相似图形、比例线段-苏科版九年级《数学》下册讲义

专题6.1相似图形、比例线段（举一反三讲义）

【苏科版】

题型归纳

【题型1识别相似图形】.........................................................................2

【题型2由相似形的性质求值】..................................................................3

【题型3成比例线段】...........................................................................6

【题型4由比例的性质判断结论正误】............................................................7

【题型5由比例的性质求值】....................................................................10

【题型6比例的应用】..........................................................................II

【题型7由黄金分割求值】......................................................................14

【题型8黄金分割的应用】......................................................................16

:举一反三］

知识点1相似多边形

1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者说是相似形.两个边数相同的多边形，如果它们的

对应角相等，对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似去边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似

比或相似系数.

知识点2比例线段

L定义：如果a:b=c:d（或£=?），那就说如cd成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比.

对于四条线段a,b,c,d,如果。：6=。）（或表示为？=；），那么a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.这

bd---------------------------

时・，线段Q,d是比例外项,线段从c是比例内项.

2.性质:

基本性质：£=:,.bdcd

oad=bea,-=c—a-b

a+bc+daca-bc-d

合比性质Q----=----,-=—Q----=-----

bdbdbd

等比性质：EW"o鬻屋二；女

知识点3黄金分割

如果点P把线力B分割成4P和PB（AP>PB）两段，其中AP是AB和PB的比例中项,即这种分割为黄金分

割，点P称为线段的黄金分割点.

4P与P8的比值与称为黄金分割效（简称黄金数）.黄金分割数是一个无理数,在应用时取其接近值生还。

【题型1识别相似形】

【例I】（24-25八年级下•重庆江北•阶段练习）下列选项中，是相似图形的是（）

【答案】A

【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同.根据形

状相同的图形称为相似图形.结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可.

【详解】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意；

B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意：

C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意；

D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。

故选：A.

【变式1-1】（2025九年级下•全国,专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图

形之间属于图形的—.（从平移、轴对称、相似、旋转中选）

【答案】相似

【分析】本题考查相似的应用，根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋

转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案.

【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小

不同，因此这两个图形的关系是相似，

故答案为：相似.

【变式1-2］（24-25九年级上•河南郑州♦期末）人们出行方式越来越丰富，以卜•四组LOG。中，不相似的一组

是（）

豳

中与与

VBHHWniB郑州公'交郑州N交

0

中国铁路中国铁路中因航空昆明册I空

C.CHINARAIIAVAYCHINARAILWAYD.AIRCHINAKunmingAirlines

【答案】D

【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义.

结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可.

【详解】解：A选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，A选项错误；

B选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，B选项错误；

C选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，C选项错误：

D选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，D选项正确.

故选：D.

【变式1-3]（24-25九年级上•河北邯郸・期末）下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部

分，其中阴影部分多边形与原多逅形相似的是（

【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，根据相似多边形的定义逐项进行判断即可.

【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题

意;

B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意;

C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意;

D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意;

故选:A.

【题型2由相似形的性质求值】

【例2】（24-25九年级」二•全国•假期作业）在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片.如图，小雨

将一张长为5cm,宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为9cm,那么放大后的矩形的长为（〉

D.25cm

【答案】A

【分析】本题考查相似多边形，熟练掌握相似图形的相似比等宽的比、长的比是解题的关键.

利用相似多边形的性质求解.

【详解】解：设放大后的长为xcm.

由题意：3=

JD

解得：x=15.

所以放大后的矩形的长为15cm.

故选：A.

【变式2-1]（24-25九年级上•广东佛山・期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不变的是

A.每条边的长度B.每个内角的度数C.面积D.周长

【答案】B

【分析】本题考查的知识点是相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的性质.根据相似多边形

的性质即可得解.

【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形相比较是相似的关系，

用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了，但每个内角的度

数保持不变.

故选:B.

【变式2-2]（24-25九年级上•天津南开•期末）如图，四边形ABC。和四边形“GH相似，点的对应

点分别为瓦匕G,，，则下列结论正确的是（）

A.ZD=81uB.4"=83"C.ZG=78uD.ZH=91u

【答案】A

【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对•应角相等是解题的关键.利用相似多边形的

对应角相等性质，再结合四边形的内角和为360。，求出每•个内角的角度，即可得出结论.

【详解】解：•••四边形力BCD和四边形"GH相似，

•••zF=Z-B=78°,乙G=Z.C=83°,Z.A=Z.F=118°,乙D=乙H,

又•.+NB+4C+=360°,

Z.H=Z.D=360°-NA—zB—4C=81°.

故选:A.

【变式2-3]（2025九年级下•全国・专题练习）2024年10月1日，是伟大祖国75周年华诞，全国各地都升

起了鲜艳的五星红旗一国旗.国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面

不符合标准，这面国旗是

aE

zE

一6

240cm160cm144cm96cm

（1）⑵⑶(4)

【答案】（2）

【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键.利用相似多边形对应

边的比相等求解即可.

【详解】解：嚼号，黑/需=鸿号

.1609664,120

••----....二—4---,

24014496160

则（2）不符合标准,

故答案为：（2）.

【题型3成比例线段】

【例3】（24-25八年级下•吉林长春•期中）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.a=4cm,b=6cm,c=5cm,d=10cm

B.a-2cm,b=3cm,c=4cm,d=6cm

C.a=2cm,b=3cm,c=4cm,d=1cm

D.a=V2cm,b=3cm,c=2cm,d=V3cm

【答案】B

【分析】本题考杳比例线段的概念.注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们

的积是否相等.

由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘枳等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线

段，依次对各选项进行分析判断.

【详解】解：

A.5x6^4x10,这四条线段不成比例，故不符合题意；

B.3x4=2X6,这四条线段成比例；符合题意；

C.3X4H1X2,这四条线段不成比例，故不符合题意；

D.2X3H或X百，这四条线段不成比例，故不符合题意；

故选:B.

【变式3-1]（24-25九年级上•上海宝山•阶段练习）已知c是a,8的比例中项，Q=2,c=4,则b=.

【答案】8

【分析】此题考杳了比例中项的定义，如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即£=2或c2=ab,那么

ac

线段C叫做线段4、。的比例中项.根据比例中项的定义即可求解.

【详解】解：・・・c是a,b的比例中项，

/.c2=ab,

Va=2,c=4,

故答案为：8

【变式3-2]（24-25九年级上•安徽合肥・期中）已知线段a=l,b=9,线段c是线段a、b的比例中项，则。=

()

A.1B.3C.5D.9

【答案】B

【分析】本题考查了比例中项，成比例线段，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

根据题意得到g=?得出c2=ah求出c=3,即可得到答案.

cb

【详解】解：•.♦线段a=1,6=9,线段c是线段a、b的比例中项，

ac

A7=?

:.c2=ab,

:.c2=1x9,

•••c=±3,

•••c是线段，

c>0,

•••c=3,

故选：B.

【变式3-3］（24-25九年级上•贵州铜仁・期中）已知a,b,c,d是比例线段，若Q=2,d=3,c=4,则d

的长可能是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】此题考查了成比例线段的定义.由Q、b、C、d四条线段是成比例线段，根据成比例线段的定义，可

得：=又由Q=2,h=3,c=4,即可求得d的值.

【详解】解：:a、6、c、d是成比例线段，a=2,b=3,c=4

•ac

bd

即2,

4a

d=6.

故选:D.

【题型4由比例的性质判断结论正误】

【例4】已知四条线段a,b,c,d满足三二：,则下列等式一定成立的是（）

ba

a_ca+c_a2a+c_a

A.

d~bb+cl-b2d+b-d

【答案】B

【分析】根据比例的性质得到。"=反，可判断A,根据分式的性质可判断C,根据分式的和比性质可判断B,

D.

【详解】解：A、由己知得。d=反，故选项不符合题意；

B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；

C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；

D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键.

【变式4-1]（24-25六年级下•上海•阶段练习）将等式高X；蚩X：改写成比例式，正确的是：）

A.工,=工:工B.工，=」工

2042554S2520

c•JDLz•'•工•

25420S525204

【答案】A

【分析】本题考查了比例的性质，理解两内项之积等于两外项之积是解答解答关键.

根据两内项之积等于两外项之积来进行改写即可.

【详解】解:根据比例的性质可得

将等式=/X：改写成比例式为：Ni

205254204255

故选：A.

【变式4-2]已知2a=36,则下列式子正确的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了比例是性质，根据内项之积等于外项之积，对各个选项进行整理化简，即可求解；掌握

性质“若£=则ad=/）c.”是解题的关键.

【详解】解•：A.整理得3a=2b,结论错误，故不符合题意;

B.整理得3a=4》，结论错误，故不符合题意；

C.整理得2a=3b,结论正确，故符合题意；

D.整理得5a=4b-2,结论错误，故不符合题意；

故选：C.

【变式4-3]（24-25九年级上•上海•阶段练习）若£=5='=幸（b、均为正数），则下列式子不一定成

立的是（）

Aa+b,c2a+c-e5

A.----=-6B.----------=-

a-b2b+d-f7

Cc+e_a+5Da+c+e+5_5

•d+f-b+7*b+d+f+7~7

【答案】B

【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键.对于实数。，b,C,d,且从d、

/均为正数，如果则言=%由.*从小/均为正数，可得：0=»c=N，e=力，

。学6,b+d+f+7^0,再结合比例的性质逐项分析即可.

【详解】解：•.?=（=/="b、d、/均为正数，

/.a=~^»c=yd,e=a牛b,b+d+f+7^0,

A.缺=把=誓=一6,故不符合题意；

a-b-b-b5b-7b

•.•-2a=_-c=_---e=_一5,

2bd-f7

当股+(/-/工0时

・•・等分=三故符合题意;

2b+d-/7

・・・言=窜，故不符合题意；

D.V—=,=:=[DDf均为正数，b+d+f+7U0,

・・・筋，故不符合题意；

故选B.

【题型5由比例的性质求值】

【例5】已知壬=二==^匕则忆二（）

b+ca+ca+b

A.1B.±1C.1或一2D.2

【答案】C

【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键.分两种情况进行讨论：①当Q+b+CHO时,

根据等比性质计算得出结果；②当Q+b+C=O时•，则Q+b=-C,代入〃=彳计算得出结果.

a+b

【详解】解：分两种情况：

2a+2匕+2c

①当。+8+。工0时，得上二

b+c+a+c+a+b

②当Q+6+C=0时,

则a+b=-c,k=~=-2；

综上所述，A的值为1或-2.

故选:C.

【变式5-1］若?=：=：（为+d+3H0）,则誉会=

ba3o+d+3

【答案】/

【分析】利用等比的性质求解.

【详解】解：•・？=：=；（Hd+3却），

ba3

.a+c+1_1

**b+d+33，

故答案为g.

【点睛】此题考查了比例线段：灵活应用比例的性质进行计算.

【变式5-2］若£=$=9=9且b—2d+3/1±0,则合当的值为（）

baf3b-2a+3f

A1R1r-D-

*6*3•2*6

【答案】B

【分析】先利用分式的基本性质得到三=胃=登=；，然后根据等比性质解决问题.

b-2d3/3

【详解】解.：・・Y=m=:=j

baj3

..a=--2--c=-3e=一1,

b-2d3f3

又£-2d+3fH0,

.a-2c+3e_1

**&-2d+3/­3

故选B

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的系数是解题的关键.

【变式5-3］已知m=：=2=j则当》+4-，〃和时，詈尸=（）

bdm3b+d-m

22

A.-1B.1C.--D.-

33

【答案】D

【分析】根据已知条件？=：=2=9写出°=：6,c=；d,几=：皿，代入篙=化简得到驾#,结合b+

bdin3333b+d-mb+d-m

d-THWO,求出痣二■的值为；

匕+a-m3

【详解】解.：・・-=^=巴=j

bdm3

222

••a=-b,c=-d,n=-m,

333

*•*h+d-mH。，

.a+c-n_衿沁如_翔+dm）_2

b+d-mb+d-mb+d-m3"

故选：D

【点睛】本题考查了比例的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握比例的基本性质，运用比例的基本性质把

比例式变形，代入所求式子，提公因式化简.

【题型6比例的应用】

【例6】（24-25九年级上•黑龙江绥化•期中）小明坐汽车，小刚骑自行车，同时从甲地匀速驶往乙地.已知

汽干经过两地中点时，臼行车行版了全程的9当汽车到达终点时，自行车行驶了24km.甲，乙两地相距多

少千米？（用比例解）

【答案】甲乙两地相距30千米

【分析】本题考查了比例的应用，理解题意是解题关键.根据行驶时间列比例，再解比例即可.

【详解】解：设甲、乙两地相距％千米，

则工：？=x:24,

25

2c/1

-x=24x

52

2yc

-x=12,

5

x=30,

答：甲、乙两地相距30千米.

【变式6-1】已知杠杆平衡条件公式在=3其中B,F2,L,L2均不为零，用R,F2,L2的代数式表示L正确的

尸2G

是（）

A」i=陌B」I=£-

11

L26尸2

C.刀=也D.刀=旦

1&1F2G

【答案】c

【分析】根据比例的性质改写即可.

【详解】•・・g=9

FzJ

:.FiL尸F2L2,

—即

.•/I1-丁2•

故选C.

【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果。：匕=。：4或2=3那么a仁尻;即比例的内项之积与外项之积

相等；反之，如果ad=/?c,那么a：〃=c：d或£=；（力存0）.

【变式6-21一间教室要用方砖铺地.用边长是3分米的正方形方砖，需要960块，如果改用边长为2分米

的正方形方砖，需要多少块？

【答案】2160块

【分析】由题意可知：教室的地面面积是一定，则方砖的面积与所需要方砖的块数成反比，据此即可列比例

求解.

【详解】解：设需要这样的方砖工块，

2x2xx=3x3x960

4x=8640

%=2160

答：需要这样的方砖2160块.

【点睛】本题考查了比例的应用，解题的关键是由题意列出方程.

【变式6-3]（24-25九年级匕上海虹口•期中）如图，复合轮系由42齿的齿轮8和18齿的齿轮C叠接而成.齿

轮力（30齿）与齿轮B啮合，齿轮C与齿轮D（60齿）啮合.若齿轮力的转速为7000圈/分.求

（1）齿轮。的转速；

（2）整个系统的降速率（精确到0.1%）

【答案】（1）1500圈/分

（2）78.6%

【分析】本题考查齿轮传动中转速与齿数的比例关系及降速率计算，解题关键是依据啮合齿轮同时间齿数转

过相同列比例式，利用叠接齿轮转速相等过渡求解，准确用降速率公式计算.

（1）根据齿轮传动原理，相互啮合的齿轮，其转速与齿数成反比例关系，即齿数越多，转速越慢，且转速

与齿数的乘积是一个定值，列出比例解答即可；

（2）根据降速率二铲x100%即可解答.

【详解】（1）解：设齿轮8的转速为x圈/分.

因为，齿轮A与齿轮8啮合，

所以，力的转速与力的齿数的乘积等于B的转速与8的齿数的乘积，列比例式得：

7000x30=42%

%=700^30=500()(圈/分)

42

因为，由「齿轮8和齿轮C叠接，它们的转速相同，所以齿轮C的转速也是5000圈/分.

设齿轮。的转速为y圈/分.齿轮。与齿轮0啮合，。的转速与C的齿数的乘积等于。的转速与。的齿数的乘积,

列比例式得:

5000X18=60y

=5000X18=15()0(圈/分).

60

（2）解；因为齿轮4转速为7000圈/分，。转速为1500圈/分,

根据题意得：100%=^x100%«78.6%.

【题型7由黄金分割求值】

【例7】（24-25八年级下•黑龙江大庆•期中）点C、。是线段力B的两个黄金分割点，若48=2,则CD的长

为（）

A.3-V5B.2V2-4C.275-4D.3-V2

【答案】C

【分析】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得4。=8。=亨48=遍-1,再由线段的和差计

算即可得解.

【详解】解•：如图：

1I[I

ADCB,

•・•点C、。是线段4B的两个黄金分割点，

：,AC=BD=个43=遍-1,

：.CD=AC+BD-AB=y[5-l-}-y15-l-2=2后一4,

故选：C.

【变式7-11（24-25九年级上•浙江宁波・期中）如图，点C,点。是线段48的两个黄金分割点，点C（填

是或不是）线段的一个黄金分割点.

IIII

ACDB

【答案】是

【分析】本题考查了黄金分割：把线段力8分成两条线段AC和8c（AC>8C）,且使力C是AB和BC的比例中

项（即4B:4c=4C:BC）,叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段48的黄金分割点.其中4c=亨力8*

0.61848,并且线段48的黄金分割点有两个.

利用黄金分割的定义得到AO=竿48,8。=与■力氏可判断/0=8C,AC=BD,再表示出/IC=48-

22

8C=学48,然后计算出4U/W=当1，从而可判断点。是AO的黄金分割点.

【详解】解.：•・•点C,点。是线段/8的两个黄金分割点，

•••AD=早AB,BC=竽4B,

•••AD=BC,

AD-CD=BC-CD,

即HC=BD,

•••AC=AB-BC=AB--AB=学A8,

•••AC:AD守毋时竽,

.・•点。是4D的黄金分割点.

故答案为：是.

【变式7-2］（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）宽与长的比是亨的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们

以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形力

是黄金矩形（4BVBC）,点。是边A0上一点，且4P8C=45。，则芸=（）

A.-B.；C.—D.1

224

【答案】A

【分析】本题考查黄金矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用黄金矩形的宽长比设未知

数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解.

通过设48=a,根据黄金矩形性质表示出4。的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而求

崂

【详解】解：如图:

•••四边形力是黄金矩形G4B<BC),且宽与长的比是，

ABVs-1

EC2

ABaVS+1

••BC=^=^=—a'

22

•••LPBC=45°,44=90。，AB\\CD,

•••LABP=/.APB=45°,

△ABP是等腰直角三角形，贝以P=/43=a,

VPD=AD-AP,而力。=8C=等a,

PD=AD—AP—匹出a—a=由二a,又DC=AB=a,

22

.FD_年a_1_V5-1

••——yx—-，

DCa212

故选：A.

【变式7-3】如图，线段AB的长为1,线段AB上取点Pi满足关系式AP"BP『AB,则线段APj的长度为；

线段AB上取点尸2满足关系式4P22=P/P2・AP/，线段4P2上的点P3满足关系式AP3?=P2P3・人P2，依次以此

类推，AP”的长度为一.

力P4尸3尸2P1B

[illII

【分析】根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,

且使AC是AB和BC的比例中项（即穿=要），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割

ABAC

点.其中AC=^ABiO.618AB.即可得结论.

【详解】•・•线段AB的长为1,线段AB上取点Pi满足关系式APj=BP1・AB,

则线段API的长度为：与：

2

线段AP）上取点P2满足关系式AP2=PIP2.AP1,

则线段AP2的长度为：（亨）2；

线段AP2上的点P3满足关系式AP3?=P2P3・AP2，

则线段AP3的长度为：（年）3；

依次以此类推，

AP.的长度为；/]）n.

故答案为：与（与）L

【点睛】本题考查了黄金分割、规律型-图形的变化类，解决本题的关键是掌握黄金分割定义.

【题型8黄金分割的应用】

【例8】（24-25九年级下•湖南娄底•阶段练习）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如果舞台A8

长为18米，上持人现在站在力处，则它应至少再走米才最理想.（结果精确到0.01米）

【答案】6.88

【分析】本题