小学三年级数学下册商中间有0的除法核心知识清单

小学三年级数学下册商中间有0的除法核心知识清单一、核心概念与基本原理【基础】（一）“0”在除法中的特殊运算规则【基础】1、“0除以一个数”的法则：0除以任何不是0的数，都得0。这是学习商中间有0的除法的算理基础。在除法运算中，把0个物品平均分成若干份，每份仍然是0个。数学表达：0÷a=0(其中a≠0)。2、“0不能作除数”的原理【难点·易错点】这是除法运算中的一个重要禁区。为什么0不能作除数？我们可以从乘除法的互逆关系来理解：（1）如果除数是0，被除数也是0，如0÷0=?根据“商×除数=被除数”，我们需要找到一个数，使得它与0相乘得0。任何数与0相乘都得0，这样的数有无数个，商不唯一，所以这种计算没有确定的结果。（2）如果除数是0，被除数不是0，如5÷0=?我们需要找到一个数，使得它与0相乘得5。任何数与0相乘都得0，不可能得5，所以这样的商不存在。综上，0作除数要么商不确定（0÷0），要么商不存在（非0数÷0），因此计算没有意义。所以，在除法运算中，除数必须不为0。（二）商的定位与“0占位”原理【核心·难点】在除法竖式计算中，从被除数的最高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。当除到某一位时，如果这一位上的数除以除数不够商1（即小于除数），或者这一位本身就是0且前一位除尽没有余数，那么就在这一位的上面商0。这个0起着“占位”的作用，保证商的数位完整，确保计算结果的准确性。如果不写这个0，商就会少一位，导致结果错误。二、商中间有0的除法知识体系【高频考点】（一）类型一：被除数中间有0（如：208÷2）1、情境导入：例如，学校图书馆用208元买了2套书，平均每套书多少元？列式为208÷2。2、算理分析：（1）从数的组成看：208是由2个百、0个十和8个一组成的。平均分成2份，每份分得1个百（200÷2=100）和4个一（8÷2=4），而0个十平均分成2份，每份还是0个十，所以结果是100+4=104。（2）从竖式计算看：第一步：用百位上的2除以2，商1，写在百位上，表示1个百。第二步：除到十位，把十位上的0落下来。0除以2，根据“0除以任何不是0的数都得0”，应在十位上商0。第三步：把个位上的8落下来，用8除以2，商4，写在个位上。3、竖式书写规范（简便写法）【重要】：在竖式计算中，十位上的0除以2这一步可以简化。当我们确定十位上要商0后，可以直接在商的十位上写0，然后继续把个位上的数字落下来进行下一步计算。中间“0×2=0”和“00=0”的计算过程可以省略不写。规范竖式：1042)2082（2个百÷2，商1个百，2减2得0，省略不写）0（十位上的0落下来，0÷2=0，直接在十位商0）8（个位上的8落下来）8（8÷2=4）0（二）类型二：被除数中间没有0，但除到某一位不够商1（如：216÷2）1、情境导入：例如，用216元买了2套书，平均每套书多少元？列式为216÷2。2、算理分析：（1）从数的组成看：216由2个百、1个十和6个一组成。平均分成2份，先分百位，每份1个百（200÷2=100），剩下1个十和6个一。1个十平均分成2份，每份不够1个十（因为1÷2不够商1），这时就要把1个十和6个一合起来变成16个一，再平均分成2份，每份是8个一（16÷2=8）。最终结果是100+8=108？不对，这样理解忽略了十位上的占位。正确理解是：百位分完剩下1个十，这个十位上的1除以2不够商1个十，所以十位必须用0来占位，表示0个十，然后再把个位的6落下来，用16个一去除以2。（2）从竖式计算看：第一步：用百位上的2除以2，商1，写在百位上。第二步：除到十位，把十位上的1落下来。1除以2，不够商1，这时必须在十位上商0来占位。第三步：为了继续除下去，我们把个位上的6落下来，与十位上余下的1个十合并成16个一。第四步：用16除以2，商8，写在个位上。3、竖式书写规范（简便写法）【重要】：这里的简便写法同样体现在十位上。当我们发现1除以2不够商1，并决定在十位商0占位后，0×2=0这一步也可以省略。直接将十位上的1落下来，与个位上的6组成16，再继续除。但商十位上的0绝对不可省略。规范竖式：1082)216216（十位上的1落下来，与个位6组成16）16（16÷2=8）0（三）两种类型的对比与总结【难点·方法归纳】1、相同点：两种情况的商中间都有0，都运用了“0占位”的原理。2、不同点：（1）类型一（208÷2）：被除数中间本身就是0，且前一位除尽没有余数，十位上的0除以除数直接商0。这一步是必然的，因为0除以任何非0数都得0。（2）类型二（216÷2）：被除数中间不是0（是1），但除到这一位时，因为这一位上的数（1）小于除数（2），不够商1，所以要用0来占位。3、核心法则【★必记】：在一位数除多位数的笔算过程中，求出商的最高位（第一位）以后，除到被除数的哪一位，如果这一位上的数（加上前一位的余数，如果有的话）不够商1，就对着这一位商0占位，然后把这一位上的数落下来，和下一位上的数合起来，继续除。三、高频考点与典型题型分析【★热点】（一）直接写出商或进行竖式计算这是最基本的考查方式，要求熟练掌握商中间有0的除法的两种类型。1、典型题例：（1）0÷8=()，0÷9=()。【考查0除以任何非0数都得0】（2）用竖式计算：804÷4=？609÷3=？515÷5=？【考查被除数中间有0或不够商1的情况】2、解题要点：（1）计算前可以先判断商的位数和商的中间是否有0。例如，804÷4，百位8÷4=2，够除，商是三位数；十位是0，且百位除尽，十位商0，所以商是2□4的形式，即204。（2）计算时要严格按照“一除、二乘、三减、四落”的步骤进行，尤其注意0的占位。（3）养成验算的好习惯：商×除数=被除数。（二）改错题（判断对错并改正）【高频·易错】1、典型题例：下面是壮壮的竖式计算，他算对了吗？如果不对，请帮他改正。154)4204202002、错误分析：壮壮的计算结果是15，但420÷4的正确结果应该是105。他的错误在于，当百位4÷4=1，余数为0，把十位上的2落下来后，2÷4不够商1，他没有在十位上商0占位，而是直接把个位上的0落下来，用20÷4=5，导致商变成了两位数，丢失了中间的0。3、解题步骤：（1）第一步：判断结果是否合理。420是一个三位数，除以4，商至少是100多，15明显太小，所以肯定错误。（2）第二步：找出错误原因。对照竖式每一步，发现十位上没有商0，导致计算步骤错乱。（3）第三步：写出正确过程。1054)420420（十位上的2落下来，2÷4不够商1，在十位商0）20（把个位0落下来，组成20，20÷4=5）0（三）方框里填数（推理题）1、典型题例：在□里填上合适的数。1□43)□□23□□□□02、解题思路：（1）从商的百位1可知，被除数的百位是1×3=3。（2）商的十位是□，它与除数3相乘的积是一个两位数（因为落下来两个数），且这个两位数与3□□的差为0（或为0后落下个位2），可知这个两位数可能是12、15、18等。（3）最后个位是4，个位计算时是落下来的个位2与十位余下的数组成的数除以3，得到4，即这个组成的数是4×3=12，所以十位余下的数是1，从而推出被除数十位是1+3×十位商？需要逆向推理，建议从个位倒推。具体步骤：根据最后一步，可知被除数的个位是2，除完后余数为0，所以最后一步的被除数是4×3=12，也就是说，在落下个位2之前，十位计算完后的余数是1（因为1和落下的2组成了12）。再看十位，商的十位数字与3相乘，再加上这个余数1，应该等于被除数的十位和百位余数组成的数。由于百位除尽（33=0），所以被除数的十位数字就是那个数。即：3×(商的十位)+1=被除数的十位。如果商的十位是4，则3×4+1=13，但被除数十位只能是一位数，所以不可能。如果商的十位是3，则3×3+1=10，被除数的十位是0，那么被除数中间是0，即302÷3=100余2？但商是1□4，百位后是十位，不能空，所以十位商0。如果商的十位是0，则3×0+1=1，被除数的十位是1。所以被除数是312，商是104。验算：104×3=312。（四）解决问题（应用题）1、典型题例：（1）王老师带618元去书店买《故事书》，每套6元，可以买多少套？【618÷6=103（套）】（2）一只东北虎的体重是360千克，是一只鸵鸟体重的4倍，一只企鹅的体重是鸵鸟的2倍。企鹅的体重是多少千克？【360÷4=90（千克），90÷2=45（千克）或360÷(4×2)=45（千克）】2、解题要点：（1）仔细读题，理解数量关系，正确列出算式。（2）计算时注意商中间是否有0，确保结果准确。（3）最后要写上单位和答语。四、易错点深度剖析与规避策略【难点】（一）易错点1：漏写商中间的01、错误表现：如将412÷4算成13，将505÷5算成11。2、原因分析：（1）对“0占位”的算理理解不清，认为某一位上的0或者不够除时，就可以直接跳过，不知道要用0来占据这个数位。（2）受口算负迁移影响，如412÷4，口算时可能想成400÷4=100，12÷4=3，加起来是103，但在竖式中却忘了中间的0，只写了13。3、规避策略：（1）强化“数位”意识：在计算前，先预估商的位数。例如，三位数除以一位数，如果百位够除，商就是三位数；如果百位不够除，商就是两位数。一旦确定是三位数，那么百位、十位、个位都必须有数字，如果某一位没有数，就必须用0占位。（2）步骤化计算：严格按照竖式步骤，每一步都问自己“我除到哪一位了？这一位上的数够不够除？应该商几？”（二）易错点2：0除以任何数都得0（忽略除数不为0）1、错误表现：判断题中认为“0除以任何数都得0”是正确的。2、原因分析：对“0不能作除数”这一重要前提记忆不牢，理解不深。3、规避策略：将法则记完整、记准确——“0除以任何不是0的数，都得0”。并经常举例辨析，如“0÷0”有没有意义？为什么？（三）易错点3：商0后的乘法与减法步骤混乱1、错误表现：在简便写法中，省略了中间步骤，导致在后续计算中忘记如何处理余数。例如计算216÷2，十位商0后，不知道接下来应该把个位落下来组成16，而是直接用十位的1除以2。2、原因分析：对简便写法的实质理解不透，只是为了简写而简写，并没有真正理解每一步的数学意义。3、规避策略：（1）初学阶段，不要急于使用简便写法。先用完整的步骤计算，如216÷2，完整步骤是：百位1，十位1落下来，1÷2不够商1，我们在十位商0，然后0×2=0，10=1，再把个位6落下来，1和6组成16继续除。熟练理解后，再过渡到简便写法。（2）理解简便写法只是省略了“0×除数”和“被除数这一位减0”这两步，但“落下来”和“组成新数”的过程并没有省略，思维过程要完整。五、思维拓展与跨学科视野（一）规律的推广与应用1、“商中间有0”的规律不仅适用于三位数除以一位数，也适用于多位数除以一位数，甚至后续学习的多位数除以两位数。例如：4008÷4=1002，4005÷4=1001……1。2、思考：如果被除数中间有几个连续的0，且前一位除尽没有余数，商的中间也应该有几个连续的0吗？是的。如4005÷4，百位商1余0，十位0落下来，0÷4=0，商十位写0；个位0落下来？不对，是被除数的十位已经处理了，现在处理的是被除数的个位？注意数位对应。4005，千位4，百位0，十位0，个位5。除以4，千位1，余0；百位0落下来，0÷4=0，商百位0；十位0落下来，与百位余下的0组成00？不，这里要注意，百位计算后余数为0，我们落下的应该是被除数的下一位，即十位的0。这个0落下来后，用0÷4，商十位0；再把个位的5落下来，用5÷4，商个位1余1。所以结果是1001余1。商的中间有两个0。（二）与生活实际的联系1、在平均分物品时，如果某一项数量为0，或者某一份的数量不够分时，都会涉及商0的情况。例如，把305块糖平均分给3个小朋友，每人先分得1百块（100块），还剩5块，而十位上的0表示没有糖，但每人还能分得0块糖吗？这就是商中间0的意义。2、在编程、统计等领域，除