2026高中数学10大导数：专题33 单变量不等式能成立之参变分离法(学生版)

专题33单变量不等式能成立之参变分离法

【方法总结】

单变量不等式能成立之参变分离法

参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若f(a)≥g(x)在x

∈D上能成立，则f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≤g(x)max．特别地，经常将不等式变形

成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，则a≥g(x)min；若

a≤g(x)在x∈D上能成立，则a≤g(x)max．

利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)能成立问题中参数取值范围的基本步骤：

(1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．

(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．

(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范围．

注意“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小

值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可

以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小

值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．

【例题选讲】

1

[例1]已知函数f(x)＝3lnx－x2＋x，g(x)＝3x＋a．

2

(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求a的值；

(2)若x0>0，使f(x0)>g(x0)成立，求参数a的取值范围．

∃

lnx

[例2]已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝．

x

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)－g(x)＋ex≤0成立，求a的取值范围．

∃

[例3]已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x．

(1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；

1

(2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围．

e

[例4]已知函数f(x)＝ln(1＋x)－asinx，a∈R．

(1)若y＝f(x)在点(0，0)处的切线为x－3y＝0，求a的值；

(2)若存在x∈[1，2]，使得f(x)≥2a，求实数a的取值范围．

[例5]已知函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a(a∈R)，e为自然对数的底数．

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)①若存在实数x，满足f(x)<0，求实数a的取值范围；

②若有且只有唯一整数x0，满足f(x0)<0，求实数a的取值范围．

[例6]已知函数f(x)＝a(x－1)，g(x)＝(ax－1)·ex，a∈R．

(1)求证：存在唯一实数a，使得直线y＝f(x)和曲线y＝g(x)相切；

(2)若不等式f(x)＞g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围．

【对点精练】

22

1．已知函数f(x)＝ax－(2a＋1)lnx－，g(x)＝－2alnx－，其中a∈R．

xx

(1)当a>0时，求f(x)的单调区间；

1

(2)若存在x∈[，e2]，使得不等式f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．

e

2．已知函数f(x)＝xlnx(x>0)．

(1)求函数f(x)的极值；

－x2＋mx－3

(2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤成立，求实数m的最小值．

2

3．已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋alnx(a∈R)．

(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)函数g(x)＝(1－a)x，若x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．

∃

b

x＋

4．已知函数f(x)＝ax＋blnx(其中a，b∈R)．

(1)当b＝－4时，若f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；

(2)当a＝－1时，是否存在实数b，使得当x∈[e，e2]时，不等式f(x)>0恒成立，如果存在，求b的取

值范围，如果不存在，请说明理由．

x－a

5．已知函数f(x)＝，其中a为实数．

lnx

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)是否存在实数a，使得对任意x∈(0，1)∪(1，＋∞)，f(x)＞x恒成立？若不存在，请说明理由，若存

在，求出a的值并加以证明．

6．已知函数f(x)＝lna2x－2ax＋alna．

(1)求证：f(x)≤a2－3；

(2)是否存在实数k，使得只有唯一的正整数a，对于x∈(0，＋∞)恒有：f(x)≤ea＋k，若存在，请求出

k的范围以及正整数a的值；若不存在请说明理由．(下表的近似值供参考)

ln2ln3ln4ln5ln6ln7ln8ln9

0．691．101．381．611．791．952．072．20

ax2

7．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝，直线l：y＝(k－3)x－k＋2．