《线性代数及其应用》课件 第3章 向量空间与线性方程组解的结构

第3章向量空间与线性方程组解的结构3.1

向量的概念及其运算1.n维向量的概念

定义3.1

n个有次序的数所组成的数组称为n维向量．这n个数称为这个向量的n个分量．第i个数称为第i个分量,n称为向量的维数.注：

(1)形式上，n维向量可以写成一列，此时称为n维列向量：——n

维列向量，也是一个列矩阵1.n维向量的概念(续)

(2)

n维向量可以写成一行，此时称为n维行向量：——n

维行向量，也是一个行矩阵.

(3)n维列向量与n维行向量是两个不同的向量.若无明确说明，向量都是指列向量.

(4)列向量用希腊字母表示，例如：.行向量用希腊字母的转置表示，例如：.

(5)分量全为实数的向量称为实向量；有分量为复数的向量称为复向量.2.向量的几何解释几何中，向量是指既有大小又有方向的量→

几何向量三维向量：

→

代数向量

因此，3维向量立体空间中的几何向量.2维向量平面上的几何向量.1维向量数轴上的几何向量.当n>3时，n维向量没有直观解释！3.零向量

定义3.2(1)分量全为零的向量称为零向量,记为或者.注：

维数不同的零向量是两个不同的向量,例如：4.负向量

定义3.2(2)

设是一个n维向量，称为向量的负向量，记为

称为向量的负向量.5.向量的相等

定义3.2(3)设是两个n维向量,若有,

类似地,则称向量

与

相等，记为

.6.向量的几点说明(1)行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.换句话说，

(2)当没有明确说明是行向量还是列向量时，都将向量当作列向量.

(3)当没有明确说明是实向量还是复向量时，都将向量当作实向量.

(4)行向量是一个行矩阵，列向量是一个列矩阵.7.向量的线性运算下面以列向量为例，来说明向量的线性运算，行向量的情形类似．设有n维向量

,为实数，规定：向量的加法运算和向量的数乘运算为向量的线性运算.8.向量线性运算的规律向量线性运算的规律（是n维向量，是实数）：9.例1

解：10.例2

故.求.

解：根据题意得，所以，有11.例3

例3设皆为3阶矩阵,且，求

.

解：根据矩阵的运算性质，得12.本节小结(1)n维向量的定义行矩阵是行向量，列矩阵是列向量.行向量与列向量是不同的向量.(2)n维向量的线性运算无论是行向量还是列向量，它们的线性运算都按照相应的矩阵的线性运算进行.第3章向量空间与线性方程组解的结构3.2向量组的线性相关性1.向量组的概念定义3.3

由若干个维数相同的向量构成的集合称为向量组．注：向量组中向量个数可以是有限的，也可以是无限的.是一个含4个3维列向量的向量组.例如：1.向量组的概念(续)是一个含3个4维行向量的向量组.是一个含无穷多个n维列向量的向量组.线性方程组的解的集合当时是一个含无穷多个n维列向量的向量组.n维向量组成的一个向量组，称之为n维基本单位向量组.

向量组称为矩阵A的列向量组.2.矩阵与向量组的关系

矩阵n个m维列向量：2.矩阵与向量组的关系(续)向量组

称为矩阵A的行向量组．

类似地，矩阵有m个n维行向量：

n个m维列向量所组成的向量组构成一个矩阵：

m个n维行向量所组成的向量组

构成一个矩阵：2.矩阵与向量组的关系(续)反之，由有限个同维向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.3.向量组的线性组合定义3.4给定n维向量组，对任意一组实数，称表达式为向量组的一个线性组合.4.向量组的线性表示定义3.5给定n维向量组和一个n维向量,如果存在一组数，使得则称向量可由向量组线性表示，或称向量为向量组

的一个线性组合，称数

为组合系数

．例如：给定，那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n

维向量b

，必有4.向量组的线性表示(续)5.回顾：线性方程组的表达式1.一般形式3.矩阵方程的形式2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式方程组有解？向量是否能用线性表示？5.回顾：线性方程组的表达式(续)向量

能由向量组A线性表示线性方程组Ax=

有解则用向量组线性组合表示为5.回顾：线性方程组的表达式(续)

增广矩阵6.例1

解：设

例1以下向量中，向量

能否由向量组线性表示？若能，求出表达式.即

6.例1(续)得线性方程组由于系数行列式所以，由Cramer法则可求得故定理3.1向量b可由向量组线性表示的充分必要条件是线性方程组有解，即以为列向量组的矩阵与以为列向量组的矩阵有相同的秩，并且有：7.向量组线性表示的判定

(1)线性方程组有唯一解，则向量b可由向量组线性表示，且表示式唯一.

(2)线性方程组有无穷多解，则向量b可由向量组

线性表示，且表示式不唯一.显然，线性方程组无解，则向量b

不能由向量组

线性表示.例2问向量b是否能由向量组线性表示？如果可以求出其表示式.解：因为8.例2可得于是可得：8.例2(续)所以，向量b可由向量组线性表示.继续将作初等行变化化为行最简形矩阵.9.向量组等价的定义定义3.6设有两个向量组若向量组B中的每个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示；反之，若向量组A中的每个向量都可以由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示.

若向量组A与向量组B可以相互线性表示，则称向量组A与向量组B等价.向量组之间的等价关系具有以下性质：

(1)反身性;(2)对称性；(3)传递性.由定义得到这两个向量组等价.10.例3

例3判断向量组和二维单位向量组

等价.解：有所以，向量组可由单位向量组线性表示.又因为，所以，单位向量组可由向量组线性表示.向量组

能由向量组线性表示.因为R(B)≤

R(A,

B)11.向量组线性表示的判定存在矩阵K,使得AK=B.矩阵方程AX=B有解.定理3.2：向量组B能由向量组A线性表示的充分必要条件是：矩阵方程

有解，即矩阵A的秩等于矩阵(A,B)的秩，即

R(A)=R(A,B).推论3.3：向量组A与向量组B等价的充分必要条件是：

推论3.1：向量组B能由向量组A线性表示，则推论3.2：向量组A能向量组B线性表示，则11.向量组线性表示的判定(续)方法一：按照定义证明方法二：按照推论3.3证明12.例4

例4设向量组如下：证明:向量组和向量组等价.13.向量组线性相(无)关的概念定义3.7给定向量组，如果存在不全为零的数使得则称向量组是线性相关的，否则称它是线性无关的.注：(1)向量组线性无关，当且仅当时，有s元齐次线性方程组Ax=0有非零解(2)向量组线性相关(6)两个向量线性相关.

也就是说，两个向量线性相关的充分必要条件是：这两个向量的分量对应成比例．两个向量线性相关的几何意义是：这两个向量共线.(4)若向量组只包含一个向量时，①若，则说线性相关；②若，则说线性无关．13.向量组线性相(无)关的概念(续)(5)包含零向量的任何向量组是线性相关的．(3)对于任何一个向量组，它不是线性相关就是线性无关．13.向量组线性相(无)关的概念(续)(7)三个向量线性相关的几何意义是：这三个向量共面．

例如：对于向量组，由于它们的分量对应不成比例，所以，这两个向量线性无关.向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．14.向量组线性相(无)关性的判定向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．14.向量组线性相(无)关性的判定例5已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2

线性无关．15.例5例6

已知向量组

线性无关，试证以下向量组线性无关:16.例6

证明：解法1设有使得即由线性无关可得亦即16.例6(续)解得因此，向量组

线性无关.解法2

转化为矩阵的秩的问题．已知，记作

B=AK.

因为|K|

=

2

≠

0，所以K可逆，故R(A)

=

R(B).又因为向量组线性无关，故R(A)

=

3.从而R(B)

=

3，向量组b1,b2,b3

线性无关．16.例6(续)例6

已知向量组

线性无关，试证以下向量组线性无关:17.向量组线性相关的充分必要条件

定理3.3向量组线性相关的充分必要条件是：矩阵A的秩小于向量的个数s；向量组线性无关的充分必要条件是：矩阵A的秩等于向量的个数s.向量组线性相关.

s元齐次线性方程组Ax=0有非零解..

性质3.3向量组线性相关的充分必要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示.

证明：充分性．

设可以由其余m-1个向量线性表示，即于是有这说明线性相关.18.向量组线性相关性的重要性质结论

必要性．

设线性相关，则有不全为零的一组数使得由于中至少有一个不为零，不妨设，于是有这说明可以由其余m-1个向量线性表示.18.向量组线性相关性的重要性质结论(续)推论3.6s

(s2)个向量组线性无关的充分必要条件是其中每一个向量都不能由其余s－1个向量线性表示.推论3.7n个n维向量组线性相关的充分必要条件是行列式

线性无关的充分必要条件是行列式D≠0.18.向量组线性相关性的重要性质结论(续)

例如：

已知向量组，因为这是4个三维向量，所以由性质3.4可知，这4个向量线性相关.

性质3.4当向量组中所含向量的个数大于向量组的维数时，向量组一定线性相关.18.向量组线性相关性的重要性质结论(续)

性质3.5若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表达式唯一.

证明：由条件可知，存在不全为零的，使得若，则有不全为零的，使得这与线性无关矛盾.因此.于是18.向量组线性相关性的重要性质结论(续)下面讨论唯一性.设有则有于是18.向量组线性相关性的重要性质结论(续)性质3.6若向量组线性相关，则向量组亦线性相关.即向量组中有一部分向量组（称为部分组）线性相关，则整个向量组线性相关.（若部分相关，则整体相关）

推论3.8若整个向量组线性无关，则它的任意一个部分组线性无关.（若整体无关，则部分必无关）

证明：由向量组线性相关知，有一组不全为零的，使得从而有因为不全为零，所以线性相关．18.向量组线性相关性的重要性质结论(续)性质3.7如果n维向量组线性无关，则在每个向量上都添加m个分量，所得到的n+m维加长向量组也线性无关.（截短向量组线性无关，则加长向量组也线性无关）.推论3.9如果n维向量组线性相关，则在每个向量上都去掉m(mn)个分量，所得到的维截短向量组也线性相关.（加长向量组线性相关，则截短向量组也线性相关）.注：

添加的分量可添加在任何位置，只要是对应添加在同一个位置，结论也成立．18.向量组线性相关性的重要性质结论(续)19.例7

例7

讨论以下向量组的线性相关性：

解：显然有所以，线性相关，再由性质3.6可知，线性相关.20.本节小结(2)线性相关与线性无关的概念.(3)线性相关与线性无关的判定方法：定义、定理和性质．

(1)向量组、线性组合、线性表示的概念.

线性相关与线性无关是一对相对立的概念.据此，在论证向量组线性无关问题时，往往可采用反证法.线性相关与线性无关可以通过线性表示的概念来体现，即看其中有无某个向量（并不要求任意向量）可由其余向量线性表示.20.本节小结(续)

(4)从定义出发研究线性相关或线性无关的方法：令即得线性方程组若线性方程组有唯一的零解，则线性无关；若线性方程组有非零解，则线性相关.给定一组n维向量，就得到一个相应的矩阵,求出

.

若,则线性无关；若,则线性相关.20.本节小结(续)

(5)讨论线性相（无）关性的一个重要方法：利用向量组构成的矩阵的秩来判定．

设

线性相关，线性无关，求证：

(1)可由线性表示；

(2)不能由线性表示.21.思考题

证明：(1)由线性无关可知，线性无关.再由线性相关可知，可由线性表示.

(2)假设可由线性表示.由(1)可知，可由线性表示.因此，可由线性表示，这与线性无关矛盾.谢谢各位同学！3.3

向量组的秩第3章向量空间与线性方程组解的结构引例

讨论R4

中的向量组：

1

=(1,2,-1,2)T

,

2

=(2,4,1,1)T,

3

=(2,4,-2,4)T

,

4

=(-1,-2,-2,1)T中线性无关的部分组最多可以包含多少个向量.将这个例子推广到一般的情况，可以得到以下概念：解：向量组

1

,

2

,

3

,

4中线性无关的部分组最多包含两个向量.

1

,

2

就是这样的一个线性无关的部分组.

1

,

2

可以作为该向量组的“代表”，而其余向量均可由

1

,

2

线性表出.1.引例2.极大线性无关向量组和向量组的秩定义3.8设有向量组A，如果：(1)向量组A有r个向量线性无关；

(2)向量组A中任意r+1个向量（如果存在r+1个向量的话）都线性相关，那么，称向量组是向量组A的一个极大线性无关向量组，简称为极大无关组.

定义3.9极大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩.注：只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0.2.极大线性无关向量组和向量组的秩(续)按照定义，向量组有一个极大无关组，这个向量组的秩为1.

进一步，向量组A的极大无关组有无穷多个.

2.极大线性无关向量组和向量组的秩(续)同样，按照定义，向量组有一个极大无关组，这个向量组的秩为2.

进一步，向量组B的极大无关组也有无穷多个.

3.例1

例1求以下向量组的一个极大无关组：

解：因为，所以线性相关．而故向量组、向量组、向量组都线性无关．3.例1(续)因此，向量组、向量组、向量组都是极大无关组，原向量组的秩为2．注：这个例子再次说明：一个向量组的极大无关组可能不唯一，但它的秩是唯一的．

例2全体n维向量构成的向量组记作，求的一个极大无关组和的秩.4.例2

解：中n维单位坐标向量组是线性无关的.由性质3.4知，中任意n+1个向量都线性相关.因此，单位坐标向量组是的一个极大无关组，且的秩等于n.类似地，可以证明：中任意n个线性无关的向量组成的向量组都是的极大无关组.4.例2(续)

例如：5.极大线性无关向量组两点说明

(1)向量组的极大无关组可能不唯一，向量组的秩是唯一的.

(2)若向量组A线性无关，则A就是它本身的一个极大无关组，其秩等于它所含向量的个数.6.极大线性无关向量组的等价定义定理

向量组是向量组A的极大无关组的充分必要条件是：

(1)向量组线性无关；

(2)向量组A中任一向量都能由线性表示.

证明：必要性．假设向量组是向量组A的一个极大无关组，由定义，线性无关．对于A中任意向量，根据极大无关组的定义可知，线性相关．因此，向量可由向量组线性表示（且表示式唯一）．6.极大线性无关向量组的等价定义(续)充分性．

只需证明A中任意r+1个向量都是线性相关的．假设线性无关，而它们都可以由线性无关向量组线性表示，由推论3.2可知，r+1≤r，矛盾.因此，线性相关.性质(2)向量组的任意两个极大无关组等价．性质(3)向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同．7.向量组与其极大线性无关向量组的等价性

证明：显然，A的极大无关组可由A线性表示.性质(1)向量组A的极大无关组与向量组A等价．另一方面，对于A中的任一向量a，由性质3.5可知：a可由线性表示.这说明，向量组A可以由它的极大无关组表示，因此，它们是等价的.

例如，向量组是的一个极大无关组，所以，与

等价．设A是一个m

n

矩阵记

1

=(a11,a12,…,a1n),

2

=(a21,a22,…,a2n),…,

m

=(am1,am2,…,amn),为A

的行向量组;

1

2···

m

1

2

…

n

记

1

=(a11,a21,…,am1)T,

2

=(a12,a22,…,am2)

T

,…,

n

=(a1n,a2n,…,amn)T

,为A

的列向量组;定义3.10矩阵A=(aij)m

n

的行向量组

1,

2,…,

m

的秩称为矩阵A

的行秩；A

的列向量组

1

,

2

,…,

n

的秩称为矩阵A

的列秩.8.矩阵的行秩与列秩

定理3.4任意一个矩阵A的行秩与列秩相等，都等于矩阵A的秩．9.例3

例3求下列向量组的秩：

解：将向量组按列写成矩阵A，用初等行变换求A的秩：因为，所以向量组的秩为3．10.矩阵在初等行变换下列向量组的线性组合关系不变性定理

若矩阵A经过初等行变换化为矩阵B，则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性组合关系．

证明：对矩阵施行初等行变换化为矩阵，相当于用m阶可逆矩阵P左乘A，即．对矩阵A和矩阵B按列分块可得：则有即10.矩阵在初等行变换下列向量组的线性组合关系不变性(续)则有

若A的某些列有组合关系：即B的列向量与A的对应列向量有相同的组合关系.反之，亦然．11.例4

例4设矩阵，求它的列向量组的一个极大无关组，并用此极大无关组线性表示其余列向量.

解：首先求A的列向量组的秩，也就是矩阵A的秩，为此，将A化成行阶梯形：11.例4(续)可知，于是A的列向量组的秩为3，列向量组的最大无关组含有3个向量.行阶梯形中，三个非零行的非零首元分别位于第1,2,4列，所以，是列向量组的一个极大无关组.这是因为可知，故线性无关，是一个极大无关组.11.例4(续)要将用线性表示，再将A化为行最简型：因为所以求向量组

1,

2,…,

s

的极大无关组并用极大无关组表示其余向量的方法是：STEP1:把向量组中的每一个向量作为矩阵的一列，构造矩阵A;STEP2:对矩阵A

进行初等行变换，并化为行最简形，记为B;STEP3:在B

中，每一个阶梯上的第一个非零元(一定为1)所在的列对应的向量即为极大无关组中的向量，其它不在极大无关组中的列中位于阶梯线上方的元素，即为用极大无关组表示该列所对应的向量的表示系数.12.求向量组的极大无关组的方法例5求下列各向量组的一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量.解:对A=(

1,

2,

3,

4

)进行初等行变换：于是向量组

1,

2,

3,

4

的一个最大无关组为

1,

2,且

3=-3

1+2

2

,

4

=4

1-3

2.13.例514.本节小结

(1)极大线性无关向量组的概念：线性无关性、极大性.(3)矩阵的秩与其向量组的秩的关系：矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩.(2)关于向量组及其秩的一些结论.(4)求向量组的秩以及极大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换，再求秩与极大无关组．

证明：设向量组A的最大无关组为，向量组B的极大无关组为，另设向量组C为15.思考题设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等，证明向量组A与B等价.由假设可知，可由线性表示，因此，是C的一个极大无关组，C的秩也是s.因为线性无关，所以它也是C的一个极大无关组.因此，与等价，于是向量组A与向量组B等价.谢谢各位同学！3.4

向量空间第3章向量空间与线性方程组解的结构1.向量空间定义3.11设V为n维向量的集合，如果集合V中定义了两种运算：

(1)对于任意，都有；

(2)对于任意，都有，那么就称集合V对向量的加法和数乘两种运算封闭．定义3.12设V为n维向量的非空集合，如果集合V对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称集合V为向量空间．注：只有一个零向量的集合也是一个向量空间，称为零空间．2.子空间

定义3.13设有向量空间及，若向量空间，就称是的子空间.注：任何一个向量空间V都有两个子空间——V本身和零空间．3.例1

例1判断n维向量的全体是一个向量空间.

解：因为而因此，是一个向量空间.4.例2

例2判别下列集合是否为向量空间：

解：显然非空，且因此，是向量空间.因为所以，不是向量空间.5.例3

例3设a，b为两个已知的向量，集合试证明V为向量空间.

证明：因为称V是由向量a，b生成的向量空间.所以，V是向量空间.6.生成空间

一般地，由向量组所生成的向量空间为alaL={la|l∈R}L={la+m

b|l,m∈R}abcL={l

a+mb+gc|l,m,g∈R}lambg

cablamb7.向量空间的基与维数定义3.14设V是一个向量空间，

(1)线性无关；

(2)V中任一向量都可由线性表示，那么称向量组是向量空间V的基，称r是向量空间V的维数，记为，也称V是r维向量空间.注：

(1)0维向量空间只含零向量0，它没有基.

(2)若将向量空间V看成向量组，则V的基就是它的极大无关组，V的维数就是它的秩.

(3)向量空间的基一般不唯一，但它的维数是唯一的.事实上，任何n个线性无关的n维向量都可以作为

的一个基.8.常见的向量空间的基与维数

(1)向量空间有一个基：所以，的维数为n，称为n维向量空间.8.常见的向量空间的基与维数(续)

(2)向量空间的一个基可以取为所以，V是n-1维向量空间.8.常见的向量空间的基与维数(续)

(3)由向量生成的向量空间向量空间L与向量组等价.因此，向量组的一个极大无关组就是L的一个基，向量组

的秩就是L的维数.9.基的意义若是向量空间V的一组基，则V可表示为这清晰地显示了向量空间的构造.10.向量的坐标定义3.15若在n维向量空间V中取定一个基，那么，V中任一向量可唯一地表示为数组称为向量在基下的坐标，记为.例如，在n维向量空间中，取单位坐标向量组作为基，则10.向量的坐标(续)注：(1)不同向量在同一个基下的坐标是不同的.(2)同一个向量在不同基下的坐标可以相同，也可以不同.大多数情况下是不同的.例：的列向量组是R3

的一个基，

b

在基

e1,e2,e3中的坐标上三角形矩阵的列向量组也是R3的一个基，结论：同一个向量在不同基中的坐标是不同的．那么10.向量的坐标(续)b

在基

a1,a2,a3中的坐标11.例4

例4设有矩阵验证是的一个基，并求在这个基下的坐标.又设

证明：要证是的一个基，只要证线性无关，即只要11.例4(续)即或者11.例4(续)对矩阵施行初等行变换，若A能化成E，则为的一个基，且当A化成E时，B变为：11.例4(续)因此有，，故是的一个基，且11.例4(续)在基下的坐标分别是12.过渡矩阵与基变换公式

设和是n维向量空间的两个基，则可以用

表示为令12.过渡矩阵与基变换公式(续)则有上式也可以写为12.过渡矩阵与基变换公式(续)

定义3.16设和是n维线性空间的两个基，若有矩阵使得则称矩阵为从基到基的过渡矩阵，上式称为基变换公式.注：

(1)基变换公式也可写成12.过渡矩阵与基变换公式(续)(2)满足的矩阵的第i列是在基下的坐标.(3)是可逆矩阵，且即，是从基到基的过渡矩阵.13.坐标变换公式

定义3.17设n维线性空间的元素在基和基下坐标分别为和,基到基的过渡矩阵为，则有坐标变换公式：13.坐标变换公式(续)

证明：因为所以13.坐标变换公式(续)

由于在基下的坐标是唯一的，所以注：该定义反过来也成立，即:若任一元素在两个基下的坐标满足坐标变换公式，则这两个基满足基变换公式.

例5已知中两个向量组，

(1)证明和都是

的基.

(2)求由基到基的过渡矩阵.

(3)求向量在以上两组基下的坐标的关系式.14.例514.例5(续)

解：(1)以和为列构成的行列式分别为因此，和都是线性无关的，它们都是的基.

(2)由得到过渡矩阵为14.例5(续)另解：

所以所以14.例5(续)(3)设在基下的坐标为，在基下的坐标为，则有15.本节小结

(1)向量空间的概念：非空的向量集合对加法及数乘两种运算封闭.由向量组生成的向量空间．

(2)子空间的概念．

(3)向量空间的基和维数求向量空间基和维数的方法．

(4)向量的坐标相对于向量空间的基而言的．15.本节小结(续)(5)基变换两个基之间的转换(6)过渡矩阵联系两个基之间的关系矩阵(7)坐标变换公式一个向量在两个不同基下的坐标的关系表达式16.思考题设向量组与向量组等价，记试证.证明：设，则有一组系数使得再由等价的条件可得，存在系数使得16.思考题(续)于是这说明，.因此，.因此，.16.思考题(续)同理可证，.谢谢各位同学！3.5

线性方程组解的结构第3章向量空间与线性方程组解的结构问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系．注：

(1)当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构;

(2)下面的讨论都是假设线性方程组有解．1.引言2.齐次线性方程组的一般表示

m个方程n个未知数的齐次线性方程组的表示形式：3.齐次线性方程组解的性质性质3.8若为的解，则也是的解.

证明：显然有

证明：显然有性质3.9若为的解，k为实数，则也是的解.4.齐次线性方程组的解空间记因此，S是一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间.由Ax=0的解的性质可知，S非空，并且，

(1)若，则；

(2)若，则.5.齐次线性方程组的基础解系定义3.18

如果是齐次线性方程组Ax=0的解空间S的一个基，则称是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.

若是齐次线性方程组的基础解系，则

(1)是的线性无关的解向量．

(2)的任一解可由线性表示，即

(2)当时,方程组的基础解系必含n-r个解向量,此时方程组的任一解

可表示为其中为任意实数，上式称为齐次线性方程组的通解.

(1)当时，方程组只有零解，解空间只含一个零向量，方程组没有基础解系．6.齐次线性方程组解的结论定理3.5如果n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩R(A)=r<n，那么它必有基础解系，并且基础解系所含线性无关解向量的个数等于n-r，即解空间S的维数为n-r．

(3)齐次线性方程组的解空间S的一个基就是齐次线性方程组的一个基础解系，基础解系不唯一，从而通解的表达式也不唯一．注：例1

求齐次线性方程组的基础解系．方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．即写出同解方程组7.例1令x3=c1，x4=c2，得通解表达式因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2

的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所x1,x2线性无关．所以x1,x2是原方程组的基础解系．7.例1(续)方法2：先求出基础解系，再写出通解．即令合起来便得到基础解系，得还能找出其它基础解系吗？同解方程组为7.例1(续)问题：是否可以把x1

选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．7.例1(续)令x1=c1，x2=c2，得通解表达式即从而可得另一个基础解系：h1和h2

．同解方程组为7.例1(续)8.例2

例2求齐次线性方程组的基础解系和通解.

解：将方程组的系数矩阵化出行最简型：写出同解方程组8.例2(续)令代入同解方程组，分别得到，得基础解系:由此得到通解在同解方程组中，若令代入，则将得到，于是得基础解系:和通解8.例2(续)例2的另一种解法：同前面的解法，得到增广矩阵的行最简形：写出对应的同解方程组：8.例2(续)将自由变量补全，写成如下形式：8.例2(续)这就是所求的方程组的通解．再将右边的自由变量提出并用任意常数表示，可得：8.例2(续)

例3

设，证明.9.例3

证明：将矩阵B和O按列分块可得于是有这说明，都是齐次方程组Ax=0的解.记Ax=0的解集为S，则有即10.非齐次线性方程组的一般表示

m个方程n个未知数的非齐次线性方程组可以表示为或者向量形式：其中，至少有一个不为零.以上方程组也可以写成矩阵形式11.非齐次线性方程组有解的条件非齐次线性方程组有解向量b能由A的列向量组线性表示向量组与向量组等价12.非齐次线性方程组解的性质性质3.10若是非齐次线性方程组的解，则是其对应的齐次线性方程组的解.

证明：显然有这说明，是其对应的齐次线性方程组的解.证明：显然有性质3.11若是非齐次线性方程组的解，是其对应的齐次线性方程组的解，则仍是的解.这说明，是的解.

定理5.4设Ax=b是n元非齐次线性方程组，且R(A)=R(A,b)=r<n，则该方程组的任意一个解x可以表示为其中，是对应的齐次线性方程组Ax=0(一般称之为其导出组)的基础解系，是任意常数，是Ax=b的某一个解．13.非齐次线性方程组的通解

证明：令则由非齐次线性方程组解的性质可知，是Ax=b的解．13.非齐次线性方程组的通解(续)又设是Ax=b的任一解，则由非齐次线性方程组解的性质可知，是对应的齐次线性方程组Ax=0的解．即

于是，存在一组数使得

(3)非齐次线性方程组的通解形式：

对应的齐次线性方程组的通解+一个特解．(4)对于n元非齐次线性方程组Ax=b，它有唯一解的充分必要条件是：

r

=R(A)=R(A,b)=n．(5)对于n元非齐次线性方程组Ax=b，它有无穷解的充分必要条件是：

r

=R(A)=R(A,b)<n．

(2)称为Ax=b的特解．

(1)称为Ax=b的通解.注：13.非齐次线性方程组的通解(续)14.非齐次线性方程组的解法

(1)对增广矩阵B进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，判断它的解的情况．

(2)若非齐次线性方程组有解(设R(A)=R(A,b)=r)，则进一步进行初等行变换，将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵．

(3)写出Ax=b的同解方程组，并求出一个特解.

(4)求出其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.

(5)写出非齐次线性方程组的通解：其中，是任意常数．15.例4

例4求解线性方程组