⑼A）cB={x|-3vxW-2}

（2）因为“xeB〃是"xeA”的充分条件，所以8cA.

乂因为集合4={#>机}，B={x|-3<x<5},所以〃2K-3.

即阳的取值范围为{讨,3-3}.

例9.（2026•高一•湖南娄底•期末）设全集U=R,集合A={止2vxv5},B={x|/n-5<x<2,72+1）.

（1）若〃7=1,求集合Q/A,408；

(2)命题〃:xeA,命题/xcA,且〃是“的充分不必要条件，求实数川的取值范围.

【解析】(1)6=1,B={x|-4<x<3},

所以4,4={小《-2或xN5},Au8={x|-44x<5}；

(2)因为P是4的充分不必要条件，所以A=3且

m—5W—2

所以C八一其中等号不同时成立，解得2«〃”3，

所以实数力的取值范围是卜〃|23匹3}.

变式5.(2026•高一•福建三明•阶段检测)已知全集〃=区，集合尸={x|a+14xW2a+l},

(?={x|-2<x<5).

(1)若4=3,求PDQ,PCQ；

(2)若“xeP〃是“xeQ〃充分不必要条件，求实数〃的取值范围.

【解析】(1)当a=3时，P={xl4<x<7],

因为Q={X|-2V*W5},所以PCQ={X[-2<X<7}；Pr>Q={x\4<x<5}；

(2)若“xeP〃是“xcQ”的充分不必要条件，即P是。的真子是,

当〃+1>为+1时，”0,此时尸=0,满足尸是Q的真子集，

A+1>-2

当Pw0时，则，2a+\<5,解得：04aW2,且a+1=—2和2a+l=5不能同时成立，

2a+\>a+\

综上所述：实数〃的取值范围为。W2.

变式6.已知命题p:-2WxW10,c/:x>\+a^x<}-a,a>0,若〃是9的充分不必要条件，则。的取值范

围为.

【答案】0

【解析】命题〃对应集合八={R-2KXK10},

命翘“对应集合B={x\x21+a或xK1-a>0},

若P是4的充分不必要条件，则集合人是集合B的真子集，

则有1+“七一2或1一々21(),解得。4一3或。4一9,即。工一3,

又〃>0,故。的取值范围为。.

题型四：由必要条件确定参数的取值范围

例10.（2026•高一•上海•期末）已知集合A={x|2vx<4},5={x|2m<x<\-mjneR}.

⑴若AB=0,求实数用的取值范围；

（2）已知机<；,记命题〃:xeA/xwB,若4是P的必要不充分条件，求实数初的取值范围.

【解析】（1）若8=0,则26？1m,得加彩

若8工0,则〃

因为4B=0,所以1一〃?工2或力心4,得〃出一1或/〃，2,则一1工〃?<；,

综上，实数〃1的取值范围为卜山〃后-1}；

（2）因为小<；,所以笈工0,

因为4是〃的必要不充分条件，所以A是3的真子集，

2m<2

则।、.且等号不同时成立，得机工-3,

故实数机的取值范围为{W〃工-3}.

例11.（2026•高一•广东深圳•期末）已知集合4={划一1<工<4},B={x\m-\<x<2m-3}.

（1）若〃?=4,求4A和AB-

⑵若"xeA”是"xe夕的必要不充分条件，求实数用的取值范围.

【解析】（1）当巾=4时,B={M〃IW2小-3}=33W5},

因为人={目-1式工<4},所以电A={4r<-1或xN叫，4^^={x|-l<x<5}.

（2）因为“xc4”是"xw8〃的必要不充分条件，则集合4是集合A的真子集，

当8=0时，fn-\>2m-3,解得m<2：

m-\<2m-3

当3/0时，要使集合3是集合A的真子集，则，m-\>-\,解得2金〃<?.

2m-3<4

7

综上所述，实数，〃的取值范围是〃

/

例12,（2026•高一•陕西宝鸡•期末）已知集合4=3—1K2N+1S3},13={x\a<x<a+4}.

⑴若a=（）,求4B；

⑵若是xe人的必要条件，求实数。的取值范围.

【解析】（1）A={X|-1<2X+1<3}={A-|-1<X<1},当〃=0时E={x[0<x<4},

所以入3=3-。<4}；

（2）由（1）得4=卜卜1WxWl},B={x\a<x<a+4],

因为xeB是xeA的必要条件，所以AqB,

所以,,解得

。+4>1

所以实数。的取值范围是{。|-3v。v7}.

变式7.（2026•高一•四川凉山•期末）已知集合A={N2«x<3},B={RXV”?或〃+2}.

（1）当m=0时，求Ac及4（Au3）；

（2）若xeA是xwA的必要不充分条件，求实数〃?的取值范围.

【脩析】（1）因为〃?=（）,所以6={Nxv〃?或x>〃i+2}={x|x<0或K>2}

所以4cB={x|2<x<3},

AuA={x|x<0或xN2}

^（AuB）={x|0<x<2）

（2）因为是xeA的必要不充分条件，则A是"的真子集.

则〃?+2<2或，〃之3,所以/〃<0或，〃之3,

所以实数m的取值范围为{ml〃?<0或加N3}.

变式8.设人=卜|/-34+2=0},B={x|ar+2=0}

⑴用列举法表示集合A并写出集合A的所有子集；

（2）若“KwA〃是“XeB〃的必要条件，求实数。的值.

【解析】（1）由题可知集合人中元素满足方程V-3x+2=0,解得x=l或x=2,

即集合A={1,2}所以集合A的所有子集是0,{1},{2},{1,2}.

（2）因为“xeA”是"xeB”的必要条件，所以8口A,

当8=0时，ar+2=0无解，则a=0；

当8={1}时，a+2=（）,则〃=一2；

当8={2}时，24+2=0,则a=T,

综上所述，实数〃的值为0或T或-2

题型五：由充要条件确定参数的取值范围

例13.（2026•高一•湖南岳阳•期中）已知集合P={x|-2KXK6},非空集合S={x|1-〃+3M.

⑴若xe尸是xeS的必要条件，求实数m的取值范围；

⑵是否存在实数，〃，使xw〃是xeS的充要条件.

【解析】（1）团xwP是xeS的必要条件，故SqP.

\-m<\+3m

,解得

3

1+3〃？<6

即所求实数，〃的取值范围是

（2）团若xwP是xeS的充要条件，则夕=S,

\-m=-2

"3〃?二6'由于该方程组无解,

即不存在实数小，使xwP是xeS的充要条件.

例14.（2026•高一•广东东莞•阶段检测）已知集合A={M-3«XW4},8={X|1-〃?4X«3〃L2,〃01}.

⑴是否存在实数加，使得xwA是xe3成立的充要条件，若存在，求出实数川的值，若不存在，请说明理

由；

⑵若xeA是xe3成立的必要不充分条件，求出”的取值范围.

【解析】（1）若存在实数加，使得xcA是成立的充要条件，则A=8.

\—m=—3

故。.无解，故不存在实数〃"使得是xeB成立的充要条件.

3〃?-2=4

（2）因为〃?>1,所以3/〃一2>1>1—/〃.故4/0,

由xeA是xeA成立的必要不充分条件，得4真包含于A,

\—tn>—3

所以。且不等式组的两个等号不同时取得，解得〃?K2,乂机>1,

所以加的取值范围为lv〃?42.

例15.已知集合人={.4-1<1<3},集合8={x|-1vxv〃2+l}.

⑴若xeA是xe4成立的一个充分不必要条件，求实数机的取值范围；

⑵若xr人是ru。成立的充要条件，求实数〃?的值.

【解析】（1）由题意人是8的真子集，所以〃?+1>3,即〃>2,

所以实数m的取值范围为{m\m>2}.

（2）因为xwA是成立的充要条件，所以A=8,

所以，〃+1=3,即加=2.即实数m的值为2.

变式9.（2026•高二•陕西咸阳•阶段检测）已知P={x|”x42},S={x\\-m<x<\+m].

⑴是否存在实数〃?，使xeP是]三5的充要条件？若存在，求出”的取值范围；若不存在，请说明理由.

⑵是否存在实数用，使xeP是xwS的必要条件？若存在，求出”的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）要使xc尸是xeS的充要条件，需使P=S,

1—=1

即1ni七此方程组无解，

i+m=2

故不存在实数〃?，使xe。是xeS的充要条件.

（2）要使xwQ是xwS的必要条件，需使SqP.

当S=0时，1-〃7>1+〃7,解得〃7<0,满足题意;

当SW0时，\-m<\+m,解得，"之0,要使Sq尸，则有

1T〃21

\,»解得tn<0,所以〃?=0.

1-m<2

综上可得，当实数，〃K0时.，xcP是xeS的必要条件.

变式10.(2026•高一•湖南郴州•阶段检测)设集合A={#+3X+2=。},

4=卜卜2+(〃?+l)x+/〃=0};

⑴用列举法表示集合A；

⑵若是xe4的充要条件，求实数，〃的值.

【解析】(1)集合4={小2+3/2=0}=卜1,-2},

即A={T_2}；

(2)由已知A={-l,-2},x2+(m+\)x+m=()}=[x\(x+l)(x+//z)=()},

若犬©4是xcA的充要条件，则4=8,

/.-m=-2,

.,./〃=2.

题型六：充要条件的双向证明

例16.已知a+〃+c=O,证明：ZJ+〃+c?=0"是"a〃+Z?c+ac=O"的充要条件.

【解析】先证充分性：

由/+Z/+/=0得a=O=c=。，贝ij〃力=O,bc=O.ac=。，因此2+〃c+ac=U；

再证必要性：

由+=2cib+2bc4-2ac=0,由a+〃+c=(),得(a+A+c)?=(),

因此a?+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,则a2+b2+c2=0

所以+c2=0是"。〃+从'+比=0"的充要条件.

例17.(2026•高一•上海•阶段检测)(1)已知关于x的一元二次方程/+(2"7+1)》+〃?-2=0.求证:

无论机取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)求证：关于工的方程a「+A+c=0有一个根为1的充要条件是。+〃+。=0

【解析】(1)关于x的一元二次方程x2+(2〃z+l)x+,〃-2=0.

因为△=(2〃Z+1)2-4x(〃?-2)=4//+9>0,所以无论力取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)必要性：若关于4的方程or?+历:+c=0有一个根为1,则a+/?+c=O,

充分性：若a+Hc=0,

则关于x的方程⑪2+bx+c=ax2=_])+0(X—1)=(1_])(依+4+/?)=0有一个根为1,

所以关于X的方程aF+Zu，+c=O有一个根为1的充要条件是a+b+c=o；

例18.（2026•高一•湖南长沙•阶段检测）设集合例={1=病—〃2,‘〃”z}.

⑴11和36是集合M中的元素吗？若是，请说明理由.

⑵证明：属于M的两个整数，其积也属于例；

（3）写出“偶数2&（八Z）属于的一个充要条件并证明.

【解析】（1）因为11=62-52,36=62-0\所以lie",36eM；

（2）设这两个整数分别为右山，

则集合/={t\t=m2-n\m,neZ\中的元素乙=而一〃；/=*一〃；，

所以乙,G=（诉-〃；）。宿一W）=〃才涕一诉裙-〃:局+〃讯

=+n]n2）~{m\n2+"1建）=（小吗+〃1〃2）2_（町%+）'.

因为〃?,/?eZ,所以码吗+n}n2,m}n2+勺m2eZ,

r（€；W,/2GM,则4“2e”成立.

（3）“偶数2MzeZ）属于M〃的一个充要条件是女为偶数.

充分性：因为k为偶数，所以设攵=2a（awZ）,所以喋=4〃，

而3+1）2-（4-1）2=4。，所以”=3+1）2-（"1）2满足集合M={r|t=m2-7l2,/W,nGZ|,

所以偶数2A（AwZ）属于M.

必要性：因为偶数减为wZ）属于%所以兼=〃/—/="〃+〃）（〃?_〃）

因为〃,所以/〃+〃与川-〃有相同的奇偶性.

因为2代AwZ）为偶数，所以〃7+“与〃一〃均为偶数，所以⑺+九）⑺一切应为4的倍数,2k必为4的倍

数，即左必为2的倍数，所以攵为偶数.

变式11.（2026•高一•上海•期中）己知A是R的非空真子集，如果对任意儿ywA,都有』+ye4,

.yywA,则称A是封闭集.

⑴判断集合8={0},。={-1。1}是否为封闭集，并说明理由：

（2）命题p：若非空集合儿，4是封闭集，则“AC&W0"是"AC4是封闭集"的充要条件.请判断命题〃的

直假,并说明理由.

【解析】（1）3={0}是封闭集，C={T0,l}不是封闭集，理由如下：

对于集合8={0},因（）+0=0e8,（）XO=（）€/故8={0}是封闭集；

对于集合。={—1,0,1}，因-1+（-1）=-2任C,l+I=2/C,

故集合。={-1,0,1}不是封闭集.

（2）真命题，理由如下：

若A|C�,不妨任取a,〃e（4C4）,则有a,〃eA，

又集合A是封闭集，则“+力，同理4+A'MW4，

因此a+b«Ac4),处«Ac&)，即Ac,是封闭集;

反之，若AC4是封闭集，则A,C4是非空集合，即AC&H0,

故AC4H0是AC4是封闭集的充要条件，命题是真命题.

变式12.(2026•高一•河北邢台•阶段检测)已知M是正实数集的一个子集，定义运算8,使其满足下

列4个条件：①贝广牙=V的充要条件是叮③V=1〃；②则的充要条件是

“x8y>l”；③Vx,ywM,则"％<y"的充要条件是"0vx®yV1”；(4)Vx,j,z€A/,(iy)®z=x(j0z).

⑴设集合若求a的取值集合；

(2)设％yw",证明："x®y=y8"的充要条件是"工=丁"；

(3)设x,)\zeM,且x(g)z>y③z,证明：x^y>\.

【解析】(1)因为M是正实数集的一个子集，所以。>0,

乂因为/<8)4>1，则/>〃，解得

所以。的取值集合为{小>1}.

(2)充分性：若x=y,贝ijy=E则由①可知x③)，=)，③x=i,

故由x=)L可得=

必要性：由x<8)y=y®%,设==,

若加>1,则由可得x>)',由丁③x="z,可得)'>x,矛盾.

若"?=1,则由小，可得工=儿由)，③X=〃L可得y=£符合题意.

若0<〃2<1,则由入6'=，〃，可得“<y,由y®x=,〃，可得y<x,矛盾.

故由x(8>y=y绥x,可得x=y.

综上可知："x®y=y㊁"的充要条件是“工=y:

/Y、X

(3)由④可知x<3)z=—y0z=-,

㈠Jy

因为x③z>y③z,则土.()，®z)>y耸z,

y

设y«8>z=〃，可知〃>O,

则；(yXz)>)咆z,可得

且H>0,y>。，可得x>V,所以x③y>l.

题型七：探求命题成立的充要条件

例19.一元二次方程加+云+。=0("0)有两个异号实根的充要条件是.

【答案】ac<0

【解析】acvO是该方程有两个异号实根的充要条件，

证明必要性：由于方程依2+法+，=。（a,b,。是常数且。工0）有一正实根和一负实根,

设两根为内,修，所以△=Z/-4ac>0，且$居=£<0,所以ac<0.

'a

充分性：由acvO可推出△=〃一4oc>0.

从而元二次方程ad+/*+c=O有两个不相等的实数根，设为,、与，

则心与=£，由此<0知：犬内〈0，即两根异号，

a

所以方程加+Zu-+c=O（。，b,。是常数且。工0）有一正一负两实根.

因此比<0是方程芯+区+。=。（。工0）有两个异号实根的充要条件.

故答案为：ac<0

例20.关于x的方程依+1=0有两个负实根的充要条件是.

【答案】2}

A>0i/2-4>0

【解析】充分性：由题意可得=*<。，即得。4-2,充分性成立；

x,x2>01>0

必要性：a<-2,则此时Au/idNO,』+修=4<0，王工2=1>。，

满足方程有两个负实根，必要性成立.

故关于x的方程％2-如+|=。有两个负实根的充要条件是充要条件是aK-2.

故答案为：{a|aW-2}

例21.（2026•高一•上海•阶段检测）设x,yeR,已知夕：V<）,3,则△的一个充分必要条件是

【答案】

【解析】因为V<），3=/一）,3=（.力卜2+冷，+,2）=（1—）,）（»；）'）<0

oxvy,

所以。的一个充分必要条件是XV）'.

故答案为：xv丁

变式13.写出关于a,b,C的等式3（/+//+c2）=（a+〃+c）2成立的一个充要条件：.

【答案】a=b=c

【解析】将等式3（/+/+。2）=（。+人+。）2整理得2/+21?+2从一2a〃一2Ac—2ac=0,

BP（a-c）~+（b-c）~+（a-b\=0,即a=0=c.

故原式的等价于：a=b=c.

故答案为：a=b=c

变式14.（2026•高一•北京海淀•阶段检测）设4、8是任意两个集合，请写出一个“A15=8”的充分

必要条件是________.

【答案】（只需与A=8等价即可）.

【解析】=

所以，"44=4〃的充分必要条件是"4=夕1

故答案为：AcB（只需与A=8等价即可）.

04过关测试

1.（25・26高一下•贵州毕节•期中）"<?>了"是一>1"成立的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】由题可得，/>工=>式0或1»,充分性不成立；x>i=>x2>x,必要性成立

2.（25-2G高一下•上海闵行•期中）设集合A、6是全集。的两个子集，则是同=。一。的（）

A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】D

【解析】若可得AJ8=B,但集合3不一定等于全集U,所以充分性不成立；

例如：设全集U={123,4,5},集合4={1,2,3）,5={3,4,5},

此时满足=但集合A不是集合3的子集，所以必要性不成立，

综上可得，AqB是Au8=U的既非充分也非必要条件.

3.（24-25高一上•陕西榆林•阶段检测）已知eR,则“1<a<Z?"是"a+>>2"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若贝lJa+〃>2,是充分条件，

若〃+则推不出

比如：。=2,〃=0.5也可以，

所以“1<a<人是“〃十八2”的充分不必要条件.

4.（2026•云南昆明•模拟预测）已知VA6c的三条边长为a,b,c,则“V/WC是等边三角形”是

/Z6z2+Z>2+c2=ab+ac+bc"^'J（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为a?+从+c2=ab+ac+be=2a2+2b2+2c2=lab+2ac+2bc

<=>2^2+2b2+2c2—lab-lac-2bc=0<=>（6/—Z>）2+（/?-c）24-（67-e）2=0

oa-〃=0且〃-c=0且a-c=（）O4=〃=ooVA/3c是等边三角形，

所以“VA8C是等边三角形〃是“〃2+b2+c2=c必+比+儿”的充要条件.

5.（25-26高一下•安徽•开学考试）“三〉微〃的一个充分不必要条件是（）

A.a>0D.cz<0C.<7<—1D.a<1

【答案】c

【解析】若WW，解得avO,呜W等价于avo.

对「•选项A：因为集合同力。｝与集合｛〃|。<0｝之间不存在包含关系，

可知。>0是的既不充分也不必要条件，故A错误；

对于选项B：因为集合｛。|。<0｝与集合｛。|。<0｝相等，

可知avO是的充要条件，故B错误；

32

对于选项C：因为集合是集合｛。|。<0｝的真子集，

可知〃<-1是:〉£的充分不必要条件，故C正确；

对于选项D：因为集合｛。|。<0｝是集合的真子集，

可知avl是二〉二的必要不充分条件，故D错误.

6.(25-26高一上糊北孝感•期末)“x+y>0〃是“闪+>>0〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】先讨论充分性：

当xNO时，|x|+y=x+y,故工+)>。能推出W+y>0：

当xv()时，l-v|=-x,由1+.丫>0得),〉一X二国，故国+),>凶一4=_24>(),即x+y>()能推出N+y>(),

所以“x+y>0〃是“冈+)，>0〃充分条件成立；

再讨论必要性：

取了=-3,)=2,此时满足凶+)>0,但x+y>0不满足，

所以必要性不成立.

综匕。+y>o〃是“国+)'〉0"的充分不必要条件.

故迄A

7.设集合4=卜|/+彳-6=0｝,8=｛刈如-2=0｝,则8是4的真子集的一个充分不必要条件是()

2'

A.wejO,-B.me0,—■

3]

C.利£〈0,-三,1>D.we]o,-^,l>

3J3

【答案】B

【解析】A={X|X2+X-6=0}={2,-3},

若加=0,则4=0,B人,

若〃?=1,则8={2},BA,

若加=-§,则8={-3},BA,

..2

1344的一个充分不必要条件是，〃£，。，-w，.

故选：B

8.（24-25高三•全国•一轮复:习）若不等式的一个充分条件为0<x<l,则实数。的取值范围是

（）

A.a>0B.a>（）C.a>lD.a>\

【答案】D

【解析】由不等式打一1|<“，可得一。十Ivxva十1（avO不合题意），

要使得0<工<1是-。+1vxva+1的一个充分条件，

-«+1<0

则满足《解得aNl.

a+\>\

故选:D.

9.（多选题）（25-26高一上•山东嗯州•阶段检测）“集合4={（3，）辰2+y2<4”、），6}只有3个真子

集”的充分不必要条件有（）

3

A.1<«<4B.1<。？3C.1<a<2D.—<a<3

2

【答案】CD

【解析】因为集合A只有.3个真子集，所以集合A中有2个元素，

因为xeN,yeN,则有：

当工=0,），=。时，3x2+y2=0,

当x=0,y=l时，3/+丁=1,

当R=l,y=0时，3x2+y2=3,

因集合A中只有2个元素，则lva?3,

a

所给选项中：{«|1<«<2}.{«|l<f/<3},<a-<a<3[a\\<a<3],

所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件，

故选：CD.

10.（多选题）（25-26高一上•福建福州期中）下列说法正确的是（）

A."x<3〃是“xv2〃的充分不必要条件

B."邛为无理数〃是“xy都为无理数”的必要不充分条件

C.xeA是xe的充分不必要条件

D.设a,b,cwR,则“a=b=c"是"片+//+°2=a〃+ac+〃c”的充要条件

【答案】CD

【解析】对于A,令x=2.5v3,则x>2,所以充分性不成立，

若』<2,则一定有x<3,所以必要性成立，

所以"x<3”是"x<2〃的必要不充分条件，故A错误；

对于B,令x=l,y=&,则xy=&为无理数，但x为行理数，故充分性不成立，

令x=y=叵,则个=2,所以必要性不成立，

综上，”孙为无理数〃是“MN都为无理数”的既不充分也不必要条件，故B错误；

对于C,因为B,所以xeAnxwAug,充分性成立，

当xeAuB时，比如xeB,但x任4,

故不一定推出xeA,必要性不成立，

所以“xwA"是"xwAuZT的充分不必要条件，故C正确；

对于D,由/+〃+。2=.〃+权,+ac,可得（。一〃）~+（〃一cf+（c-a）