计数原理及随机变量及其分布压轴70题14类考点专练（专项训练）原卷版-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第三册

计数原理及随机变量及其分布精选【压轴70题14类考点】

（期中复习专项训练）

真题实战•百练通关

选填小压轴解答压轴

题型1分类分步计数原理的综合问题题型11计数原理当中的实际应用题

题型2相邻与不相邻问题综合题型12二项式定理当中的应用题

题型3分组分配问题题型13条件概率的综合大题

题型4二项式定理中三项展开式的综合问题题型14离散性随机变量的均值与方差综合大题

题型5两个二项式乘积展开式的综合问题

题型6杨辉三角

题型7条件概率性质的应用

题型8全概率公式的综合应用

题型9离散性随机变量的均值与方差综合应用

题型10正态分布的高级考点

题型一分类分步计数原理的综合问题（共5小题）

1.某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有7架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街

道需要巡检，若7架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（）

A.若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有35种不同的巡检方案

B.若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有120种不同的巡检方案

C.若给无人机按1〜7编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有3600种

不同的顺序

D.若给无人机按1〜7编号，已知甲、乙两街各至少需要2架无人机，丙、丁两街各至少需要1架无

人机，则共有2100种不同的巡检方案

2.运动会期间，将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A,B,C三个场地参加志愿服务，每名志愿者

只能被安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者.下列结论正确的是（）

A.不同的安排方法数为240

B.若甲、乙被安排去同一个场地，则不同的安排方法数为36

C.若A场地只需要两名志愿者，则不同的安排方法数为1X0

1/22

D.若甲被安排到A场地，则不同的安排方法数为50

3.在舞台上，智能机器人”从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个

方句之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞与此同时，另一台机器人N从舞台中心正东

方向2米的位置起步，移动规则月用相同，若相遇，则继续独立移动.下列说法中正确的是（）

A.机器人N移动4秒来到舞台中心的路径条数为12

3

B.已知机器人N移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为:

4

9

C.机器人M在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为2

64

D.移动1秒后机器人M与N的距离为亚米的概率为:

4.下列说法正确的是（）

A.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有3$种

B.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法

C.6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法

D.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84

5.下列说法正确的是（）

A.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是3,

B.将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入

盒中，那么不1可的放法种数是C，

C.将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球,

那么不同的放法种数是

D.将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是

*鸿

题型二相邻与不相邻问题综合（共5小题）

6.某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域

特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上

架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上

架顺序有（）

A.16种B.24种C.36种D.48种

7.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1,杲公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的占建筑，六角亭

2/22

屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的六棱锥尸.该公园管理处准备用风铃装饰六角亭

屋顶尸-力〃。。月产的六个顶点4,B,C,D,E,F,现有四种不同形状的风铃可供选用，则在相邻的两个

顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点4与C处挂同•种形状的风铃的概率为（）

8.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场,

且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为

A.30B.36C.60D.72

9.某班级星"期一上午要排5节课，语文、数学、英语•、音乐、体育各1节，，考虑到学生学习的效果，第

一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有

A.14种B.16种O.20种D.30种

10.中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育;“射”和“御”

就是体育和劳动：“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一

次讲座，共讲六次.讲座次序要求•，射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，贝乎六艺”讲座不同的次序共有

（）

A.408种B.240种C.1092种.D.120种

题型三分组分配问题（共5小题）

11.某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数

值分析”、“拓扑学''五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选

修学科选完，则每位同学的不同选修方式有种-

12.某校三个年级举办乒乓球比赛，每个年级选派4名选手参加比赛，组委会随机将这12名选手分成6

组，每组2人，则在上述分组方式中每组的2人均来自不同年级的概率为.

13.对于两个事件吼N,若0<P（M）<l,0<P（N）<l,则称=而隔；而可为事件

M，N的相关系数.在春暖花开、风和叶翠的季节，小张、小李、小王、小刘四人都计划周末去踏青，现

的四个可出游的景也：玄武湖、梅花山、牛首山和银杏湖，每人只能去一个景也，若事件梅花山景点

3/22

至少有一人；事件N：牛首山和银杏湖两个景点恰有一个景点无人，则事件M,N的相关系数为

14.来自国外的博主力，4,。三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他

们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中月在北京故宫、西安兵马俑中至

少选择1个，则不同的打卡方案种数为.

15,2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空

间站.为领悟航天精神，感受中国梦想，某市组织了一次航天知识竞赛.已知该市力，丛四所学校各

派两名学生参加本次竞赛，这8名学生要坐在如下表所示的座位上开赛前大会，则同一学校的两名学生在

同一列和同一行中均不相邻，且每一行有且只有3个不同学校的学生的概率为.

题型四二项式定理中三项展开式的综合问题（共5小题）

16.关于（x-2y-z）5展开式中，则（）

A.展开式的各项系数和为-32B.展开式中x/zz项的系数为120

C.展开式中含V的各项系数之和为100D.展开式中不含字母z的各项的系数之和为1

17.己知C：+2C；+22C：+…十则下列说法中正确的是（）

A.若2M+1=81,则〃=4

B.若2M+l+4"=5"，则八=2

C.若历=121,则（f+3x+2）”中含丁项的系数为48

D.若〃为偶数，则〃能被4整除

18,已知。+外”的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（）

A.〃=9B.（1+x）"的展开式中r项的系数为28

C.奇数项的二项式系数和为256D.（l+x-y2y的展开式中常数项的系数为1

19.下列四个命题正确的为（）

A.若A：=C：,则〃=27

4/22

B.抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之和不小于10的概率为!

C.新高考改革实行“3+1+2”模式，某同学需要从政治、地理、化学、生物四个学科中任选两科参加高考,

则在选择化学的条件下，选择生物的概率是:

D.在y+2）的展开式中含/y项的系数为T20

20.关于多项式卜一9+2］的展开式，下列说法正确的是（）

A.常数项为-88B.f项的系数为80

C.展开式的系数和为32D.展开式含有x-9

题型五两个二项式乘积展开式的综合问题（共5小题）

21,下列各式正确的是（）

A.已知C；；2=c15,则X的取值为6或7

B.C；+C：+C；+…+C；O25=0026-1

C.将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法

D.（2-x）（l-x）4的展开式中Y的系数为74

22,设+3x+27二即+午+生/+/.一+。4/+牝丁+〃6Y6，a*（ke{0」，2,…,6}）为常数，则（）

A.%=8B.4=33

C.。2+&+。6=1°8D.6Z）++a5=108

23456

23.已知（2-x）（l-2疗=4+qx+0,x+a3x+a4x+a5x+a6x，则（）

A.4的值为2B.%的值为-64

C.（即+。2+。4+%『一（4+%+。厅的值为一36D.Z（22«）=0

24.己知（3x+〃】）（2x-1）8=2+%工+生/+-+//，则下列说法正确的是（）

A.〃?=2B.fl,+a2H----F〃9=5

C.Q|=-32D.一色+冬-鼻+...-r=126

2222329

25.若（x+l）（x-2）6=&+4工+〃2工2+…++%工?，则（）

5/22

A.牝=64B.q+%+%+%=2

C.%+。2+%+。6=1D.q+。2+%+%+%+。7=-51

题型六杨辉三角（共5小题）

26.杨辉三角是第1行为1,第〃行（〃之2）的元素是组合数C3（%=OJ…,”-1）按"依次增大排列的一个三

角数阵，它具有对称性c：=cf、递推性C=ct：+c3.关于杨辉三角与组合数的下列结论正确的有

（）

A

A.第10行所有数字之和为512B.对任意正整数〃，X（-DCjt=0

£=0

2222

C.C；+C〉+Ck+…+c：=c丁（〃＞「）D.（c：）+（c：）4-（cn+...+（c：）=c；B

•

27第〃阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”.

行

第0

1

行

第1

11

2行

第121

3行

第1331

4行

第14641

行

第5

行15101051

第6

7行1615201561

172135352171

给出的下列命题中正确的是（）

A.记第也行中从左到右的第/（六X）个数为他，则%=加；

B.第上行所有数的和是2A

C.第％行共有化+1）个数

D.8阶“杨辉三角”的所有数的和是255

28,“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一

种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（）

0行

1行

2行

3行

4行

5行

A.第8行的第8个数是8B.第2026行中，第1014个数最大

C.第10行中，第5个数与第6个数之比为6:7D.第〃行所有数字的平方和为C，

29.“杨辉二角”是中国古代数学文化的瑰宝之它揭示了二项式展开式中的组合数在二角形数表中的。

6/22

种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）

第o行s+b）°

第1行伍十方11

第2行5+6）2121

第3行（。+第1331

第4行5+b）414641

第5行（a+b）51510105

第6行5+41615201561

第7行5+/，）7172135352171

第8行（4+3）’18285670562881

A.第10行的第7个数、第10行的第8个数之和等于第II行的第8个数

B.第2023行中第1012个数和第1013个数相等

C.第34行中第15个数与第16个数之比为2:3

D.记“杨辉三角”第〃行的第i个数为4,则Z（2i4）=3"

r=l

3（）,“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章

算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨

辉三角''的结论正确的是（）

杨辉三角

第。行I

第1行I1

第2行12I

第3行1331

第4行14641

第5行1510105I

第6行I61520156I

A.2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等

B.C：+C；+C：+…+C：o=33O

7/22

C.记第10行的第i个数为q,则Z（i-1M=512O

r=1

D.记第〃行的第，・个数为q,则为42&=5"-4"

1=1

题型七条件概率性质的应用（共5小题）

31.在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了生物学科，50%的同学选了地理学科，70%的

同学选了生物学科或地理学科.现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了

地理学科，则该同学选了生物学科的概率为（）

A.0.8B.0.6C,0.5D.0.4

32.在［-专）的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍.现从装有3个红球、〃个

白球的不透明袋子中不放回的依次摸出2个球，已知第一次摸到红球，则第二次摸到白球的概率为（）

2797

A.-B.—C.—D.——

991010

33,甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，

再从乙罐中随机取出一球.已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为

（）

35C35

A.——B.—C.-D.—

1122511

34.下列选项正确的是（）

（1）（1）2

A.若随机变量3,-,则。X+鼻=-

B.一组不全相等的数玉,乙，一・，乙（〃之2）的平均数为亍，方差为S：,若再插入一个数则这〃+1个数

的方差为则s；<s；

C.若随机变量X〜N（L4）,y〜N（2,4）,则P（X<—l）<P（y>4）

D.若P（4）=1，P（川=则P（B）=:

34o9

35.某班开设了“打球”“弹琴”“跳舞”“唱歌”4个课外活动项目.在一次活动中，甲、乙、丙3名学生每人至

少选1个、至多选2个项目，且每个项目恰有1人选择.设事件4=“甲选打球"，4="甲选唱歌''，

4=“乙选跳舞”，则（）

A.4与4互斥B.尸（4）=g

8/22

C.4与4相互独立D.尸（川4）4

I4

题型八全概率公式的综合应用（共5小题）

36.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件48存在如下关系：

P（A\8）="2：照'）.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一

P\B）

天选择室内健身的概率为9:，选择户外运动的概率为g1.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择

室内健身的概率为玄；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为:.则张同学（）

A.第二天去室内健身的概率为g

B.第二天去户外运动的概率为］

2

C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为（

3

D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为一

4

37.下列关于随机事件的概率说法正确的是（）

A.若4C",则事件8发生，事件力一定发生

B.对于古典概型，若P（4U8）=P（㈤+P（8）,则事件力与“互斥

C.若P（川8）=P（4）,则事件X与B独立

D.某校高二年级男女生人数之比为3：2,最近一次视力检测统计结果为男生近视率为（）3,女生近视

率为0.6,则该年级学生的近视率为0.72

38.某芯片企业川甲、乙两款设备检测芯片是否为良品.甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9,检测

次品芯片为良品的概率为0.1：乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8,检测次品芯片为良品的概率为

0.2.甲、乙设备的检测结果相互独立.己知某批芯片良品率为现从该批芯片中任取一芯片,

甲、乙设备各检测一次，则（）

A.若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74

B.若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9

C.甲设备检测该芯片为良品的概率为+

D.甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为芦不

8p+1

39,2024年01月06日上午9时，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”上线运行，是目前中国最先

9/22

进的可编程、可交付超导量子计算机，该量子计算机搭教72位自主超导量子芯片“悟空芯”寓意如孙悟空般

“72变”.在研发过程中，某科研所承担了一项关键项目包含5个任务（其中3个涉及工作量子比特任务,

2个涉及耦合器量子比特任务），该所的•个团队需不放回地依次随机抽取2个任务进行攻坚，设事件4

为“第1次抽到涉及工作量子比特任务”，事件8为“第2次抽到涉及耦合器量子比特任务”，则下列结论中

正确的是（）

A.%"）=△B.尸（用⑷=：

13

c.P⑻=3D.P（A\B）=-

40.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被

错误地接收为1或0.已知发送信号（）时，接收为（）和1的概率分别为0.9和（）.1;发送信号1时，接收为1

和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为0记为事件A,接收的信

号为1记为事件比则下列结论正确的是（）

A.P（力）=0.5B.P（/l）=0.475C.P（Z?）=0.575D.尸（4）=0.525

题型九离散性随机变■的均值与方差综合应用（共5小题）

41,下列说法正确的是（）

A.两点分布中，时，方差最大

B.设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品的均值为0.6

C.用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2x2的列联表中所有的数据都扩大为原来

的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响

D.由两个分类变量X,y的成对样本数据计算得到/=8.612,依据a=0.001的独立性检验

2

（Z0001=10.828）,可判断X与丫独立

42,下列说法正确的是（）

A.在一个有限样本空间中，假设尸（力）=。（团=]且4与8相互独立，则尸（/24）=：

B.已知随机变量4〜8（4,小，则£（3>2）=1

C.根据分类变最X与丫的成对样本数据，计算得到/=9.850,依据a=0.01的独立性检验

（就小=6.635）,可判断X与丫独立

D.若随机变量X〜N（5,/）,且P（XN3）=4P（XN7）,则P（3<X<5）=^

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43,下列说法正确的有（）

A.数据-3,-1,3,7,8,9,11,15的极差是18

B.若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数W越大的模型，拟合效果越好

C.已知随机变量X~8（〃,p）,若E（X）=36,O（X）=9,则〃=48

D.依据分类变量x与V的成对样本数据，计算得到*=6.998>6.635=/小，则依据a=0.01的独立

性检验，可以认为两个变量没有关联

44,下列说法中，正确的是（）

A.已知随机变量X服从二项分布8（〃,p）,若E（X）=15,Z）（X）=10,则p=；

B.已知随机变量X服从正态分布若尸（X<3）=0.6,则P（T<X<l）=0.2

C.根据分类变量X与y的成对样本数据，计算得到#2=6712.依据。=0.01的独立性检验

（ZooL6.635）,可判断X与K不独立

D.样本点（4,必）（7=1,2,3,…）的经验回归方程为"3x+a,若样本点。43）与（2,〃）的残差相等，则

3m+〃=9

45.下列说法中不正确的是（）

A.若样本数据司/2,…，Z的方差/=0,则所有的七。二1,2,3,…都相等

B.在线性回归方程j=2+O.5x中，变量x每增加1个单位，j平均减少0.5个单位

C.若随机变量3〃满足77=3纭2,则E5）=3E（g）-2,D（〃）=9D《）-2

D.若随机变量X服从正态分布N（3,4）,且P（X44）=0,7,则尸（2<X<4）=0.4

题型+正态分布的高级考点（共5小题）

46设随机变量X服从正态分布N（O.l）.已知部分小概率值和相应的临界值如下表：

a2.7063.8415.0246.6357.87910.828

P(X2>a)0.10.050.0250.010.0050.001

若实数加满足<3)=0.025,则()

A.2.706<w2<3.841B.3.841<w2<5.024

C.5.024<〃/<6.635D.6.635<m2<7.879

11/22

47.第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为

我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼-35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设

歼-35A在某次飞行过程中，飞行速度v（单位：马赫）服从正态分布且飞出“马赫环”的概

率与飞行速度v满足以下关系：当此L2时，概率为0.9；当l.0W”L2时，概率为0.5；当”1.0时，概

率为0.1.若歼―35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若

X~N出吟,则+o•卜0.6827）（）

A.0.2856B.0.1428C.0.1587D.0.5

48.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常

拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（38,7?）,从停车场步行到单位要6分钟：江先生从家到地

铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布

M44.22）,下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟,从统计的第度出发,下列说法中合理的有（）

参考数据：若尸（Z）~N（〃,/）,则尸（〃一b<Z<〃+b）=（）.6826,P（//-2cr<Z<//+2cr）=0.9544,

产（〃-3（T<Z<〃+3（T）=0.9974

A.若8:00出门，则开私家车不会迟到

B.若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大

C.若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大

D.若8:12出门,则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到

49.某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：Z>20的为力级，18<ZW20的为4级,

16Vz418的为C级，14Vz416的为。级，ZW14的为废果.将力级与8级果称为优等果.已知蓝莓果

重量Z可近似服从正态分布NQ5,9）.对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次

抽到优等果的概率为P（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查

次数最多不超过〃次，若抽查次数X的期望值不超过3,〃的最大值为（）附：

P（//-<T<Z<//+cr）=0.6827,-2cr<Z<//+2（T）=0.9545,P（//-3cr<Z<//+3<T）=0.9773

A.4B.5C.6D.7

5（）.若随机变量〈〜N（3,2019）且P（gwl）=P（&a）.已知尸为抛物线/=4x的焦点，O为原点，点P

是抛物线准线上一动点，若点力在抛物线上，且则|尸川+|。0|的最小值为（）

A.75B.x/13C.2y[5D.2a

题型■!--计数原理当中的实际应用题（共5小题）

12/22

51.甲社区有〃个女生和〃个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有〃个女生g.和2〃-1个

男生4也，…也…其中女生8(/'=12…认识男生%。=1,2,…,21),但不认识其他男生.现从甲社

区和乙社区分别选出机(加=1,2,♦・•/)队选手参加社区比赛，每队选手均为2人.

⑴若〃=3,加=1,求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；

(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的机队的不同的选法

种数为4(〃?)和纥(〃?).

⑴求4(〃?)，并证明：当2K屋〃-I时，4(引=4_](旭)+(2卜-/)4T(加-I)递推公式，并说明理由;

(li)若乙社区将选出的小个男生和，〃个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率.

52.规定C：="("一0…"一"+。,其中xcR,是正整数，且C：=l,这是组合数C；(〃四是正整数,

w!

口〃?4〃)的一种推广.

(1)求C"的值，并判断组合数性质C：+C7=C：1是否能推广到C：(XCR,是正整数)的情形？若能

推广，则写出推广的形式，并说明理由；若不能，则说明理由.

(2)已知组合数C：'是正整数，证明：当xeZ,是正整数时，C：eZ.

53,数列｛牝｝中的项a.«x|x=2Z/wN.｝,若存在奇数乙使得?均不为偶数，则称数列｛““｝为邛介除序

列.

⑴数列｛2,4,6｝为左阶除序列，当〃e｛l,3,5,7,9｝,求出所有的心

(2)已知《=6,对任意的也〃eN',恒有用〃。…二(〃"〃”,£,求证：数列•是5阶除序列.

54.把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里伐票，如果同样两人在不同汽车上

服务算作不同的情况.

(1)有几种不同的分配方法？

(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？

(3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？

55.甲、乙两人共进行2〃-l(〃cN*且〃N2)局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是p(O<p<l),各局比赛

之间的结果互不影响，且没有平局.

(1)设P=；，若全部2〃-1局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为P.，

13/22

(i)求“2；

(ii)试比较P”与会的大小，并证明你的结论.

(2)设0＜夕＜；,“2〃-1(〃《y且〃之2)局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为生,证明:

仇+2一夕”+1</+1一%.

题型十二二项式定理当中的应用题(共5小题)

56.杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年左右，杨辉三角本身包含了很

多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的部分内容.

(1)求图1中第31行中的所有数字之和被9除所得余数;

(2)观察图1,确定第63行的第k列(从左往右)与第64行的第4+1列(从左往右)的关系式，并求

C\+2c2+3C^+…+64C1的值；(用整数指数幕表示结果)

1

(3)把杨辉三角中的每一个数C：都换成正而，得到图2所示的莱布尼茨三角，证明:

111

(〃+l)C；J(〃+l)C厂热,reN,1</</?.

…第0行…1

1111

…第1行…22

12111

…第2行…JKT

1_L_L1

133…第3行…412124

±_L_L11

14641…第4行…T203020T

图1图2

57.已知(3x-2)”=/+。|工+。2*2+…,且〃=10.

⑴求(3》-2)”展开式的所有二项式系数之和；

⑵求卜争+•••+枭的值；

(3)判断(3'-2)”的展开式中第几项系数的绝对值最大.

58.已知数列｛4｝和｛2｝满足：q=2,°"|-牝=2〃+2,且々也……=(V2p(??eN,).

(1)求阮｝和也｝的通项公式；

(2)®求数列的前〃项和S.；

14/22

②求集合

2'+2)的展开式中，所有二项式系数的和为256.

59.已知

(1)求〃的值，并求展开式中第5项的二项式系数；

(2)求展开式中所有的有理项；

(3)求展开式中各项系数的最大值(结果用数字表示).

60.已知(X-2)”的展开式的二项式系数和为2048.

⑴求(x-2)”的展开式中含W的项；

⑵若(X-2)”=%+%(X-1)+-1)~+…+4“(X-1,求％+々2+%+…+%•

题型十三条件概率的综合大题(共5小题)

61.为备战2026年第d^一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛(分初赛和决赛两部

分).初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，

中奖1次奖励12()元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假

(3、

设每次抽奖中奖的概率均为P。＜p＜］，且每次是否中奖相互独立.

(1)已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为X,求X的数学期望以及甲

在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；

(2)假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时P

的我值范围.

62.某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从48,C三类问题中各抽取一个问题回答，A,B,C

类句题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得。分.已知甲同学能正确回答48,C类问题的

概率依次为】乙同学能正确回答4丛。类问题的概率都为总分最高的选手获胜，且甲、乙同学

能正确回答问题的概率与顺序无关.

(1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率；

(2)记X为甲同学的总得分，求X的分布列及期望；

(3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率.

63.某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序

的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三

15/22

28129

道工序的次品率分别为4=荷,£=7,A=的.第四道工序中智能自动检测正确率为正，第四道工序中

智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.

(1)求前三道工序后产品芯片的次品率《：

(2)求在第四道工序中芯片智能自动检测得到的产品合格率"，并求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一

个芯片恰为合格品的概率；

(3)某手机生产厂商获得了该新技术芯片的试用权，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回

访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的100名用户中，使用未安装新技术芯片手机的有40人,

其t1时开机速度满意的有28人；使用安装新技术芯片手机的有60人，其中对开机速度满意的有57人.判

断是否有99.9%的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关？

n(ad-bc)~

(0+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

64.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一

名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为。分；若至少投中一次，则该队进入第二

阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得

分总和.某参赛队由甲乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为P，乙每次投中的概率为夕，各次投中与否

相互独立.

(1)若p=0.4,<7=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；

(2)若〃=0.4,1=0.5,甲参加第一阶段比赛，在该队成绩为0分的情况下，求甲第一阶段被淘汰的概率;

⑶若0<P<q,试分析：应该由谁参加第一阶段的比赛，比赛成绩更好？

65.为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调

查.已知被调查的男、女生人数均为20〃(〃为正整数)，得到以下2x2列联表：

(1)调查结果显示有97.5%的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有99%的把握

认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求〃的值；

(2)当〃=4时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人.

①从这1()人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男

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生的概率;

②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取〃?（〃?eN）人，然后从这10+用人中随机抽取2人.用随

机变量X表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量X的数学期望值不小于求〃?的最

大值.

男生女生合计

了解10/7

不了解5〃

合计

/..2riyUU—L/C)

参考公式：y=(a+b)(c+d)g+c)e+d)，其中〃—a+6+cV

参考