轴对称转化思想求解线段差最大值问题（八年级数学）教学设计

轴对称转化思想求解线段差最大值问题（八年级数学）教学设计

一、教材与学情分析

（一）教材地位与内容解析

本课内容隶属于人教版八年级上册第十三章《轴对称》的专题复习，同时也是中考数学几何最值问题中的核心板块【核心】。在此之前，学生已经系统学习了全等三角形、轴对称图形的性质、线段的垂直平分线以及等腰三角形等知识。这为本节课探索利用轴对称转化思想解决线段差的最值问题提供了必要的知识储备。线段的最值问题，包括线段和的最小值与线段差的最大值，是平面几何动态问题中的典型代表，它巧妙地将轴对称变换、三角形三边关系、两点之间线段最短等基本事实融合在一起，是考查学生逻辑推理能力、几何直观能力和模型观念的重要载体【高频考点】。本节课聚焦于“线段差的最大值”，旨在帮助学生打破思维定势，从“求最小”的惯性思维中跳脱出来，建立“求最大”的几何模型，进一步完善学生对几何最值问题的认知结构。

（二）学情分析

授课对象为八年级学生。在此之前，学生已经具备了一定的几何推理能力，对“将军饮马”问题（线段和最小）的模型较为熟悉，能够理解通过轴对称实现“化折为直”的转化思想【基础】。然而，对于线段差的最大值问题，学生的认知往往停留在“三角形两边之差小于第三边”的静态结论上，难以将其与动态的动点问题以及轴对称变换联系起来。学生在学习过程中可能遇到的【难点】主要体现在：一是难以区分“和最小”与“差最大”两种模型在作图策略上的本质不同（对称的目的不同）；二是对于“点在直线上运动时，何时两条线段差的绝对值最大”缺乏直观的想象；三是当问题背景从纯几何图形过渡到函数图像或网格时，学生难以剥离背景，抽象出数学模型。因此，本课的教学设计将引导学生通过类比、实验、论证的方式，自主探究出差最大模型的构造方法。

二、教学目标与核心素养

（一）知识与技能目标

1.学生能理解并掌握“在一条直线l上求一点P，使PA-PB的绝对值最大”这一基本几何模型的理论依据，即三角形两边之差小于第三边，当A、B、P三点共线时差取最大值|AB|【重要】。

2.学生能根据定点A、B与定直线l的位置关系（同侧或异侧），熟练运用轴对称变换将异侧点转化为同侧点，进而构造出差的最大值模型【核心】。

3.学生能运用该模型解决涉及三角形、特殊四边形、圆、平面直角坐标系及一次函数、二次函数为背景的综合题，准确求出点的坐标和线段差的最大值。

（二）过程与方法目标

1.通过对“线段差最大”问题的探究，经历从“将军饮马”问题到“差最大”问题的类比与迁移过程，体会转化思想、数形结合思想以及模型思想在解决动态几何问题中的重要作用。

2.通过几何画板动态演示，引导学生观察PA与PB长度变化规律，培养几何直观和空间想象能力，通过严谨的逻辑推理，论证最值点的位置，提升演绎推理能力。

（三）情感态度与价值观目标

1.在探索过程中，培养学生大胆猜想、严谨求证的科学态度，体验数学发现的乐趣。

2.通过将复杂问题分解为基本模型，树立学生解决综合问题的信心，体会数学的简洁美与对称美。

三、教学重难点

（一）教学重点

利用轴对称变换将定直线的异侧点转化为同侧点，构造“三点共线”模型求解线段差的最大值【重要】。

（二）教学难点

理解并掌握差最大模型与和最小模型在构造方法上的区别，能够在复杂图形中准确识别和应用该模型【难点】。

四、教学方法与准备

（一）教学方法

采用“启发式探究式”教学法，结合“问题链”驱动，辅以几何画板动态演示。通过设置层层递进的问题，引导学生自主探究、合作交流，从特殊到一般，从直观到抽象，深刻理解模型的内涵。

（二）教学准备

多媒体课件（PPT）、几何画板动态演示素材、导学案。

五、教学实施过程

（一）情境导入，类比引思

教师首先通过多媒体展示一个经典问题：“如图，要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向同一侧的两个小区A和B供气，泵站P建在何处，才能使所用的输气管线PA+PB最短？”学生快速回顾，回答出“将军饮马”问题的做法：作点A关于直线l的对称点A‘，连接A’B，与l的交点即为所求。教师追问：“为什么要作对称？”引导学生答出“将同侧转化为异侧，利用两点之间线段最短”。接着，教师在几何画板中拖动点P，引导学生观察PA与PB的长度变化，并提问：“既然有和最小，那么在这条直线l上是否存在一点P，使得PA与PB的差，即|PA-PB|最大呢？”由此引出本节课的课题——轴对称法求解线段差最值问题。这一环节通过类比“和最小”的熟悉情境，制造认知冲突，激发学生的探究欲望。

（二）模型建构，探究本质

1.【基础模型】同侧两点差最大

教师首先引导学生研究最简单的情况：已知两点A、B在直线l的同侧，点P是直线l上的一个动点，求|PA-PB|的最大值，并确定此时点P的位置。

教师引导学生进行理论分析：连接AB并延长，交直线l于点P。对于直线l上任意异于P的一点P‘，连接P’A、P‘B、P’A、P‘B，构成三角形P’AB。在△P‘AB中，根据三角形三边关系【重要】，两边之差小于第三边，即|P’A-P‘B|<AB。而当点P’运动到P的位置时，A、B、P三点共线，此时|PA-PB|=AB。因此，|PA-PB|的最大值为线段AB的长度，此时点P为直线AB与直线l的交点。

教师通过几何画板动态演示，验证这一结论：随着P点在直线l上移动，线段PA和PB的长度实时变化，屏幕上动态显示|PA-PB|的值，学生可以清晰地看到，当P点运动到AB延长线与l的交点处时，差值最大，且等于AB的长度。此环节强调【重要】，并标注为【基础知识】。

2.【模型进阶】异侧两点差最大

教师将问题难度升级：如果已知两点A、B在直线l的异侧呢？此时如何求|PA-PB|的最大值？

这是本课的【难点】所在。教师引导学生类比“将军饮马”的思路，但强调方向相反。“和最小”是化同侧为异侧，那么“差最大”该怎么办？学生在导学案上尝试作图。教师巡视，收集典型思路。学生会想到利用轴对称，将异侧的两点转化到直线的同一侧。具体操作是：作点A（或点B）关于直线l的对称点A‘，连接A’B并延长，交直线l于点P。此时，根据轴对称的性质，PA=PA‘，那么|PA-PB|=|PA’-PB|。由于A‘和B此时在直线l的同侧，问题就转化为了已经解决过的“同侧两点差最大”模型。根据之前的结论，当A’、B、P三点共线时，|PA‘-PB|的最大值为A’B，即|PA-PB|的最大值为A‘B。教师再次用几何画板演示这一转化过程，让学生直观看到“异侧”如何通过“对称”变为“同侧”，从而突破思维障碍。

（三）模型辨析，总结升华

教师引导学生将“线段和最小”与“线段差最大”两个模型进行对比分析，填写在导学案的表格中（此处不用表格，以段落形式呈现）。教师引导学生从“问题特征”、“转化方法”、“理论依据”、“作图方法”四个方面进行总结。从问题特征上看，和最小是求PA+PB的最小值，差最大是求|PA-PB|的最大值。从转化方法上看，和最小是通过作对称点将同侧点转化为异侧点，利用两点之间线段最短；差最大是通过作对称点将异侧点转化为同侧点，利用三角形两边之差小于第三边，三点共线取等号。从作图方法上看，和最小是连接对称点与另一点，连线与直线交点即为所求；差最大是连接对称点与另一点并延长，延长线与直线的交点即为所求。通过这种对比辨析【重要】，帮助学生深刻理解两个模型的本质区别，避免混淆，将零散的知识点系统化、结构化。

（四）典例剖析，应用模型

1.几何背景下的应用

例1：在正方形ABCD中，AB=4，点E在边BC上，且BE=1，点P是对角线AC上的一个动点，求|PE-PB|的最大值。

教师引导学生分析：首先识别基本图形，定点为B和E，定直线为对角线AC。观察发现，B和E两点位于定直线AC的同侧还是异侧？通过观察图形，学生发现B和E在AC的同侧。这直接符合我们刚刚建立的“同侧两点差最大”模型。因此，连接BE并延长，与AC的交点即为点P，|PE-PB|的最大值就是线段BE的长。在Rt△ABE中，AB=4，AE=3（根据正方形性质，点E为BC上一点，可推算），由勾股定理可得BE=5。所以最大值为5。本题【基础】，帮助学生直接套用模型。

2.函数背景下的应用

例2：如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D。

（1）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA-PC|的值最大？若存在，请求出点P的坐标和这个最大值。

教师引导学生逐步分析：首先求出关键点坐标。令y=0，解得A(-1,0)，B(3,0)；令x=0，得C(0,3)；对称轴为直线x=1。然后识别模型：定点为A和C，定直线为对称轴x=1。观察A和C与直线x=1的位置关系：A在左侧，C在右侧，两点位于直线的异侧。因此，这属于“异侧两点差最大”问题。我们的策略是将异侧转化为同侧。可以作点C关于对称轴的对称点C‘。由于对称轴是x=1，C(0,3)关于x=1的对称点C’坐标为(2,3)。连接AC‘并延长，交对称轴于点P，此时|PA-PC|=|PA-PC’|的最大值即为AC‘的长度。接下来求AC’的解析式及点P坐标。A(-1,0)，C‘(2,3)，求得直线AC’的解析式为y=x+1。令x=1，得y=2，所以点P坐标为(1,2)。最大值AC‘的长度为√[(2+1)²+(3-0)²]=√(9+9)=3√2。本题【高频考点】，融合了函数、对称、最值多个知识点。

（2）在对称轴上是否存在一点Q，使得|QA-QC|的值最大？若有，直接写出坐标。

这是一个陷阱题。教师引导学生发现，这里的Q和C与上一问是同一个点吗？不是，这里要求的是|QA-QC|，C依然是C(0,3)。那么A和C相对于对称轴而言，仍然是异侧，因此解法相同，答案与（1）一致。通过这个变式，强调审题要清晰。

3.综合应用与变式

例3：在平面直角坐标系中，已知点A(1,5)，B(3,1)。点P在x轴上运动，点Q在y轴上运动。

（1）若点P在x轴上，求|PA-PB|的最大值，并求出此时点P的坐标。

分析：定点A、B在x轴的两侧吗？B(3,1)在x轴上方，A(1,5)也在x轴上方，所以A、B在x轴的同侧。符合同侧模型。直接连接AB并延长交x轴于点P。先求直线AB的解析式，再求与x轴交点。直线AB过A(1,5)、B(3,1)，斜率k=(1-5)/(3-1)=-2，解析式为y-5=-2(x-1)，即y=-2x+7。令y=0，得x=3.5，所以P(3.5,0)。最大值|AB|=√[(3-1)²+(1-5)²]=√(4+16)=2√5。

（2）若点Q在y轴上，求|QA-QB|的最大值，并求出此时点Q的坐标。

分析：此时定点A、B在y轴的异侧（A的横坐标1>0，B的横坐标3>0，都在y轴右侧？不对，都在右侧，说明A和B都在y轴的同一侧，即右侧。那么对于y轴而言，A、B是同侧的。因此，还是同侧模型？让我们再读题，要求的是|QA-QB|，定点是A、B，定直线是y轴。A、B都在y轴右侧，确实属于同侧。因此，直接连接AB并延长，交y轴于点Q。直线AB我们已经求得为y=-2x+7，令x=0，得y=7，所以Q(0,7)。最大值依然是|AB|=2√5。本题通过改变坐标轴，训练学生灵活运用模型的能力。

（五）拓展提升，直击中考

教师展示一道中考改编题：如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴。

（1）求抛物线的函数关系式。

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标。

（3）在直线l上是否存在点M，使|MAC-MBC|最大？若存在，求出点M的坐标。

教师引导学生分析：第（2）问是经典的“和最小”问题，用于与第（3）问的“差最大”形成对比。第（3）问中，注意|MAC-MBC|可以转化为|MA-MB|，因为MC和BC是公共点？不对，这里是|MAC-MBC|，这实际上是三角形周长的差，不是线段差，需要仔细审题。经过分析发现，MAC和MBC的周长都包含MC这一公共边，所以周长差等于(MA+AC+MC)-(MB+BC+MC)=|MA-MB|+(AC-BC)。AC和BC都是定值，因此求周长差的最大值就转化为求|MA-MB|的最大值，同时要考虑常数项。这是一个高层次的应用，需要学生具备较强的代数变形能力和模型识别能力【热点】。通过解决这样的问题，提升学生综合运用知识的能力。

（六）课堂小结，构建体系

教师引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.知识层面：掌握了“定直线上一动点到两定点距离之差的最大值”模型；理解了同侧和异侧两种不同情况的转化策略。

2.方法层面：利用轴对称进行转化，实现“异侧化同侧”，构造三点共线。这是求解此类问题的通法【核心】。

3.思想层面：体会了转化与化归思想、数形结合思想、模型思想在解决动态几何问题中的核心地位。

最后，教师强调：无论是“和最小”还是“差最大”，其本质都是通过几何变换，将动态问题转化为静态的、确定的两点间的距离问题，这也正是解决几何最值问题的精髓所在。

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